En este vídeo, os voy a mostrar como usar
una aplicación web, para hacer un diagrama
de bifurcación para la ecuación logística.
Pero antes de ver el programa,
hay unas cuantas cosas sobre diagramas
de estados finales que quiero remarcar.
Entonces, volvamos primero al parámetro
r=2.9
para el que dibujamos el diagrama, así.
Hay un único punto fijo atractor.
Está alrededor de 0.65, lo dibujo aquí.
Así que de forma práctica necesitamos decir
al ordenador dos cosas.
Estamos interesados en el estado final, así que
no queremos que haga la gráfica de los primero 20,40
o incluso 100 o 200 valores de la órbita,
ya que estamos interesados en el comportamiento a largo plazo.
No nos importa que pasa a corto plazo, así
necesitamos decirle cuantos iterados
ignorar, y entonces una vez pensamos que estamos
pensando a largo plazo, entonces estamos en tiempo
100, o 200 o 300 y necesitamos decirle
al programa cuantos puntos dibujar.
Aquí parece un poco ingenuo, solo hay
un punto, así que solo necesitamos dibujar uno.
Pero en general, no sabemos cual
es el estado final, asi que necesitamos decir
al ordenador que dibuje unos cuantos puntos,
de forma que entendamos el comportamiento.
Por ejemplo, si en lugar de 2.9, tuvieramos un
valor aperiódico, aquí de nuevo diríamos
al ordenador que iterara 400 veces digamos.
Y entonces que dibuje los siguientes 100.
Si dibujamos solo los siguientes 3 o 4,
veríamos que la orbita es realmente
periódica. Así que las dos cosas que necesitamos
decir al ordenador son: el número de iterados
a ignorar, es decir, iterar sin dibujar,
y entonces, cuantos iterados dibujar, una vez
hemos obviado los que vamos a
ignorar.
Finalmente, necesitamos repetir esto
para muchísimos valores diferentes de r,
y entonces poner todo el el diagrama hacer
un diagrama de bifurcación, como este.
Y así, necesitamos decir al programa
que valor de r para comenzar y que valor de r
para finalizar, y cuantos valores intermedios de r
para hacer el experimento numérico y hacer
el diagrama de estado final cuando
pegamos todo junto
para convertirlo en un diagrama de bifurcación.
Así , echemos un vistazo al programa y
veamos como funciona.
Aqui el programa que dibujará
diagramas de bifurcación para ti.
Puedes la link de este programa
justo debajo del video en la
página web de Complexity Explorer, y al final
de esta unidad, he hecho una subunidad a parte
en otra página, que tiene un vínculo a este
programa, y los otros dos programas
de la unidad 3.
También hay una carpeta zip que puedes
descargar, asi que puedes ejecutar estos programas
en tu ordenador incluso si
no estás conectado a la red.
Déjenme mostrarles algunas de las
características básicas de este programa,
y en los videos siguientes,
las exploraremos con mas profundidad.
Entonces aquí está, el diagrama de bifurcación
para la ecuación logística,
y sugeriría que cambies el tamaño
de la ventana, el tamaño global de la ventana del navegador
de forma que quepa en vuestro ordenador,
donde trabajáis.
Una cosa que puedes hacer es cambiar
el tamaño de la gráfica, como de grande es
en vuestra pantalla. Y para hacerla encajar mejor
voy a hacer la un poco
más pequeña. Y voy a cambiar
el tamaño a 500, y la altura a 250
y presionamos en 'Update Plot' (actualizar gráfica).
Ahora, cabe un poco mejor
en la pantalla.
Me imagino que la puedo hacer un poco más grande.
Hagámoslo...
Bien, aquí está el diagrama de bifurcación,
va de cero a cuatro.
Así, una cosa a notar es que si pones
el cursor en la pantalla, te mostraré
las coordenadas, donde el cursor está.
Si por ejemplo, justo en el cursor
hay un valor de r=2.91,
y el valor de x es 0.65
observa que estos valores cambian
cuando nos movemos.
Así que is quieres saber las coordenadas,
el valor r y el valor de x para
un punto en concreto, puedes hacer esto
justo moviendo el cursor aqui encima.
