في الوحدة الفرعية هذه سوف نستكشف
رسم التشعب البياني للخريطة اللوجيستية
بشكل إضافي وأكثر عمقاً.
لفعل ذلك، سوف نستخدم برنامج على الإنترنت
لنكبّر على مناطق مختلفة لرسم التشعب البياني.
قيل القيام بذلك، أريد أن أذكركم
مرة أخرى أنّ رسم التشعب البياني مشكّل.
إذاً، رسم التشعب البياني هو مجموعة
من رسوم الحالة النهائية البيانية.
إذاً نحتاج أن نصنع الكثير من رسوم الحالة النهائية البيانية.
لكلٍّ من واحد من هؤلاء: رسوم الحالة النهائية البيانية
في المجموعة،
نحتاج أن نختار r
نكررها لـ 100 خطوة
100 تكرار.
ثمّ سنرسم الـ 200 تكرار التالي.
ثمّ ستعيد لباقة من قيم r المختلفة.
وثمّ سنريد أن نلصقهم معاً.
نضع ع خط كل هؤلاء : رسوم الحالة النهائية البيانية
وستحصل على رسم تشعب بياني.
والذي سيعطيك لمحة
للسلوكيات المختلفة لقيم r المحتملة.
عندما نكبّر رسم التشعب البياني،
لننظر بقرب لبعض هياكله وأنماطه.
سوف نغير هذه الأعداد.
سنحتاج أحياناً أن نطلب من الحاسوب
أن يكرر أكثر من 100 مرة.
ربما ألف أو ربما أكثر.
وأحياناً لأسباب مختلفة،
سنحتاج أن نرسم أكثر من 200 نقطة بيانياً.
إذاً هذا العدد 100 و 200،
هذه الأعداد الإفتراضية اللواتي استخدمتهم للآن.
لكننا نحتاج أن نغير هؤلاء،
عندما نقوم بإستكشافاتنا.
إذاً دعونا نبدأ وننظر لرسم التشعب البياني
ونبدأ بالتكبير ورؤية ما نراه.
ها هو برنامج رسم التشعب البياني
ولقد غيرت كلتا نافذتي المتصفح
وحجم الصورة.
لكي تتناسب جيداً مع الشاشة،
إذاً دعونا نبدأ باتكبير.
التأثير المثير للإهتمام يحدث هنا على اليمين.
إذاً سأكبّر.
وها هي منظر أقرب.
ولا أعرف
دعونا نقول أنّي أريد أن أرى
ماذا يحدث على هذه المنطقة،
هنا في المنتصف
إذاً دعونا نكبّر على هذه المنطقة
وسأكبّرها مرة أخرى.
إذاً مجدداً إنّي أرى هذا العنصر، هذا النمط
نراه يحدث مرة بعد مرة.
لكن عندما كبّرت كثيراً
بمعنى أنّي فقدتُ الدقة.
لا يوجد العديد من النقاط هنا.
والسبب بذلك هو أنّ نطاق x
الآن صغير جداً.
سأذهب من 0.78 إلى 0.488 تقريباً.
إذاً إنّي أرى فقط شريحة صغيرة جداً.
نسبة صغيرة جداً من رسم التشعب البياني الطويل.
إذاً لقد رسمت 200 نقطة بيانياً لكل قيمة r.
لكن سقطت بعض النقاط من الشاشة،
وإنّهم فوق وتحت هذه الشريحة الصغيرة.
إذاً أحتاج أن أفعل شيئاً ما لكي أستطيع رؤية المزيد من النقاط.
أريد أن أرى ماذا يبدو النمط هنا.
وإذاً سوف أزيد العدد هنا.
سوف أتخطى 100، لكن بدلاً من رسم
الـ 200 نقطة التالية بيانياً سوف أرسم الـ 2000 نقطة التالية بيانياً.
إذاً دعوني أحدّث ذلك.
وأستطيع أن أرى بسرعة كبيرة جداً أنّ الصورة أغمق يكثير.
ذلك يعني أنّ هناك الكثير من النقاط،
ذلك يعني أنّي أستطيع أن أرى البنية .
أستطيع أن أرى ماذا يحدث هناك.
إذاً هذا التأثير بأنّ الصورة أصبحت مبلورة
أو فقدت دقتها.
إنّها كذلك إذا كنت تكبّر على صورة
قديمة متماثلة ونفذت
من الدقة حرفياً.
تبدأ برؤية حبيبات فردية أو نقاط ضوئية.
إذاً الإستراتيجية هنا، بمجرد ما بدأت تكبّر
وتفقد نقاط
تطلب من البرنامج أن يرسم المزيد من النقاط بيانياً.
وبرغم ذلك إنّه من المهم
عندما تقوم بالتكبير أن لا تطلب من البرنامج
رسم الكثير من النقاط سريعاً.
السبب بذلك هو أنّ أبطأ جزء
من البرنامج يرسم بيانياً.
وما أعنيه أنّ أداء كل
من هذه النقاط الضوئية على الشاشة.
تلك هي الخطوة الأبطأ.
عندما يقوم الحاسوب بتكراراته
إنّها عملية سريعة جداً.
