إذاً يوجد هناك بعض الأمور القليلة التي أريد ذكرها عن التشعبات.

أولاً، يجب أن أذكر بشكلٍ مختصر أنّ التشعبات موضوع شامل على نطاق واسع...

شامل أكثر مما لدي هنا...

...في معظم الدورات الرياضية في الأنظمة الديناميكية، خصوصاً تلك التي تركز على المعادلات التفاضلية.

والإستنتاجات والتحققات التي تنشأ من الجزء الأساسي من العمل ، والتي هي مجموعة صغيرة فقط...

...مجموعة - حفنة فقط - من الأنواع المختلفة من التشعبات.

إذاً ربما تعتقد، حسناً، هناك الكثير من الأنواع المختلفة للمعادلات التفاضلية...

حيث كل نوع ربما يملك نوع مختلف من التشعب، وتبيّن أنّها ليست هذه المسألة.

يوجد هناك فقط مجموعة صغيرة
يمكنك أن تصنفها بطريقة تحليلية ودقيقة جداً
ماهي هذه الأنواع المختلفة.

وبشكل مفاجئ، على الأقل بالنسبة لي، هذا التصنيف يحمل و بشكل كبير
إنّه يصبح معقد قليلاً
لكن إنّه يتمسك بأبعاد أعلى أيضاً.

إذاً يوجد نظرية رائعة جداً خلف الكثير من هذه الأشياء التجريبية التي كنت أقدّمها عن التشعبات.

إنّها في غير نطاق هذه الدورة ، لكن أستطيع أن أشير لكم بعض المراجع إن كنتم تحبون أن تتعمقوا بها بشكل أوسع .

النقطة الثانية التي أريد إبرازها هي فقط التأكيد على

الظاهرة الأساسية للتشعبات، والتي هي أنّه يمكنك أن يكون لديك تغير كبير في سلوك التوازن المترافق مع تغير صغير في وسيط النظام.

الآن، التشعبات لا تظهر كل الوقت-- معظم الوقت، في هذه المعادلات التفاضلية ، إبإمكانك تغيير الوسيط ، والنظام يتغير قليلاً فقط

تغيير صغير في شيءٍ واحد يعطي ارتفاع لتغيير صغير آخر.

لكن بين الحين والآخر، إن كنت عند هذه التشعبات أو بالقرب منها، تستطيع أن تسبب تغيير صغير في الوسيط، وهذه المرة سوف يسبب تغيير ضخم في النظام.

في حالة المعادلة اللوجيستية مع المحصول، حالما تتجاوز نقطة الحصاد الحرجة، إنّها كارثة لمهنة صيد السمك.

نقطة التوازن التي تواجدت تختفي فحسب.

لذلك ربما يكون من الجدير التفكير بطريقة عكسية بعض الشيء، إذاً، بالبدء ليس بالمعادلات ولكن بالملاحظات.

إذاً إفترض أنّك تراقب بعص صيادي السمك، ولاحظت أنّ--أنت تعرف، أننا غيرنا مقدار الحصاد بين الحين والآخر، أو نلاحظ للتو أنّه أحياناً

و ثم، فجأةً، يوم واحد أو سنة واحدة، الكثافة السكانية تختفي فحسب. وربما نتساءل، "ماذا حدث؟ ماذا فعل ذلك؟"

وربما يكون من الطبيعي النظر إلى مصدر تلوث خارجي ما، أو لمرض أسماك مروع. لا أعرف كفاية عن السمك لأعرف أي مصدر خارجي ممكن أن يكون

لكن إذا رأينا انهيار مفاجئ ما، تغير مفاجئ ما في النظام، ربما نفكر أنّه لا بد من وجود شيئاً ما خارجي سبب ذلك.

ويمكن أن تكون هي الحالة، لكن أي ظاهرة تشعبات تُظهٍر أنّه بإمكانك أيضاً أن يكون لديك تغيرات مفاجئة ناشئة من مصدر ليس خارجي....

لكن من الديناميكا الجوهرية للنظام. إذاً، هذه التغيرات المفاجئة، لا تحتاج أن نتهم شيئاً ما خارجياً، السبب يمكن أن يكون داخلياً.

وذلك مشابه جداً لأحد التحققات من تأثير الفراشة والشواش، من الوحدة الماضية.

إذا رأيت الكثافة السكانية تتصرف على نحوٍ متقلب، فذلك ليس دليل على أنّها تتبع قاعدة.

