resumons le chapitre 5 c'etait le second des deux chapitres sur les bifurcations et les diagrammes de bifurcations. ce chapitre se concentre sur les fonctions logistiques.Je commencerai par rappeler les notions diagramme d'etat final. Donc pour les equations logistiques, pour une valeur de r donnee vous pourriez faire un diagramme d'etat final ainsi. reiterer la fonction 100 fois puis reiterer 200 fois et placer ces resultats sur un interval unitaire et le resultat donne un diagramme d'etat final. c'est semblable a la ligne de phase pour une equation differentielle, cela montre l'equilibre de comportement a long terme, mais cela ne montre pas les fleches de directions du mouvement et cela parce que pour les equations logistiques et les fonctions iterartives les orbites peuvent rebondir alentour et ne bougent pas progressivement pour toutes les valeurs en continues. Donc voici pour les exemples et nous en avons vu un ensemble dans ce chapitre. voici une valeur de r qui a un comportement de periode 2

et atteint ce comportement de periode 2 tres rapidement. Le diagramme d'etat final a 2 points, ces deux valeurs finales. Je peux donc reiterer la fonction pour 200 fois et recommencer 200 fois et le resultat ne fera que rebondir entre ces deux valeurs.

Un peu plus interessant pour le cas ou nous avons un comportement aperiodique. Voici un diferente valeur de r qui a une orbite aperiodique et voici le diagramme d'etat final qui consiste en de nombreux points entre deux valeurs extremes.

Il apparait donc que les orbites ne depassent jamais les valeurs de 0.18 et 0.96 mais peuvent prendre toutes les valeurs intermediaires et donc si je placent 200 orbites, 200 iterations, je verrais 200 points qui rempliront visiblement cette ligne.

Voici donc l'etat d'etat final.

Et alors pour faire un diagramme de bifurcation il faut coller tous ces diagrammes d'etat final ensemble.

Donc chaque tranche verticale de ce diagramme de bifurcation est un diagramme d'etat final.

Une autre maniere a laquelle j'aime penser est que le diagramme de bifurcation est comme un dictionnaire qui vous permet d'apercevoir le comportement pour chaque valeur de r.

Supposons donc que quelqu'un dise : qu'est ce que le l'equation logistique donne pour une valeur de r de 3.6 vous pouvez dire "je ne sais pas" mais regardons le diagramme de bifurcation puisque c'est un dictionnaire pour toutes les valeurs possibles de r.

Donc je regarde la a 3.6, et je remonte, imaginons retirer une tranche tres fine et cela sera mon diagramme d'etat final pour cette valeur de r.

Donc le diagramme de bifurcation resume un grand nombre d'information.

Et nous noterons des schemas aussi intriguants qu'interessant dans ce diagramme de bifurcation.Un grand nombre de passage d'un comportement periodique a un comportement chaotique, periodique a chaotique, periodique a chaotique et ainsi de suite.

Il y a donc beaucoup de choses qui se passe dans ce diagramme de bifurcation.

Pour avoir un vue de plus pres je vais vous presenter un programme qui vous permettra de zoomer, tres en profondeur, dans ce diagramme de bifurcation, explorer et voir ce qu'il en est.

Nous avons donc zoomer et explorer et alors que nous faisions cela nous avons eu besoin d'ajuster quelquefois le nombre d'orbites qui ont ete sautees et nous avons eu besoin de faire cela en cas de long comportement provisoire, c.a.d. qu'il prend un long moment avant d'atteindre ces etats finaux.

Et quelquefois nous avons besoin d'augmenter le nombres d'orbites dessinees si nous zoomons beaucoup, dans la direction verticale, dans une petite region, et nous perdons de la definition et donc en dessinant plus de point nous regagnons de la definition.

mais placer un point sur l'ecran prend du temps alors ne soyons pas trop large et zoomons d'assez pres.

Terminons donc ce resume en vous rappelant que le diagramme de bifurcation, cet etonnament complexe schema vient de cette simple equation, f de x egal r par x par 1 - x et c'est juste une parabole, une parabole de la plus simple fonction que vous puissiez trouver en algebre

Mais quand elle est reiterer il y a un nombre presque infini, sinon de complexite mais au moins de regularite structurelle et ce schema fractal que nous avons vu.

Dons la fonction est simple, ainsi que son processus d'iteration.