En esta sub-unidad veremos que la universalidad no sólo es un fenómeno matemático sino también un fenómeno físico. El caos ocurre en sistemas físicos reales y también la ruta al caos por duplicación de período Podemos calcular delta para estos sistemas físicos del mismo modo en que calculamos el diagrama de bifurcación en la computadora. Y veremos que los sistemas tienen deltas muy similares consistentes con el número 4.669201 Los experimentos son algo difíciles, así que voy a describir una versión más simple para darles una idea de cómo se da la duplicación de periodo y la bifurcación en sistemas físicos. Para hacerlo vamos a hacer una pequeña excursión. Voy a desmontar esta cámara y moverme por aquí... y voy a caminar por el pasillo... por aquí... Mi oficina está en un edificio extraño y viejo... Iremos al baño, hay algo que ver aquí... aquí vamos... este es el enfriador de agua... el baño... y aquí estamos Lo que quiero mostrarles es esto, es una llave que está goteando puse un vaso de plástico debajo balanceándolo con una esponja para que quizá podamos escuchar el goteo. Voy a acercar el micrófono (sonido de agua goteando) Resulta que las llaves que gotean pueden ser periódicas y pueden ser caóticas. Un goteo periódico, probablemente lo han escuchado antes, gotea regulamente. Así que goteará de manera regular... gota... gota... gota... gota... eso sería un goteo periódico. Algunas veces tendrán un goteo como éste, que no lo hacía así antes, que gotea de forma irregular. No hay un patrón obvio, hay un intervalo diferente de tiempo entre cada gota. Esos son los goteos que la mayoría de la gente encuentra muy molestos, porque es más difícil bloquearlos de la mente. Si fuera un patrón periódico podríamos olvidarnos restando de alguna manera el sonido como un ruido o regularidad que podemos aprender a ignorar. Pero una gotera que es irregular, y ésta parece serlo, tiene la propiedad de ser más difícil de ignorar. Siempre estamos esperando, ¿Cuando caerá la siguiente gota? Y es un tiempo diferente el que tenemos que esperar cada vez. Bueno, vamos a regresar y hablar más acerca de goteras. De regreso en la seguridad de mi oficina, hablemos un poco más de la llave goteante la ecuación logística tiene un parámetro "r" que interpretamos como la tasa de crecimiento. Y vemos las bifurcaciones conforme incrementamos la tasa de crecimiento "r". Lo mismo ocurre con la ecuación cúbica y la ecuación sinusal, hay un parámetro "r" que cambia y vemos bifurcaciones. ¿Cuál es el valor del parámetro para una llave que gotea? Parece ser que el parámetro usado en los experimentos es la tasa de flujo. No controlamos el crecimiento de conejos en una isla imaginaria, sino la tasa de flujo de agua fluyendo por la llave. A esto le llamamos "r", todavía es un tipo de tasa y podemos imaginar variaciones de "r" así que tenemos una perilla que nos permite modificar "r" en cantidades muy muy pequeñas. De esta manera, al menos inicialmente para un flujo muy pequeño la llave gotea de manera periódica con un periodo igual a uno. Y este es el goteo estándar. Probablemente será algo como gota... gota... gota... gota... gota... Con el mismo intervalo de tiempo entre cada gota. Ahora imagina incrementear el flujo un poco, un poco más, un poco más y eventualmente podríamos observar una bifurcación. En lugar de ser un periodo 1, las gotas son regulares pero con periodo 2. Esto sonará algo como gota, gota... gota, gota... gota, gota... Tenemos que escuchar dos gotas antes de que el periodo se repita. No hay el mismo intervalo de tiempo entre todas las gotas. Pero sigue siendo regular. Una vez que escuchamos las dos gotas, cuando escuchamos la tercera hemos vuelto donde habíamos comenzado. Así que es un periodo 2. Luego podemos incrementar el parámetro ése es la tasa de flujo girando la perilla sólo un poco más y eventualmente veremos un comportamiento de periodo 4 y puede sonar parecido a gota, gota... gota... gota... gota, gota... gota... gota... gota, gota... gota... gota... es un ciclo, pero tenemos que escuchar cuatro gotas antes de que el ciclo se repita es perfectamente regular, y predecible, pero ahora con periodo 4. Y es posible girar un poco más la perilla para incrementar la tasa de flujo sólo un poco más y observar un periodo de 8 ciclos un comportamiento de 8 periodos en el patrón de las gotas. Se vuelve más y más difícil ver estos comportamientos periódicos diferentes, porque como vimos en el diagrama de bifurcación, ocurren en rangos cada vez más pequeños de valores del parámetro, rangos de valores del parámetro Eventualmente cuando colocamos la tasa de flujo lo suficientemente alto, podemos ver comportamiento caótico, habrá un intervalo diferente entre cada gota no habrá un ciclo que se repita regularmente, será irregular Así que podemos analizar los valores del parámetro en los que ocurren las bifurcaciones y calcular los deltas como lo hicimos con el diagrama de bifurcación. Si r1 es la tasa de flujo en el cual el goteo cambia de periodo 1 a periodo 2, que es cuando vemos la bifurcación de 1 a 2. r2 es la tasa de flujo en el que las gotas cambian de periodo 2 a periodo 4, y r3 es el valor del flujo en el que cambia de periodo 4 a periodo 8 Podemos calcular deltas para esto de la misma forma que lo hicimos para la ecuación logística. Ésta es una ecuación en un segundo... Delta uno es la región del parámetro, en este caso la tasa de flujo, es el rango de la tasa de flujo en el que tenemos comportamiento de periodo 2 El comportamiento de periodo 2 inicia aquí y termina aquí, así que la diferencia entre los dos es lo que llamamos delta 1. Y es la región de todas las tasas de flujo donde tenemos comportamiento tipo 2 La misma historia aquí. Aquí cambia el periodo de 2 a 4 y aquí de 4 a 8 así que entre estos dos valores tenemos comportamiento de periodo 2 Y a eso lo llamamos delta 2. Entonces podemos formar los deltas igual como lo hicimos cuando jugamos con números en la computadora Entonces delta 1, definido así es el rango de valores de parámetro para el que las gotas son periodo 2 dividido por el rango de valores en que las gotas son periodo 4. Eso está dado por esto Y si queremos hacer el experimento veremos algo que está muy cerca de 4.669 No esperamos ver el valor exacto por dos razones. La primera es el error experimental. Es muy dificil precisar el valor de r en donde ocurre la bifurcación en la llave que gotea Esa es una razón por la cual no esperamos obtener exactamente este número. La otra razón es que este resultado sólo es verdadero cuando tenemos un número n muy grande. Cuando hemos avanzado mucho en la secuencia de duplicación del periodo. No podemos llegar allá de manera experimental, es muy difícil de hacer, pero de cualquier forma, como vimos en el diagrama de bifurcación para la ecuación logística y sinusal aún delta 1 es muy cercano a 4.669 No esperaríamos ver 4.669 exacto, pero sí números muy cercanos. Este es una manera de ver la característica de duplicación del periodo esta característica universal este valor delta igual a 4.669201 podemos hacer un experimento real en el mundo físico no una simulación por computadora. Un experimento real con goteras reales y agua real y encontrar un valor como éste.