En las dos unidades previas, hemos visto las ecuaciones diferenciales de dos
dimensiones. Vamos a generalizar la idea de la línea de fase a la idea del plano
de fase. Hemos visto que las ecuaciones diferenciales de dos dimensiones
son capaces de tener una conducta muy interesante, que las ecuaciones
diferenciales de una sola dimensión.
En particular, las ecuaciones diferenciales 2D, pueden mostrar
aislamientos cícliclos y a veces estos aislamientos son atractores.
En esta unidad, continuaremos nuestro viaje en las dimensiones altas
estudiando las funciones iterativas de dos dimensiones.
Miraremos mucho a las funciones iterativas de una dimensión, principalmente
la ecuación logística. Y es de una dimensión porque tomaremos
nota de una sola variable, X a lo largo del tiempo.
En esta unidad miraremos a las funciones iterativas de dos dimensiones
y tomaremos nota de dos variables a lo largo del tiempo.
Veremos como funciona y como visualizar sus órbitas en dos dimensiones.
La función iterativa de dos dimensiones que veremos es algo que se conoce
con el nombre de Mapa de Henon
Y está dado por estas dos fórmulas
Entonces esta es una función iterativa como la ecuación logística
con la diferencia de que hay dos variables X e Y y su órbita o itinerario tendrá
como mínimos dos números no únicamente uno solo.
Este es el valor próximo de X. Para tener el siguiente valor de X, se toma el valor
actual de Y, se le suma 1 y se resta a por x elevado al cuadrado
a, en este caso, es un parámetro y b es también un parámetro
Este es el valor siguiente de Y, que es b por el valor actual de X
Por lo tanto para obtener estos números tenemos que escoger valores para
los parámetros a y b, sólo necesitamos escoger valores del mismo modo que lo
hicimos con a en la ecuación logística
Para este ejemplo, escojo a = 0.9 y b = 0.3, estos son mis valores para
los parámetros
Necesitamos también escoger nuestras condiciones inciales, hay dos condiciones
iniciales ahora, porque hay dos variables X e Y
Para mi valor inicial de X, elijo 0.2
y para mi valor inicial de Y, elijo 0.4
Calculemos la primera iteración. X1 e Y1
Para hacer eso simplemente seguimos la ecuación. La ecuación determina el
valor siguiente y el valor siguiente y el valor siguiente y así sucesivamente
Esto es lo usual en los sistemas deterministas dinámicos
Veamos. X sub uno es igual a Y sub cero más uno menos a multiplicado por X elevado
al cubo, 0.9 por 0.2, elevado al cuadrado
y para Y sub cero pongo 0.4, escribo nuevamente. 0.4 más 1 menos 0.9 por 0.2
elevado al cuadrado.
Usemos la calculadora
0.2 elevado al cuadrado es 0.04 multiplicado por 0.9 es 0.036
Esto se vuelve 0.4 más 1 menos 0.036
Ahora déjenme hacer esto con la calculadora. 0.4 más 1 menos 0.036
es igual a 1.364
Esto es X sub1
Obtengamos ahora Y sub 1. Recuerden que ahora tenemos que mantener
dos variables, no únicamente una
Creo que hay una forma de hacer esto, déjenme ver
Esta ecuación me dice que Y sub uno
es b multiplicado por X sub cero
b es 0.3
x sub cero es 0.2
0.3 multiplicado por 0.2, lo pueden hacer con una calculadora o con tu cabeza
dependiendo de cuan... ágil sos mentalmente
y esto nos da 0.06
Entonces, sólo seguí la regla, como siempre hacemos con las funciones
iteradas, aplicamos la misma regla una y otra vez
En este caso lo hicimos sólo una vez
Y tengo X sub uno es igual a 1.364 e Y sub uno es 0.06
Entonces tomamos estas dos como las condiciones inciales
Y esta es mi primera iteración X e Y
Como probablemente adivinarán, debemos hacer esto muchas veces
y precisaremos una computadora para hacer esto, pero antes de hacerlo
sugiero hacer el cuestionario que sigue a esta clase, sólo para estar seguro
que ves como las funciones iteradas de dos dimensiones trabajan.