En este video hablaré más respecto al plano de fase y los tipos de comportamiento que son posibles en estos tipos de ecuaciones diferenciales.
Entonces, primero permítanme decir un poco más respecto de los tipos de puntos fijos.
Um,como antes podemos tener puntos fijos estables e inestables
En 2D esto viene de repente, casi literalmente
Así que esto podríia ser un punto fijo estable, o un atractor. Podría haber un manojo de lineas de fase
En algun tipo de plano de fase
Entonces este debería ser un punto fijo de atracción
también podemos tener una situación conocida
Donde las trayectorias se dirigen en espiral
Hacia un punto fijo
Entonces este ...
dibujaré ... los puntos fijos ,y ... los puntos de equilibrio en rojo
Entonces aquí esas lineas azules que se están dirigiendo hacia el punto estable
pero hay un giro cuando en espiral se aproxima hacia el punto fijo
entonces estos dos puntos radios que probablemente son esos
Podemos tener un equilibrio repulsor
Como este
Si exactamente sobre el punto rojo
y también podemos tener algo como...
Como esto
Entoces este es tambien insetable
Si desciendes de esta montaña no volverás a la cima de la montaña
aquí estás en la cumbre de la montaña pero si de algún modo desciencdes de la cumbre no lo harás por un costado sino que descenderás en trayectoria en espiral
Entonces estos son repulsores
estos son atractores
estos algunas veces son llamados sumideros y estos fuentes
Esta terminología es bastante común en ecuaciones diferenciales de dos dimensiones
Este es un sumidero en espiral
y esta una fuente en espiral
Fuente porque esta es una fuente en espiral
En cualquier evento, um
estos son puntos fijos para, um ...
Que hay sobre la ecuación de Lotka Volterra. Vimos allí que el comportamiento de la población es cíclico
Um, este ciclo es estable, inestable o algo más
Entonces
trataremos... iterando... o en este caso resolviendo esta ecuación diferencial para condiciones iniciales levemente diferentes
y cuando tenemos un plano de fase como este frecuentemente decimos que tenemos un
entonces, aquí está la ecuación de Lotka-Volterra, la versión que vimos antes
y vimos que , um ...
que para ciertas condiciones iniciales,... olvidé cuales eran
creo que ... diez zorros y seis conejos, tal vez
terminamos con un ciclo como este un ciclo como este
Entonces, que pasa si probamos con algunas condiciones iniciales diferentes
enconces puedo hacer esto para cada condición inicia diferente
para todas estas curvas van la misma dirección
Entonces esta curva de Euler es la que teníamos antes
con diferentes condiciones iniciales obtenemos diferentes ciclos
y diferentes condiciones iniciales obtenemos diferentes ciclos también
Entonces para el lado que gira cada uno de estos ciclos es neutral
y lo que esto significa es que si
El punto es que
Entonces esto le dice que dependiendo del número de conejos y zorros que tenga, usted estará en uno de estos ciclos
hay un punto neutral fijo, un punto fijo de equilibrio aquí en el medio
y lo puede resolver usando álgebra
Entonces el punto principal es: este es un ejemplo de representación de fase
si elijjo un número de diferentes trayectorias sobre el plano de fase al mismo tiempo
y nos permite resumir el comportamiento del sistema
Entonces podemos ver que ...
doble ciclos
y ... los ciclos son neutrales porque empujan hacia afuera o se empujan entre ellos
esta es la representación de la fase para la ecuación de Lotka-Volterra
hay un ejemplo más que me gustaría discutir porque esto nos introduce a un nuevo tipo de comportamiento
en este tipo de ecuaciones conocidas como las ecuaciones de Van der Pol
derivada de x respecto de t igual a Y
derivada de Y respecto de T es igual a menos X mas uno menos X al cuadrado
Asi tenemos dos ecuaciones diferenciales diferentes como las que hemos estudiado antes
and ,, um...uno las puede resolver empleando el método de Euler o un método similar
aquí estan los gráficos X de T y Y de T para algunas condiciones iniciales
X inicial de tres
y una Y inicial de menos tres
y tenemos este alegre
parece que cada seis minutos o la unidad que sea
no es exactamente la misma onda, pero cualquier forma que sea se repite
cosas similares aquí que se ven como aletas afiladas o algo
lo periodico parece que cada seis minutos o
entonces podemos dibujar estas dos curvas en un plano de fase
y obtenemos alguna clase de ciclo o lazo nuevamente
entonces empezamos con
X igual a 3
Y igual a menos 3
y la trayectoria en el plano de fase consigue tirar hacia el ciclo y luego hace un lazo alrededor
y este no es un óvalo perfecto sino un clase de algún divertido trapezoide una clase de cosa de paralelogamo o algo, no se lo que es
y el sistema X eY un ciclo alrededor
OK esto no es realmente nada nuevo porque se parecen al ciclo de las ecuaciones Lotke Volterra
si probamos con diferentes condiciones iniciales
así, puedo hacer esto
aquí están los resultado para condiciones iniciales diferentes
X de T e Y de T
y yo creo que esta vez elgí 0.02 y 0.02 para ambos ejes: X e Y
y...
y en la curva de Y vemos lo que sea esta forma
y entonces nuevamente
comportamiento transitorio aquí, pero hay ciclos en este comportamiento
así que empezamos aquí 0.2, 0.2
entonces esta bloomey paralelogramo
es un atractor, ¿Por qué?, porque múltiples órbitas tiran hacia él
la representación de la fase para esto
entonces esta forma es un atractor
asi que tengo un ciclo atractor
en el plano de fase
entonces el punto es que este es un atractor y es un atractor periódico
Pero de todas maneras
Hasta ahora emos visto dos ecuaciones diferenciales diferentes de esta forma
Podemos tener ciclos, ciclos neutrales como la ecuación de Lotke Volterra
O ciclos atractores como
¿Pero que hay respecto al caos?
Podemos tener caos en estos sitemas de dos dimensiones.
Entonces que pensamos respecto a esto
Dibujamos el plano de fase nuevamente
Entonces que sobre el caos
Así el caos es un sitema dinámico determinista, acotado
Las orbitas deben ser acotadas y aperiodicas en el sentido de sensibles a las condiciones iniciales
Enfoquémonos en estos dos criterios
Las órbitas deben ser acotadas
y, ... aperiodicas
Entonces digamos que tenemos algún origen en
Coloquemos un límite aquí en púrpura
Entonces ¿Podemos tener una linea de fase aperiodica, una trayectoria aperiódica aquí
Bueno, podemos argumentar
Nunca puedo cruzar la línea, nunca puedo intersectar esta línea.
Imaginen que están pintando el piso
Pintanto el piso rojo por alguna razón, puede ser de cualquier modo, pero pintando el piso rojo
Entonces, ... en todo caso la pregunta es ¿Es el caos posible?
La respuesta a esta pregunta es ... no.
Que dice: el comportamiento acotado ... aperiodico ...
... no es posible ...
... para dos ecuaciones diferenciales de dos dimensiones de esta forma
Entonces espero que
No es obvio inmediatamente, puede ser que necesitemos una prueba aquí
Supongo que uno puede imaginar una curva que
No podemos ver comportamiento caótico en sistemas de dos ecuaciones diferenciales.
es más interesante de ecuaciones diferenciales de una dimensión porque podemos ver ciclos
ciclos neutrales y ciclos de atracción en estos ciclos de lineas divertidas
Pero el caos no es posible.
Hablaré sobre esto en las unidades subsecuentes,... de esta sección