En realidad,
no creo que alguien haya calculado delta
para una gotera
La gotera ha sido bastante
estudiada experimentalmente
y seguramente muestra
comportamientos periódicos
de periodos diferentes
muestra duplicación de periodos
y muestra comportamiento caótico también
Eso ha sido bien establecido
No creo que nadie
haya sido capaz de señalar
los valores de bifurcación
las tasas de flujo
donde las transiciones ocurren
con precisión necesaria
para hacer una medida de delta
La gotera es demasiado sensible
a vibraciones del cuarto
lo que hace muy difícil obtener
resultados precisos
Sin embargo, han habido muchos experimentos
que han sido capaces de calcular delta
para diferentes sistemas que sufren
duplicación de periodo
Creo que no son tan claros como la gotera,
por eso no partí hablando de ellos,
pero déjenme tratar de describir
uno de esos experimentos
y luego presentaré algunos resultados
y veremos cómo se compara
con este número 4.669
Entonces el sistema del que hablaré
es roles de convección
Imaginen que tenemos una pequeña caja
una pequeña caja
y algún fluido adentro
podría ser agua,
experimentos reales han usado
nitrógeno líquido o mercurio
pero quizá hablaré de él como si fuera agua,
ya que es más familiar,
podría ser aire, algún fluído
Entonces tenemos esta caja
La parte superior e inferior
y calentamos la parte inferior
entonces la parte inferior
empieza a estar más caliente que la superior
inicialmente el calor es conducido
a través de la caja, pero eventualmente,
la parte inferior del fluido
se vuelve menos densa
lo que le sucede a los fluidos cuando los calientas,
y porque es menos densa,
el fluido comenzará a subir
ese es un fenómeno familiar,
es básicamente cómo tenemos viento afuera
es debido a este fenómeno de convección
fluídos menos densos son más livianos que el aire
y tienden a ascender
Para una caja pequeña,
con una geometría limitada,
lo que sucede es que el fluido
a medida que asciende
se organiza en dos roles
el fluido asciende en la mitad y cae por los lados
haciendo este patrón
y si la caja es más larga en tu dirección
que en ésta, y si la geometría es la correcta
podemos obtener dos rollos bien claros en la caja
Por supuesto uno no puede ver los rollos,
porque los fluídos son claros y están dentro de la caja
pero uno podría medir qué sucede,
podríamos medir la velocidad del fluído
usando algún método inteligente
Tenemos estos rollos de convección,
rodando de esta forma
y el parámetro en este experimento
es la diferencia en temperatura
la diferencia entre la temperatura en la base de la caja
y la temperatura en la parte superior
en la medida que calentamos más la parte inferior
aumenta la diferencia de calor
ése es nuestro parámetro, nuestro valor r
para la gotera, el valor r era la tasa de flujo
y para la ecuación logística,
el valor r era la tasa de crecimiento
de estos conejos míticos
Volviendo a la convección
Tenemos estos rollos de convección
rodando y en la medida que la temperatura en la base aumenta.
en la medida que aumentamos ese parámetro,
los rollos de convección comenzarán a tener una oscilación
y la oscilación se moverá adelante y atrás
a lo largo del rollo de convección
con una frecuencia particular
y eso corresponderá
a nuestro comportamiento de período 1
si calentamos la caja un poco más,
aparecerá una segunda frecuencia
entonces el movimiento que oscila
de arriba a abajo en nuestro rollo de convección
tiene dos frecuencias en ellos
y eso corresponde a un comportamiento
de período 2 que vimos en la gotera
o en la ecuación logística
Incrementa la temperatura un poco más
y veremos un comportamiento de período 4
Antes de que las frecuencias oscilen de arriba a abajo
en el rollo de convección
y a veces se puede aumentar la temperatura un poco más
y ver un comportamiento de periodo 8
entonces la idea principal
es que los rollos de convección y fluídos
empiezan a tener estas pequeñas inestabilidade
que oscilan de arriba a abajo en el rollo
y la periodicidad se duplica
y se duplica de nuevo, y se duplica de nuevo
y podemos grabar las diferencias de temperatura
en las que ocurren las duplicaciones de período
y luego podemos calcular delta
como imaginamos para la gotera
y como hicimos para el diagrama de bifurcación
que estudiamos anteriormente
Este es un dibujo del escenario
de los rollos de convección
que les describí previamente
moviendo mis manos
el dibujo puede o no ser útil,
no es un dibujo genial
esta es la caja
y la caja está llena con algún tipo de fluído
la base de la caja está caliente
y encima de la caja está frío
entonces hay diferentes temperaturas
y la diferencia de temperaturas
es lo que mediríamos para el parámetro
dentro de la caja
el fluído asciende en el centro
y cuando llega arriba se enfría
y en la medida que se enfría se vuelve más denso y pesado
y se hunde de nuevo y obtenemos un movimiento como éste.
