En realidad, no creo que alguien haya calculado delta para una gotera La gotera ha sido bastante estudiada experimentalmente y seguramente muestra comportamientos periódicos de periodos diferentes muestra duplicación de periodos y muestra comportamiento caótico también Eso ha sido bien establecido No creo que nadie haya sido capaz de señalar los valores de bifurcación las tasas de flujo donde las transiciones ocurren con precisión necesaria para hacer una medida de delta La gotera es demasiado sensible a vibraciones del cuarto lo que hace muy difícil obtener resultados precisos Sin embargo, han habido muchos experimentos que han sido capaces de calcular delta para diferentes sistemas que sufren duplicación de periodo Creo que no son tan claros como la gotera, por eso no partí hablando de ellos, pero déjenme tratar de describir uno de esos experimentos y luego presentaré algunos resultados y veremos cómo se compara con este número 4.669 Entonces el sistema del que hablaré es roles de convección Imaginen que tenemos una pequeña caja una pequeña caja y algún fluido adentro podría ser agua, experimentos reales han usado nitrógeno líquido o mercurio pero quizá hablaré de él como si fuera agua, ya que es más familiar, podría ser aire, algún fluído Entonces tenemos esta caja La parte superior e inferior y calentamos la parte inferior entonces la parte inferior empieza a estar más caliente que la superior inicialmente el calor es conducido a través de la caja, pero eventualmente, la parte inferior del fluido se vuelve menos densa lo que le sucede a los fluidos cuando los calientas, y porque es menos densa, el fluido comenzará a subir ese es un fenómeno familiar, es básicamente cómo tenemos viento afuera es debido a este fenómeno de convección fluídos menos densos son más livianos que el aire y tienden a ascender Para una caja pequeña, con una geometría limitada, lo que sucede es que el fluido a medida que asciende se organiza en dos roles el fluido asciende en la mitad y cae por los lados haciendo este patrón y si la caja es más larga en tu dirección que en ésta, y si la geometría es la correcta podemos obtener dos rollos bien claros en la caja Por supuesto uno no puede ver los rollos, porque los fluídos son claros y están dentro de la caja pero uno podría medir qué sucede, podríamos medir la velocidad del fluído usando algún método inteligente Tenemos estos rollos de convección, rodando de esta forma y el parámetro en este experimento es la diferencia en temperatura la diferencia entre la temperatura en la base de la caja y la temperatura en la parte superior en la medida que calentamos más la parte inferior aumenta la diferencia de calor ése es nuestro parámetro, nuestro valor r para la gotera, el valor r era la tasa de flujo y para la ecuación logística, el valor r era la tasa de crecimiento de estos conejos míticos Volviendo a la convección Tenemos estos rollos de convección rodando y en la medida que la temperatura en la base aumenta. en la medida que aumentamos ese parámetro, los rollos de convección comenzarán a tener una oscilación y la oscilación se moverá adelante y atrás a lo largo del rollo de convección con una frecuencia particular y eso corresponderá a nuestro comportamiento de período 1 si calentamos la caja un poco más, aparecerá una segunda frecuencia entonces el movimiento que oscila de arriba a abajo en nuestro rollo de convección tiene dos frecuencias en ellos y eso corresponde a un comportamiento de período 2 que vimos en la gotera o en la ecuación logística Incrementa la temperatura un poco más y veremos un comportamiento de período 4 Antes de que las frecuencias oscilen de arriba a abajo en el rollo de convección y a veces se puede aumentar la temperatura un poco más y ver un comportamiento de periodo 8 entonces la idea principal es que los rollos de convección y fluídos empiezan a tener estas pequeñas inestabilidade que oscilan de arriba a abajo en el rollo y la periodicidad se duplica y se duplica de nuevo, y se duplica de nuevo y podemos grabar las diferencias de temperatura en las que ocurren las duplicaciones de período y luego podemos calcular delta como imaginamos para la gotera y como hicimos para el diagrama de bifurcación que