Entonces, podemos iterar el mapa de Hénon
de manera muy similar a cómo iteramos la ecuación logística.
Tan sólo empezamos con un valor,
(en este caso tenemos dos valores)
y simplemente obtenemos los valores siguientes aplicando la función
una y otra vez.
Y obtenemos una serie temporal para X
y otra serie temporal para Y.
Es una tarea bastante simple y es muy
similar pedirle a una computadora que la haga por nosotros.
Entonces, una vez que tenemos estos números,
¿qué podemos hacer? Bueno...
Como es usual en el curso nos gustaría saber:
¿Cuál es la conducta a largo plazo de la órbita?
¿Existen puntos fijos? ¿Son estables?
¿Generan caos? ¿Cómo se vería esto?
Podemos trazar una serie temporal para X,
tal como hicimos con la ecuación logística
y podemos trazar una serie temporal para Y, asimismo,
cada una como funciones unidimensionales;
una dimensión para X,
una dimensión para Y.
Pero, otra cosa que podemos hacer es
graficar X 'en contra' de Y.
De manera similar a cómo graficamos
X en contra de Y, o R en contra de F,
pero para estas dos ecuaciones diferenciales bi-dimensionales.
Así, para la ecuación logística teníamos un diagrama de estado final
que era unidimensional...
Aquí... podemos tener un diagrama que será bi-dimensional.
Sólo haré un bosquejo y luego lo dibujaré en la computadora.
Entonces, el primer punto: X=0.2, Y=0.4.
... Entonces, debería ser hasta 2 y luego quizá algo por acá...
Toscamente, algo así.
Y luego, el punto siguiente es X=1.3,
veamos, podría ser aquí...
y Y(1) es... pongámoslo por acá abajo.
Debido a que X=1.364 e Y=0.06.
Eso fue este punto.
Y ahora el siguiente punto:
En este caso X es negativo,
esto es, -0.614,
e Y es... 0.409, eso parece ser...
Eso sería... pongámoslo por acá.
Y, veamos...
Este es el punto 0.
Este era el punto 1.
Este era el punto 2, y así sucesivamente.
Puedo seguir graficando estos puntos,
muchos, muchos de ellos,
y ver qué sucede;
si acaso somos atraídos a un punto fijo,
o quizá alguna suerte de ciclo o algo parecido.
Si tan sólo deseo saber la conducta al largo plazo,
voy a iteracionar por 10 o 100 veces,
y no graficar esos pero sí los siguientes 100 o algo así.
Entonces, esto es muy similar a lo que nosotros hicimos con el
diagrama de estado final para la ecuación logística, pero ahora en vez
de una línea tenemos un plano.
Tenemos un plano porque tenemos dos números, dos coordenadas, no sólo una.
Existe un programa en el sitio web de Complexity Explorer que hará eso por uds;
Le daremos un vistazo a ese programa ahora
para entender algunas de sus características.
Este es el programa en el sitio web de Complexity Explorer que va a elaborar
gráficos de series temporales del mapa de Hénon para nosotros.
Pueden encontrar este programa
en el sitio, allí hay un link para acceder a él en
la barra de navegación de la parte derecha,
creo que es la sección 7.6 o 7.7,
y dice algo como "programas para Mapa de Hénon";
No debería ser muy difícil de encontrar.
Aquí está el programa,
se observa como una ventana emergente que he achicado ligeramente,
y debe parecerles familiar, es bastante
parecido al programa que usamos para
dibujar la ecuación logística,
el mapa logístico.
Primero podemos controlar el
número de iteraciones, yo elijo '40' por defecto;
nuestras condiciones iniciales ,
aquellas con las que hemos estado trabajando,
X no '0.2', pero, ¿por qué no '0.4'?,
voy a elegir eso;
nuestros parámetros, nuestros dos parámetros ahora: a es 0.9, b es 0.3;
y describiré lo que esta casilla hace en un segundo.
Hagamos entonces el gráfico.
Este es un gráfico de series temporales
para los valores de X,
los cuales cambian a través del tiempo
(tiempo 0, tiempo 1, tiempo 2 y así sucesivamente),
este de aquí es nuestro gráfico,
y aquí tenemos una serie de tiempo para los valores de Y
los cuales también cambian a través del tiempo
y podemos hacer gráficos de series temporales para ambos, X e Y por separado,
tal como hicimos para la ecuación logística.
Déjenme ver... sólo deslicen hacia abajo
y verán que también produce una lista de números...
Estas son nuestras condiciones iniciales:
0.2 y 0.4...
La primera iteración fue de 1.364 y 0.06.
Por lo que hicimos en el video, para la
tarea ustedes debieron calcular estos
valores: -0.614 y +0.4092.
Tan sólo computadoras siendo lo que son...
tan sólo hagan esto una y otra vez,
y se producirá esta lista de números.
OK.
Entonces, miren ahora este gráfico XY.
Esto es a lo que me refería hace un momento en el video:
en vez de graficar X versus tiempo e Y versus tiempo
podemos graficar X versus Y,
de esta forma perdemos la coordenada 'tiempo'
pero podremos ver las cosas de manera bi-dimensional.
Déjenme ver...
Oh, no será visible, se me ha complicado un poco.