Y si las dimensiones de esta caja son las correctas,o
obtenemos dos rollos, dos cilindros de fluído en movimiento
este se mueve en esta diarección, y este otro se mueve en esa dirección
luego, empezamos a ver una oscilación
que viaja hacia arriba a abajo
del rollo de convección
y ese es el gran comportamiento
que empieza con período 1 y que se duplica
y se duplica de nuevo,
en la medida que se suman más frecuencias
a ese movimiento
Este es un sistema que ha sido estudiado bastante
y bastante rápido,
luego del descubrimiento de la universalidad
en caos en 1978
dejenme describir los resultados de hacer
algunos de estos experimentos
aquí hay una tabla mostrando los resultados para 6 esperimentos
estos 3 son para rllos de convección
el escenario que acabo de describir,
tienes fluido en una caja,
lo calientas desde la base,
se forman rollos de convección
y miras cómo la frecuencia de las oscilaciones
cómo las frecuencias cambian
es fácil de decir, pero en verdad es un experimento
difícil de hacer
tomó una gran cantidad de ingeniudad y paciencia
para conseguirlo
el reto es que necesitamos controlar
la diferencia de temperaturas entre la base y encima
muy muy muy exacta y precisamente
y es muy difícil pensar cómo medir esas frecuencias
porque no podemos mirar dentro de la caja
una gran cantidad de trabajo se puso en obtener estos números
aquí hay 3 valores para delta
este es el mismo delta que discutimos
para el diagrama de bifurcación
y la ecuación logística,
pero el parámetro ya no es
tasa de crecimiento de conejos,
sino la diferencia de temperaturas
en un experimento físico
aquí vemos 4.3 más menos 0.8
3.5 más menos 1.5,
4.4 más menos 0.1
no están coincidiendo exactamente
con los valores predecidos de 4.669
pero no lo esperaríamos por dos razones
una es el error experimental
pero el segundo es que no esperamos ver
4.669 hasta que estemos en el fondo
del diagrama de bifurcación
y las limitaciones experimentales
significan que sólo podemos ver
un par de duplicaciones de períodos
hay muchos sistemas físicos
que exhiben duplicación de períodos y luego caos
aquí hay tres más
aquí hay dos experimentos separados
con circuitos electrónicos
uno se encaja con algún tipo de loop de retorno
y podemos ver comportamiento de periodo 1
estado fijo y luego oscilación
y luego una oscilación con una segunda frecuencia en ella
entonces vemos duplicación de período aquí
estos experimentos creo que son más fáciles de hacer
tenemos 4.5 más menos 0.6
4.3 más menos 0.1
aquí hay otro experimento que fue hecho
este con otro tipo de circuito y transistor
y diodo
no sé los detalles de este experimento
lo que me interesa principalmente
son los distintos sistemas físicos
que subyacen la ruta duplicación de periodos al caos
tienen deltas muy similares
y los deltas caen dentro del error experimental
consistentes con el valor predictivo de 4.669
estos datos son de un libro
de Predrag Cvitanović de la universalidad del caos
la cita completa está en la sección de lecturas opcionales para esta unidad
es un volumen con algunos artículos originales
pero principalmente reediciones,
algunos muy importantes
estableciendo la universalidad del caos
entonces hay una tabla en ese libro
que sintetiza estos 6 experimentos
y probablemente media docena más
y da las citaciones al experimento original ahí
pero la clave es
se han hecho muchos experimentos
no son fáciles de hacer
algunos son muy complicados
podemos calcular un delta
como lo definimos anteriormente
y obtenemos valores que son consistentes
con el número 4.669
predicho por la teoría y visto en los diagramas de bifurcación en funciones unidimencionales