Hasta ahora en esta sub unidad, hemos estado viendo ecuaciones diferenciales de dos dimensiones y funciones iterativas de dos dimensiones En esta parte de la unidad, voy a presentar ecuaciones diferenciales de tres dimensiones. Ahora tendremos 3 variables para poder observar, X, Y y Z y el plano de fase se volverá un espacio de fase Al introducir ecuaciones diferenciales de 3 dimensiones, 3D, veremos un sistema conocido como ecuación de Lorenz Comencemos La ecuación de Lorenz son tres ecuaciones diferenciales, es un sistema de ecuaciones diferenciales de 3 dimensiones Fue introducido a comienzos de la década del '60 por Edward Lorenz, un meteorólogo del MIT Él propuso este modelo muy muy simple de las convecciones que se producen en la atmósfera El comenzó con modelos más complejos y separó estos modelos hasta encontrar estas 3, que fueron diseñadas como otros modelos que hemos visto para ofrecer una suerte de caricatura o esquema de algunos aspectos de la convección y tal vez del clima. No se preocupen por el origen físico, lo interpretaremos simplemente como 3 variables sin importar qué significan, X, Y y Z Esta ecuación tiene 3 parámetros y estos parámetros son letras griegas sigma, ro y beta. Este es un sistema dinámico determinista igual a los que estudiamos antes Ahora tenemos 3 variables, X, Y y Z y dadas unas condiciones iniciales, en los puntos X, Y y Z La trayectoria futura de estos puntos está determinada por esta ecuación Esta dirección nos dice que tienen que hacer X, Y y Z Y estas 3 ecuaciones están juntas, porque por ejemplo X depende de Y Y depende de X y Z y así sucesivamente La evolución de estas 3 variables están todas vinculadas Ok, quiero mostrar algunas soluciones y discutir esas soluciones de la ecuación de Lorenz para 3 elecciones diferentes de los parámetros Y la primera elección que voy a hacer es sigma = 10, ro = 9 y beta = 8/3 Entonces si escojo estos tres parámetros estos tres valores de parámetros los pongo aquí, escojo una condición incial para el valor de X, de Y y de Z y puedo resolver estas ecuaciones produciendo soluciones utilizando el método de Euler o en este caso uso el método de Runge Kutta en phyton pero la misma idea básica y podemos hacerlo y obtendremos 3 soluciones Obtendremos una solución para X como una función de t Esto es tiempo, esto es X, creo que esto comienza en 10 y la X serpentea y se aproxima a un punto fijo Podemos mirar a Y, se solapa un poquito La Y se comporta de una manera similar. Comienza en 10 y luego serpentea de esta forma Y aquí tenemos a Z, Z se ve un poco diferente Z empieza en 10, pero luego va para arriba y luego también seprentea En el caso de dos dimensiones, cuando teníamos conejos y zorros teníamos una curva para conejos y otra curva para zorros y lo graficábamos como conejos contra zorros, para observar el plano de fase y sacábamos al tiempo y sólo mirábamos como los conejos y los zorros estaban vinculados Aquí tenemos X, Y y Z y si queremos deshacernos del tiempo tenemos un gráfico de 3 dimensiones X, Y y Z Otra vez para ser claros, podemos pensar que aquí capturamos la posición X nos movemos de este modo Esto puede describir la posición de Y y esta será la posición de Z, cuán alto o bajo es esta cosa Graficamos estos dos juntos, es una cosa de 3 dimensiones, es difícil de visualizar a las 3 dimensiones en un papel de 2 dimensiones, pero haremos el intento Aquí hay un gráfico de las 3 soluciones una contra otra Esto es X, esto es Y y esto es Z X e Y están aisladas y Z también está aislada Esto se verá más o menos así Un movimiento que alcanza un punto fijo en algún lugar por aquí El punto es que se espiraliza alrededor en X, Y y en Z y termina en un punto fijo Esta es un tipo de conducta que podemos ver en ecuaciones diferenciales de 3 dimensiones como ésta. Tenemos un atractor de punto fijo que espiraliza, su órbita se espiraliza en los ejes aislados X, Y y Z, a medida que se aproxima al punto fijo. Miremos las soluciones de estas ecuaciones para otro conjunto de valores de parámetros Ahora le asigno a sigma el valor 10, a beta el valor 8/3 pero ahora a ro le asigno el valor 160 Veamos como se ven las soluciones Primero veamos la curva para X Este es un sistema dinámico conocemos los valores de los parámetros conocemos los valores de inicio que determinan los valores futuros con el método de Euler para resolverlas o con algo como eso, produciremos estas curvas Comenzamos en 10, primero sube pero para el momento del tiempo en que llego a 3 o 4, se asienta en una especie de ciclo regular no es perfecto, tenemos estos graciosos zigzags pero sea lo que fuere, siempre se repite, por ejemplo de aquí a aquí es lo mismo que de aquí a aquí y así sucesivamente Veamos que ocurre con Y Aquí está la solución para Y también aquí hay un zigzag inicial bien grande, pero luego se asienta en algo que se repite, de aquí a aquí es lo mismo que de aquí a aquí Es un poco raro, es otra forma de ciclo, sube y baja, no sé bien cómo se ve esto, el punto es que sea lo que sea, se repite. Es repetitivo, es una especie de ciclo y por último veamos a Z Aquí esta la parte de la solución de Z arriba, Otra vez, hay un gran