Mmm... El primer valor,
nuestra condición inicial era (0.2; 0.4),
aunque así no es visible..
Así que empezamos con X=0.2 y Y=0.4
y eso está representado por este punto que está justo ahí.
Luego, el siguiente valor en nuestro [inaudible]
fue una X de 1.364 y una Y de 0.06.
Y aquello es este punto que está aquí.
Entonces este era nuestro primer punto,
y aquel fue nuestro segundo punto.
Y nuestro tercer punto,
el mismo que ustedes calcularon en la tarea,
era X(2); entonces X era -0.614,
eso sería por aquí,
-0.61...
y el valor de Y es -0.409,
y aquí está...
Esa fue la segunda iteración.
Entonces ésta es nuestra condición inicial, XY(0),
esto es XY(1),
y esto XY(2),
y así podemos seguir tratando de trazar
la localización de X(3)...
X(3), Y(3)... la cuarta iteración,
la quinta iteración, y así sucesivamente.
Entonces vemos que este punto salta por todo el plano.
Usualmente en sistémas dinámicos sólo
nos interesa la conducta a largo plazo del
... uhm, sistema.
Así que podría parecer que es algo casi
como muy periódico...
Vayamos a probar eso suministrándole al gráfico
unas 100 iteraciones...
para hacer el gráfico de series de tiempo,
Y no parece que este volviéndose...
al menos quizá es el período 2 o el período 4...
es un poco difícil de decir.
Quizá... oh... bueno, veamos, volvamos
y veamos... esto.
Entonces, aquí está el gráfico X-Y.
Hay un punto de inicio... uhm...
Aquí está el punto siguiente, y aquí el que le sigue.
Y podemos ver que los puntos se acumulan aquí.
Si nos interesa la conducta de largo plazo
no voy querera graficar esta primera docena o
estos primeros veinte o treinta puntos.
Lo que en realidad me interesa son sólo
aquellos puntos del mapa luego de un determinado período de tiempo,
y aquí es donde entra este pequeño casillero blanco.
Así que al hacer el gráfico X-Y, ese
me permitirá saltar algunas de las iteraciones.
Voy a elegir saltar, no sé, tal vez las
primeras 50 iteraciones.
Así que eso es lo que el gráfico X-Y hará:
(esto es, el gráfico azul que está abajo)
es... va a... uhm...
la computadora va a iteracionar la función
50 veces, y no va a dibujar todos los puntos
sobre el gráfico X-Y, pero sólo empezará a
dibujar a partir la iteración número 51,
lo cual deberían ser las siguientes 50.
Los gráficos púrpuras...
estos gráficos púrpuras no cambian;
pero si bajamos, veremos que nuestro punto de inicio
el cual era +0.2 y +0.4, justo... acá,
parece haber desaparecido.
Y empezamos a ver que que los puntos oscilan
más o menos entre estas dos regiones.
OK. Entonces, podemos ver la oscilación,
aquí; no podemos ver los valores de tiempo
pero podemos decir desde aquí que
las órbitas están oscilando entre un alto y un bajo, un alto y un bajo,
pero que no son exactamente los mismos.
Veamos...
Voy a dibujar ahora... quizá estaría bien
configurarlo a 10000 iteraciones.
Tal vez algo menos... 5000 pues quizá es demasiado.
Y voy a saltar el dibujado de los primeros 4900.
Recordemos que los gráficos púrpuras
siempre van a mostrar todas las iteraciones.
Así que iniciemos esto.
Lo que espero es que se vea como una gran masa púrpura.
He visto esas masas antes...
Está tomando un poco de tiempo...
Aquí está.
Y... ah... claro, esto es un gráfico de series temporales de 5000 iteraciones.
X... aquí está Y, pero veamos como se ve esto de acá...
Así que... en este punto se está volviendo
claro de que parece como si la función o
la conducta se resolviese sólo entre dos puntos,
o quizá entre cuatro puntos,
pero cada par sería casi idéntico.
En cualquier caso, esta es claramente
algún tipo de conducta periódica.
Tal vez período 2 o período 4.
Pero lo principal es que la conducta a
largo plazo es simple y, también, periódica.
Para el mapa logístico hicimos un gráfico de estado final
para la órbita periódica y este sólo
tenía 2, 4 u 8 puntos [inmediatos]
que correspondían a la periodicidad de la órbita.
Ustedes ven lo mismo aquí, pero ahora los
puntos se distribuyen sobre un plano,
y no sobre una línea.
Haremos un montón de cosas más con el Mapa de Hénon en la siguiente unidad.
Veremos cómo es se que vería la conducta caótica en dos y tres dimensiones, y
veremos atractores extraños. Pero por ahora
la novedad es que tenemos un Mapa con
valores de X e Y en él; y que estos
valores se apilan debido a que,
en este caso, el valor de X depende de Y y viceversa;
y que podemos aplicar dos series de tiempo para ello,
lo cual es bastante familiar.
Déjenme volver aquí y configurar esto para que se vea mejor...
Así que podemos dibujar series temporales como hemos hecho antes
pero lo nuevo es que podemos dibujar y tener estas órbitas sobre
una red bidimensional y un plano bidimensional,
en vez de una línea unidimensional.