إذاً إنّي أطلب من البرنامج هنا
أن يرسم 2000 لكل قيمة r بيانياً.
لكنه في الواقع يرسم بيانياً 2000 عندما أكبّر.
لأنّ معظم التكرارات لقيمة r معينة
سوف تسقط خارج هذا المجال الضيق.
ولذلك سؤاله بأن يرسم بيانياً كل هذه النقاط الإضافية،
لا يبطئ البرنامج كثيراً.
إذاً دعوني أوضح ذلك كالتالي.
دعونا نقول أنّي تحمست جداً وأردت أن أقوم بـ
20000 نقطة.
إذاً احسب 20000 نقطة وارسمهم بيانياً.
هذا سيأخذ القليل من الوقت،
لكنه مايزال مقبولاً .
دعونا نجربها.
واحد، اثنان، ثلاثة.
إذاً لقد أخذ ذلك حوالي ثلاث ثواني.
وبالمناسبة هذه هي--
إذا أردت أن تنظر لهذه،
افهم الصورة، الكثير من النقاط.
إنّه يشبه قليلاً كتعريض صورة
أو شيئاً ما
لكن على أي حال سؤاله للقيام بكل هذه التكرارات
يفعل حوالي 100 قيمة r،
ثم تكراره لـ 20000 مجال آخر أخذ
حوال ثلاث ثواني.
وذلك لأنّي لم أكن أسأله أن يرسم الكثير بيانياً.
دعوني أعود--
--دعونا نقول أنّي عدت إلى
هذه الصورة.
إذا سألت هذا ليقوم بـ 20000
سوف يأخذ وقت طويل.
دعونا نقول كم من الوقت--
-- قد يأخذ الكثير من الوقت.
دعونا نجرب.
1، 2، 3، 4.
حسناً إذاً ذلك أخذ حوالي أربع ثواني،
أطول مما أخذ سابقاً.
دعوني أعود أكثر قليلاً.
دعونا نجرب هذا.
أريد أن أجرب فقط.
1، 2، 3، 4، 5...
....26، 27، 28.
لقد أخذ ذلك ثلاثين ثانية تقريباً.
إذاً المغزى من القصة هو،
أنّه عندما تكبّر، تبدأ بفقدان الدقة
لأنّه لا يوجد نقاط مرسومة بيانياً كافية.
إذاً تريد أن تطلب من البرنامج أن يرسم بيانياً
نقاط أكثر لك.
ومع ذلك، لا تطلب من البرنامج أن يرسم بيانياً نقاط أكثر
لك حتى تحتاجهم.
لأنّ الرسم البياني يأخذ وقتاً طويلاً.
وسيصبح البرنامج بطيئاً جداً للعمل معه.
حسناً، إذاً بينما نكبّر، نحتاج أن نطلب من الحاسوب
أن يرسم نقاط أكثر بيانياً.
ولا نريد أن نرسم الكثير من النقاط بيانياً.
لا نريد أن نطلب من أن يرسم الكثير من النقاط بيانياً
سريعاً جداً.
هناك مسألة أخرى أو شيء رقيق يظهر
عندما نكبّر على رسم التشعب البياني
ذلك هو الإختلاف من عدم فقدان الدقة،
مسألة عدم وجود نقاط كافية.
التي تحدثت عنها سابقاً.
إذاً دعوني أوضح هذا،
وسأكبّر هنا،
وأرى ماذا يحدث.
إذاً هنا حيث يحدث التشعب يكون من دورة طورين
إلى دورة 4 أطوار .
وربما أريد أن أنظر إلى تلك النقطة تماماً.
افعل ذلك.
ونبدأ برؤية بعض التركيبات الغريبة هنا.
ألا يبدو هذا كريش
على شاشتي. لستُ متأكداً ماذا سيبدو
في الفيديو.
وإذاً بالعودة، نتوقع أن تُظهر
هذا تحليلياً.
إنّنا نذهب من دورة 1 إلى دورة 4 طور.
نرى سلوك دوري كخط دقيق واحد.
نقطة واحدة على رسم الحالة النهائية البياني.
لكن هنا، هنا مباشرةً
حيث يحدث التشعب
النقطة الوحيدة التي سنتوقع أن نراها.
من دورة 2 أو دورة 4 هذه الخطوط الدقيقة.
يصبحوا ضبابين، ويصبحوا غير واضحين هنا.
نستطيع أن نرى لماذا تلك هي المسألة.
دعونا ننظر على رسم السلسلة الزمنية البياني
لقيمة r هذه هنا مباشرةً. 3.44568.
إذاً ها هو البرنامج الذي يصنع
رسم السلسلة الزمنية البياني للمعادلات اللوجيستية.
وأريد أن أعرف ماذا يحدث
لقيمة r 3.55568.
ذلك حيثما نبدأ برؤية
هذا التلطيخ أو الزغب المفاجئ
في رسم التشعب البياني.
إذاً دعونا نصنع رسم السلسة الزمنية البياني
وها هو،
وربما من الصعب قليلاً رؤيته.
لكن إنّها دورة 2 طور . إذاً أعلى وأسفل،
لكنها في الواقع دورة 4 طور .