De acuerdo, para hacer este
diagrama de bifurcación, el programa comienza
iterando la semilla 0.5, y la semilla
que pones no importa demasiado, pero
puedes cambiarla si quieres, para ver si
parece diferente, y entonces iterará,
como es ahora, durante 100.
Así que vamos a esquivar los primero 100, y
dibujar 200, y estos so
los números que podemos cambiar, y hacermos
esto en los siguientes vídeos.
De acuerdo, vemos como podemos usarlo
para ampliar la imagen.
Asi puedes ampliar cambiando el mínimo y
el máximo de x y de r, pero es más entretenido y
rápido, seleccionar una región
con el ratón.
Aquí hemos seleccionado esta región en azul,
y entonces le damos a 'Update plot', y me muestra
una version ampliada de lo que habia en la caja
y podemos ir atrás, voy a presionar sobre
el botón de retroceso, y me mostrará
la caja que hemos introducido, y entonces
hacia adelante amplia aquí. Puedo ampliar
más otra vez. Digamos que quiero ampliar aquí.
y entones le damos a 'Update Plot'.
Podemos volver atrás y adelante a través,
de la gráfica. Veamos una vez más,
ampliamos sobre esta región.
'Update Plot', aquí está y podemos ver
bifurcaciones, así hay algún tipo
de periodo abajo en la bifurcación.
Esto se separa en dos, y cada separación
en dos más y así en adelante.
Así que tenemos la misma forma general apareciendo
una vez tras otra.
Y una vez tienes unos cuantos rectángulos
seleccionados, puedes moverte a través de ellos
hacia atrás y hacia adelante.
Déjame ampliar aquí. Este es el diagrama de bifurcación
ahora desde 3 hacia arriba
hasta cuatro, y dejame ampliar en un rectangulo
diferente. Voy a hacer zoom aquí.
Así que hacemos esto, 'Update Plot', y date cuenta
que es lo que sucede aquí.
Así que tenemos esta región mas o menos oscura,
Que indica que las orbitas son
aperiódicas, Están llenando todo el.
intervalo.
Pero entonces aquí tenemos lo que se llama
una ventana periódica.
Así, donde está ahora mi cursor, hay periodo 5.
1,2,3,4,5.
Imaginemos cual es el valor de r para esto.
Moveré el cursor aquí, veamos.
Mirando a la parte inferior derecha, el vamor de r
está en 3.738/3.74, y eso era uno de los valores de r
que has explorado en uno
de los 'quizzes', antes en esta unidad.
Entonces esto es una ventana de periodo 5.
Ampliemos aquí solo por diversión.
'Update Plot'. Podemos ver que el mismo
desdoblamiento de periodo acontede de nuevo.
Volvamos atrás,
Y déjenme ampliar aquí.
Esto es otra ventana periódica.
Esta es de periodo 123.
1,2,3.
El valor de r en esta región es 3.84.
and aquí también el valor de r que tu ya has
explorado previamente.
Volvamos atrás,
Aquí está la ecuación logística sobre
2.9 a 4. Ampliemos en esta grande
región aquí.
Y así podemos ver que hay regiones de caos,
entonces, cuando tenemos un...si fueramos aquí
hacia arriba, parecería que es mas o menos
una colección sólida de puntos, indicando un
punto aperiódico. Llenando todo
un intervalo.
Pero en estas regiones de caos, vemos muchas
ventanas de periodicidad. Una vez más,
a estas se las conoce como ventanas periódicas.
Miremos a una más.
Veamos que tipo de ventana es.
1,2,3,4,5,6,7.
Aqui hay ,una región de periodo 7.
La pequeña ventana pequeña is de 3.702.
Y déjame volver atrás.
Este programa te dejará hacer
diagramas de bifurcación para la ecuación logística
y puedes hacer zoon dentro y fuera,
Y una de las cosas que observarás, y sobre
la que hablaremos mucho después en esta unidad y
la siguiente, es que vemos este desdoblamiento
de periodo apareciendo una vez tras
otra, y también regiones de caos, vemos
muchas pequeñas ventanas periódicas.
Así que en la siguiente unidad hablaremos un poco
más sobre algunas de las características de este
programa y nos sumergiremos, literalmente, de forma
más profunda en el diagrama de bifurcación.