لايوجد دليل أنّ هنالك مصدر خارجي ما، الذي يجعل السلوك يبدو عشوائي أو غير عشوائي

يمكن أن تملك مصادر داخلية أو جوهرية للعشوائية في نموذج بسيط، تماماً كما يمكن أن يكون لديك قفزات أو انتقالات مفاجئة، تكون جوهرية لنموذج بسيط.

نقطة أخرى أريد أن أوضحها هي أنّه لا يجب أن تكون التشعبات أشياءً سيئة.

لقد كنت أقدّمهم كأشياء سيئة لأنّ، حسناً، في النموذج اللوجيستي مع الحصاد، إنّهم شيٌ سيء نوعاً ما.

لدينا كثافة الأسماك التي تبلي بشكل جيد نوعاً ما، ومن ثم تختفي فحسب. إذاً تلك أخبار سيئة للأسماك، وأخبار سيئة للناس التي تحب أكل الأسماك.

لكن أستطيع أن أتخيل حالات حيث التشعبات ليست فاجعة أو أخبار سيئة.

تدع التعبات تغير واحد نوعاً ما بين نوعي سلوك مختلفين أو بين نظامين مختلفين، وهذا يمكن أن يكون شيئاً مفيداً للكائن الحي، في بعض الإطارات.

وبشكل عام فقط، إن التشعبات لاتعني بشكل آلي شيئ ما رهيب بشكلٍ مفجع أو سيء.

حسناً.

النقطة الأخيرة التي أريد أن أوضحها هي أن التفكير بظواهر التشعبات ربما يخبرنا عن دراسة الأنظمة المعقدة.

إذاً وفقاً للأنظمة المعقدة، في هذا السياق، أنا أفكر بوضع حيث نحن مهتمين ليس بنوع واحد من الأسماك، لكن بالعديد من أنواع السمك.

وربما تتفاعل أنواع السمك هذه ! البعض يساعد الآخر، البعض مخاصم لبعض، نحتاج أن نفكر بما تأكله الأسماك.

الطحالب، أو أسماكٌ أخرى أحياناً، أو أسماك ف... لا أعرف ماذ تأكل الأسماك، لكن سنحتاج أن نفكر بما تأكله الأسماك.

ومن ثم سنحتاج أن نفكر بصيادي الأسماك، وماذا يفضلون أن يحصدوا، وربما الأسواق، وأي نوع من الأسماك تريد الناس أن تأكل، وهكذا.

والمغزى هو أنّه هناك الكثير من الأمور تحدث، الكثير من المتغيرات، أمور نريد أن نتعقبها، وكلها تتفاعل مع بعضها.

شيءٌ ما سوف يؤثر على الآخر، والعكس صحيح.

إذاً، حسناً.

بالنسبة للمعادلة اللوجيستية البسيطة مع الحصاد لهذه الوحدة، لقد رأينا أنّه يمكننا أن نحصل على هذه التغيرات المفاجئة...

.... هذه القفزات، هذه الفجوات، في السلوك.

هل كنا نتوقع أن نرى ذلك في نظام معقد تم بناؤه من العديد من الأشياء كالمعادلة اللوجيستية.

أعتقد أنّ الإجابة لهذا السؤال ليست واضحة جداً، وربما إنّها تصل لقلب الأنظمة المعقدة وكم هي مختلفة ومثيرة للإهتمام.

إذاً، أحدٌ ما يستطيع أن يفكر، حسناً، إن كانت المعادلات البسيطة، المعادلات أحادية البعد، لديها قفزات فيها...

تضع مجموعة كاملة من هذه المعادلات معاً، وتربطهم معاً بشكل ما من خلال التفاعلات، ثمّ من المحتمل أن يحتوي كل النظام على قفزات فيه.

ممكن أن يحدث ذلك.

أو ربما،عندما نضع كل هذه المعادلات معاً ونربطها معاً، أي تجعلها مترابطة ...

ربما تلك العلاقة المترابطة وتنوع التفاعلات ينفع استقرار الأشياء بشكل واقعي، ولذلك نميل لعدم رؤية تلك القفزات.

لا أعرف أي من هذه السيناريوهات صحيح بشكلٍ عام.

أعتقد أنّه في بعض الأوضاع، ربما لا نزال نرى قفزات، وفي أوضاعٍ أخرى، ربما لا نرى.

إذاً أعتقد أنّ تلك منطقة مفتوحة في دراسة الأنظمة المعقدة.

لدينا هذه الخصائص العامة للأنظمة البسيطة: لأي مدى تتوسع لتحمل في الـ -- متى ندرس أنظمة معقدة إضافية؟