إذاً يوجد بعض الإختلاف
بين هاتين النقطتين المنخفضتين.
وإن كنت سأرسم هذه بيانياً
على رسم التشعب البياني. -- آسف، رسم الحالة
النهائية البياني.
سيكون لدي أربع نقاط في الواقع.
اثنتين بالأعلى هنا. واثنتين بالأسفل هناك.
وسيكونون قريبين جداً معاً.
ومع ذلك، في رسم الحالة النهائية البياني.
والذي نصنع منه رسم التشعب البياني
إنّنا مهتمين في الحالة النهائية
السلوك الطويل المدى،
إذاً لتتحقق، دعونا نرى ماذا يحدث
لأعداد أكبر من التكرارات.
إذاً مجدداً سوف أرى أنّ هناك
دورة كدورة 2،
لكن ليس تماماً،
يوجد دورة تذبذب هنا.
لكن ربما في النهاية
سوف تصبح دورة 2.
ها أنا هنا أرسم 1000 نقطة بيانياً
ومن الصعب حقاً رؤية شكل
هذه النقطة.
دعونا ننزل للأسف هنا، وننظر فقط إلى
أزواج الأرقام الأخيرة.
إذا انتظرت لـ 1000 خطوة زمنية.
إذاً يجب أن أكرر لوقت طويل.
ثم تصبح فعلاً دورة 2 طور .
أصبح 0.44085، 0.84937، 0.44085.
عاد أدراجه مجدداً في دورة مدارين.
إذاً عندما تكون r 3.44568 في المدى الطويل
إنّها حقاً دورة 2طور ، ليس دورة 2طور تقريباً، لكن دورة 4 طور .
لكن في المدى الطويل إنّه وقت طويل جداً.
إن انتظرت فقط لـ 100 تكرار.
ذلك كنا نفعله سابقاً.
يبدو أنّه دورة 4 طور، بينما في الواقع إنّها دورة 2 طور .
طريقة أخرى لقول ذلك هي
أنّ السلوك المؤقت أو العابر
لهذا طويل جداً.
يأخذ وقتٌ طويلٌ جداً للوصول إلى الحالة النهائية.
طريقة أخرى لقول هذا هي
أنّه يوجد دورة 2طور لكن
لكنّها ليست بقوة الجاذب،
لا يجذب في المدارات بسرعة جداً.
في هذه الحالة يأخذ 1000 تكرار
لكي يصل
المدار للجاذب.
إذاً هذا يعني أنّنا سيجب علينا
أن نرسم بيانياً، سيجب على البرنامج
عندما نقوم برسم التشعب البياني
نجعل البرنامج يتخطى رسم تكرارات إضافية بيانياً
لكي نرى السلوك طوييل المدى.
إذاً دعونا نعود
إلى برنامج رسم التشعب البياني.
ونرى ماذا يمكن أن نفعل.
إذاً هنا نحن عند برنامج رسم التشعب البياني
مجدداً.
وسوف أغير هذا العدد هنا.
إذاً بدلاً من تخطي رسم أول 100 تكرار بيانياً
سوف اطلب من
أن يتخطى 1000 تكرار.
ماذا سيفعل البرنامج الآن
لكل قيمة r
سيحسب البرنامج 1000 تكرار بيانياً،
ثمّ سوف يرسم الـ 200 تكرار التالي.
إذاً سأغيّر الـ إلى 1000،
دعونا نحدّث الرسم البياني
ونرى فجأة التهريب :
قد ذهبت بعيداً.
إذاً إنّنا نرى هنا
هذه تقريباً دورة 2 طور
لكنها في الواقع دورة 4 طور
بينما تتذذب هنا وهناك
ذهاباً إياباً
لا يصدم السلوك جاذب الدورة 2 تماماً
لكن إن انتظرنا وقتاً أطول
آسف.
إن انتظرنا وقتاً أطول،
عندئذٍ جاذب الدورة 2 طور يصل
وهذا الشيء يوضح نفسه
ومع ذلك أستطيع،
أن أكبّر هنا مجدداً
والآن مجدداً،
أرى هذا التهريب أو التلطيخ
ومجدداً يشير هذا
إلى أنّ هذا لا يصل للجاذب
وسوف أغيّر هذا،
لذلك أتحطى رسم 10000 نقطة بيانياً.
إذاً الآن إننا نطلب من البرنامج أن يحسب
10000 تكرار لكل قيمة r
تجاهل هؤلاء، ثم ارسم بيانياً الـ 200 التالية.
إذا فعلنا ذلك، هذا ما سيبدو.
مجدداً، التهريب أي تذهب بعيداً
إذا تأخرنا أكثر
ونرى الدورة التالية 2 هذه إلى دورة 4 طور.
إذاً مجدداً بينما نكبّر
على رسم التشعبات البياني لننظر
بشكل أعمق وأعمق للبنية الداخلية غالباً.
سوف نحتاج أحياناً
أن نطلب منه أن يتخطى تكرارات إضافية
وأحياناً نطلب منه أن يرسم بيانياً مدارات إضافية.
إذاً سوف نفعل ذلك في الفيديو التالي.