zigzag inicial pero luego hay una sacudida y encontramos otra vez una clase de conducta cíclica Esto se repite aquí, y se repite allí Ahora nos preguntamos cómo se ve en un espacio de 3 dimensiones graficamos X, Y y Z juntos Creo que esto representa la posición de X de un objeto, esta la posición de Y esta la posición de Z, cuál será la curva que se traza en el espacio Para tener una figura de esto voy a ver, en vez de ir de 0 a 6 voy a ir desde 10 a 60 esto nos dará una mejor visión de cual es la conducta de retorno Resolviendo de 0 a 10, pero sólo graficando de 10 a 60 Aquí en el eje de las X podemos ver como se repite el zigzag Veamos si puedo describir este movimiento en la dirección de las X Empezamos con X negativo Comienza aquí, se mueve hacia arriba, es positivo, luego abajo, arriba, como esto Este movimiento debe ser algo como esto Subo mis dedos es el punto donde se mueven alrededor en el espacio de fase Aquí tenemos a Y Este movimiento de Y se verá algo regular, como un zigzag regular arriba y abajo regular en el sentido de que se repite no regular en el sentido de un subir y bajar lineal, como una onda sinoidal y esto será Z veamos esto va para arriba lejos y luego abajo, arriba y abajo Esto se ve algo así arriba Así es como se describe este movimiento Entonces el movimiento total será de estas tres cosas todas ocurriendo al mismo tiempo. Habrá un arriba a lo largo de este movimiento en la dirección de X y este en la dirección de Y Si graficamos esto en 3D, proyectado en un pedazo de papel Obtenemos la siguiente forma algo así Se mueve arriba y abajo en Z, se mueve de lado a lado en X, de lado a lado en Y y si los combinamos todos juntos obtenemos esta estructura Se repite en el espacio, puedo imaginarme que es una mosca moviéndose en una habitación se mueve así en espiral y vuelve allí Esta es una solución periódica algo que quiero enfatizar, es que al igual que 2 dimensiones, en 3 dimensiones las líneas del espacio de fase, no pueden cruzarse Miremos aquí, parece que se están cruzando pero en verdad, estas líneas están arriba de las que van debajo mis dedos se están cruzando, pero no realmente porque hay una separación entre ellos Recordemos nuevamente las líneas de Y no pueden cruzarse, se puede tener este tipo de cruzamiento en un diagrama de fase, que violaría la condición del determinismo Si imaginamos a este objeto moviéndose en un espacio de 3 dimensiones lo que estas ecuaciones nos dicen, es que hay un único conjunto de direcciones en cada punto del espacio. Si las líneas se cruzan, entonces tendríamos una dirección que no es única y esto violaría la condición determinista. Aquí tenemos alguna conducta periódica complicada, pero aún así es periódica vuelve a donde comenzó y una vez que vuelve se repite para siempre esa es la naturaleza determinista. Otra forma de decirlo es, que esta dinámica, junto con el conocimiento del punto en el espacio en cualquier momento determina el valor de la curva en el futuro. Y por supuesto también en el pasado. Este es un tipo de conducta que podemos ver en 3 dimensiones Es una conducta cíclica pero notemos que es más complicada en el sentido de la conducta que vimos para sistemas de 2 dimensiones debido a que el período vuelve sobre sí mismo, pero no realmente porque se lo impiden las propiedades de las 3 dimensiones. Hemos visto un punto fijo y hemos visto un ciclo periódico veamos otro tipo de conducta aquí está Otra vez, sigma valdrá 10, beta 2/3 pero ahora ro será 28 estos son valores de parámetros famosos para este sistema estos son los que Lorenz usó en su artículo Otra vez estos valores de parámetros, especifican las condiciones iniciales y estos determinan una curva, el método de Euler es una forma de darnos cuenta qué tipo de curva es y si lo hacemos obtenemos esto y creo que esta curva ya la mostramos antes, cuando estuvimos hablando del caos en la unidad 3, creo, parece que pasó mucho tiempo Lo que hay que notar aquí es que hay una cierta clase de regularidad zigzaguea espaciadamente pero no hay un patrón regular aquí tenemos 3 abajo, 5 arriba, dos abajo dos arriba, 3 abajo y así sucesivamente parece que hay un patrón aquí pero es aperiódico, no se repite. Podemos ver algo similar en Y, hay alguna correlación entre estos dos si miramos cuidadosamente, podemos ver que las curvas no son exáctamente idénticas pero similares, otra vez hay una suerte de conducta regular en términos del tiempo, se duplica en el tiempo pero la trayectoria misma es aperiódica, no se repite Y por último podemos ver la solución de Z, aquí está Luce diferente de X e Y pero otra vez notamos que no se repite zigzaguea arriba y abajo, pero las alturas del zigzag cambian siempre primero más pequeñas, luego más grandes arriba y abajo, arriba y abajo y así sucesivamente Podemos hacer la misma cosa para el otro conjunto de soluciones graficarlas, no contra el tiempo, sino X contra Y contra Z en un espacio de fase de 3 dimensiones y ver qué es lo que ocurre y eso es algo que deberá esperar hasta la unidad 8 Lo veremos pronto, ustedes lo pueden buscar o codificar por su propia cuenta la ecuación de Lorenz y observar como es la forma que queda