إذاً، ها هنا رسم تشعبات بياني آخر.
إنّه ليس للمعادلة اللوجيستية.
إنّه لمعادلة تفاضلية.
ولن أعود إلى منشأها
لأن المقصد من هذا التمرين هو فقط التمرّن على قراءة رسوم التشعبات البيانية.
إذاً، كان هناك سؤالين مطروحين.
أولاً، ما هو الوضع عند h = 5؟
إذاً في رسم التشعبات البياني لدينا وسيط ما والذي يتغير.
هنا، أدعوه h مجدداً.
هنا، هذه ستكون p للكثافة السكانية.
ورسم التشعبات البياني هو فقط مجموعة كاملة من خطوط مرحلية كثيرة.
إذاً، عندما تكون h= 5، أستطيع أن أبحث عن الخط المرحلي
فقط من خلال تجاهل كل شيء ما عدا ماذا يحدث عند الـ 5.
أستطيع أن أتخيل أخذ...
زوج من المقصات
وبتشريح، تقطيع هذه القطعة.
هكذا.
التقطها.
أحركها إلى الأسفل هنا.
وسأحصل على الخط المرحلي التالي.
إذاً عند h = 5، يوجد نقطة ثابتة وحيدة.
ذلك الخط السميك.
و هي مستقرة لأنّ الأسهم مدفوعة باتجاهها.
إذاً، عند h = 5 يوجد نقطة ثابتة واحدة وهي مستقرة.
ماذا يحدث في مكانٍ ما هنا عند الـ 10؟
مجدداً، أستطيع أن أتخيل أنني تخلصت منها كلها
وأنظر فقط إلى شريحة وحيدة.
رسم التشعبات البياني متعدد، متعدد الخطوط المرحلية
كلهم مكدّسين معاً بهذا الإتجاه.
إذاً، فقط أذهب لأعلى إلى 10، وأنتزع الخط المرحلي
عند قيمة معينة،
وسوف يبدو هناك شيئاً ما كهذا:
يوجد نقطتين ثابتتين.
آسف، ثلاث نقاط ثابتة، أعذروني.
إذاً النقطة الثابتة التي في المنتصف هنا غير مستقرة.
الأسهم تّدفع بعيداً عنها.
إن كنت عند هذه النقطة الثابتة وتحركت لأيٍ من الإتجاهين،
لا تعود لهذه النقطة الثابتة،
تتجه لنقطة ثابتة أخرى.
هاتين النقطتين الثابتتين
مسستقرتين.
الأسهم تشير لهم.
إذا تحركت بعيداً قليلاً،
سوف تُصد.
إذاً هذا هو الخط المرحلي المترافق مع h = 10.
يوجد ثلاث نقاط ثابتة.
إثنتين مستقرتين،
وواحدة غير مستقرة في المنتصف.
إذاً، هذه رسوم التشعبات البيانية.
إنّها مستخدمة بشكلٍ شائع لتلخيص سلوك
يمكن أن يقوم به نموذج معين، معادلة تفاضلية، أو تابع تكراري.
أداة شائعة جداً في الأنظمة الديناميكية
تدرس كل أنواع الأنظمة الديناميكية، وليس فقط المعادلات التفاضلية.
سوف نرى رسوم التشعبات البيانية مجدداً في الوحدة التالية.
والتي هي عن رسوم التعبات البيانية للمعادلة اللوجيستية كما للتابع التكراري.
في الفيديو التالي لهذه الوحدة،
سنترك رسوم التشعبات البيانية للحظة
ونركز على التشعبات ذاتهم.
ماذا يحدث عندما يكون لدينا هذه الإنتقالات المفاجئة من نوع سلوك ما لآخر.