estudiamos anteriormente Este es un dibujo del escenario de los rollos de convección que les describí previamente moviendo mis manos el dibujo puede o no ser útil, no es un dibujo genial esta es la caja y la caja está llena con algún tipo de fluído la base de la caja está caliente y encima de la caja está frío entonces hay diferentes temperaturas y la diferencia de temperaturas es lo que mediríamos para el parámetro dentro de la caja el fluído asciende en el centro y cuando llega arriba se enfría y en la medida que se enfría se vuelve más denso y pesado y se hunde de nuevo y obtenemos un movimiento como éste. Y si las dimensiones de esta caja son las correctas,o obtenemos dos rollos, dos cilindros de fluído en movimiento este se mueve en esta diarección, y este otro se mueve en esa dirección luego, empezamos a ver una oscilación que viaja hacia arriba a abajo del rollo de convección y ese es el gran comportamiento que empieza con período 1 y que se duplica y se duplica de nuevo, en la medida que se suman más frecuencias a ese movimiento Este es un sistema que ha sido estudiado bastante y bastante rápido, luego del descubrimiento de la universalidad en caos en 1978 dejenme describir los resultados de hacer algunos de estos experimentos aquí hay una tabla mostrando los resultados para 6 esperimentos estos 3 son para rllos de convección el escenario que acabo de describir, tienes fluido en una caja, lo calientas desde la base, se forman rollos de convección y miras cómo la frecuencia de las oscilaciones cómo las frecuencias cambian es fácil de decir, pero en verdad es un experimento difícil de hacer tomó una gran cantidad de ingeniudad y paciencia para conseguirlo el reto es que necesitamos controlar la diferencia de temperaturas entre la base y encima muy muy muy exacta y precisamente y es muy difícil pensar cómo medir esas frecuencias porque no podemos mirar dentro de la caja una gran cantidad de trabajo se puso en obtener estos números aquí hay 3 valores para delta este es el mismo delta que discutimos para el diagrama de bifurcación y la ecuación logística, pero el parámetro ya no es tasa de crecimiento de conejos, sino la diferencia de temperaturas en un experimento físico aquí vemos 4.3 más menos 0.8 3.5 más menos 1.5, 4.4 más menos 0.1 no están coincidiendo exactamente con los valores predecidos de 4.669 pero no lo esperaríamos por dos razones una es el error experimental pero el segundo es que no esperamos ver 4.669 hasta que estemos en el fondo del diagrama de bifurcación y las limitaciones experimentales significan que sólo podemos ver un par de duplicaciones de períodos hay muchos sistemas físicos que exhiben duplicación de períodos y luego caos aquí hay tres más aquí hay dos experimentos separados con circuitos electrónicos uno se encaja con algún tipo de loop de retorno y podemos ver comportamiento de periodo 1 estado fijo y luego oscilación y luego una oscilación con una segunda frecuencia en ella entonces vemos duplicación de período aquí estos experimentos creo que son más fáciles de hacer tenemos 4.5 más menos 0.6 4.3 más menos 0.1 aquí hay otro experimento que fue hecho este con otro tipo de circuito y transistor y diodo no sé los detalles de este experimento lo que me interesa principalmente son los distintos sistemas físicos que subyacen la ruta duplicación de periodos al caos tienen deltas muy similares y los deltas caen dentro del error experimental consistentes con el valor predictivo de 4.669 estos datos son de un libro de Predrag Cvitanović de la universalidad del caos la cita completa está en la sección de lecturas opcionales para esta unidad es un volumen con algunos artículos originales pero principalmente reediciones, algunos muy importantes estableciendo la universalidad del caos entonces hay una tabla en ese libro que sintetiza estos 6 experimentos y probablemente media docena más y da las citaciones al experimento original ahí pero la clave es se han hecho muchos experimentos no son fáciles de hacer algunos son muy complicados podemos calcular un delta como lo definimos anteriormente y obtenemos valores que son consistentes con el número 4.669 predicho por la teoría y visto en los diagramas de bifurcación en funciones unidimencionales