En este vídeo introduciré una versión modificada de la ecuación logística llamada ecuación logística con 'cosecha'. Utilizaré este modelo para mostrar un ejemplo de bifurcación y construiré un diagrama de bifurcación; un tipo muy importante de diagrama en el estudio de todo tipo de sistema dinámicos La manera en que haré esto es hum... El diagrama de bifurcación es un poco abstracto así que lo construiré paso a paso, cuidadosamente. Esto es útil para entender lo que significa. Presentaré las cosas un poco más lentas de lo que es necesario pero mi experiencia muestra que haciéndolo así realmente ayuda cuando es el momento de preparar el diagrama de bifurcación OK. Aquí está la ecuación logística con 'cosecha'; sin este término 'h' esta es la ecuación logística regular; 'r' es la tasa de crecimiento y 'k' es la capacidad de carga y voy a iintroducir este parámetro 'h' como la tasa de 'cosecha' así que para ser concreto creo que estamos modelando la pesca en un lago o bahía o algo así y 'h' es la tasa a la cual atrapamos peces y aquí solo hemos usado un número como el número de peces el supervisor podría decir que hemos atrapado 50 por año, o 100 peces o 3 peces Notarán que estos términos aquí son dependientes de la densidad La tasa de crecimiento depende del número de peces que están presentes en la población P. El término h representa el número de peces atrapados y no depende del número de peces presentes esto no puede ser una visión enteramente exacta de las cosas pero... con peces lentos o fáciles de atrapar ustedes puede atraparlos independientemente de cuantos son Y como ustedes probablemente adivinarán este es un modelo que no tomaremos muy seriamente, creo que nadie pensará seriamente que la pesca es realmente descrita por este modelo, pero es un modelo que ayudará para revisar ciertos compromisos e ideas y hablaré más acerca de como se puede generalizar este modelo al final de este vídeo o el siguiente. Así que aquí tenemos la ecuación logística con cosecha lo que voy a hacer es analizar la ecuación logística usando diferentes valores de h. El primer valor que vamos a usar sera un poco aburrido y redundante porque este es el caso cuando no estamos pescando ningún pez. y este es el mismo número que introduje antes, la imagen es la misma si la población está aquí incrementándose y la población arriba de 100 está en decremento tenemos un punto fijo estable en 100 y un punto fijo inestable en 0 dibujaré la linea de fase aquí esta... punto siguiente... punto fijo usamos una escala que se alinea con ambas y escribo unas notas para mi mismo este es el caso cuando h es 0. Voy a poner unas cuantas mas flechas en el diagrama Esto es lo que hicimos en el último vídeo. Punto fijo estable en 100 y punto fijo inestable en 0 este es el caso cuando no estamos pescando nada de peces. Analizando para h igual a 0 tenemos lo mismo Pero para un valor diferente de h Aquí tenemos h igual a 40 Déjenme decirles algo acerca de esto antes de dibujar la línea de fase El efecto de esta h geométricamente cuando se substrae de la función La línea baja verticalmente Así que... no es lo que... Sí, esta bien Aquí esta la gráfica con h igual 0, con h igual a 40 solo substraigo 40 de esta, solo tomé esta y la deslicé hacia abajo y obtuve esta curva Aquí esta la curva y veamos ahora cual es la dinámica Que puntos fijos hay y cual es su estabilidad Ahora tenemos crecimiento positivo para puntos entre este numero y este numero. Aquí en medio los peces se incrementan. Si es mayor que 83 u 84 el número de peces decrece y ahora si la población es menor que digamos 16 o 17 peces entonces esta se mueve hacia 0 y luego es negativa Si empezamos con 15, malas noticias para los peces porque todos se morirán. Déjenme dibujar la linea de fase para esta situación Aquí está mi linea y tengo un punto fijo ahí, y ahí. En medio de estos dos puntos fijos la población se incrementa y luego decrece Y este es h igual a 40 Noten por cierto que la población estable Pueden pensar que.. OK la capacidad de carga era de 100 y ahora, si cosecho 40 al año, eso representa que he movido hacia abajo por 60, y eso no funciona bien porque esta es una tasa de crecimiento muy grande Si, hay cosecha, pero también hay crecimiento hacia 100 por lo que esa sería la población si h no estuviera ahí Ahora el nuevo estado estable por esta pesca sería 83 pero ahora hay un número crítico de peces que obtenemos si es abajo de esta población, la población moriría y se iría hacia cero. OK sin ninguna sorpresa no estoy obteniendo todos esos peces pero parece que no hay una historia loca que contar sobre esos peces. Eso fue h igual a 40. Ahora voy a tratar otro valor de h Esto es h igual a 65. De nuevo noten que conforme h se hace mayor, esta curva que es una parábola invertida se mueve hacia abajo del eje vertical. Se movió otras 25 unidades hacia abajo y esta casi arriba de este eje Ahora estamos pescando muchos peces aquí Tenemos 100.. El estado estable, la capacidad de carga Esos son muchos y puedo hacer que los peces mueran. Bueno, veamos Tenemos crecimiento razonable aquí entre estos dos valores la tasa de crecimiento esta en el eje positivo, así que la población se incrementa hasta 70 mas o menos por arriba este valor decrece y parará en 70 a la izquierda de aquí decrece a cero la población de peces morirá Dibujemos la linea de fase para esto Aquí esta mi linea. Y ahora un punto fijo aquí y ahí. Recuerden los puntos fijos ocurren cuando la tasa de crecimiento es cero, aquí y aquí. en medio de estos puntos la población crece a la derecha la población decrece hacia la izquierda y si estoy abajo de 30 los peces mueren. Malas noticias para los peces! OK, esto fue para h igual a 65. Esta la linea de fase para esta ecuación diferencial con h igual a 65. Correcto, haré otros dos valores de h ahora haremos h igual a 75 Esta es una muy interesante. Ahora la curva se ha baja suficientemente. Hemos pescado suficientes peces cada año que la curva apenas toca el eje ¿Cual podría ser la linea de fase para esto? La dibujaré aquí Ahora hay solo un punto fijo que ocurre justo aquí en medio en 50 una población de 50 peces. Si estoy arriba de esta población esta decrecerá y si estoy abajo esta decrecerá Este punto fijo es un punto raro que podemos encontrar antes en el curso, creo que hay un problema de tarea intermedia sobre esto. Lo llamamos quizá punto semi-estable porque si se mueven hacia afuera por aquí tendrán muchos peces cuyo número decrecerá hasta que lleguen cerca de este punto fijo pero si caen abajo de 50, i.e. 49 los peces morirán. Así que la población esta decreciendo siempre, excepto en este punto Ok, eso fue h igual a 75. Tengo una bonita linea de fase para eso Una mas y creo que podemos adivinar que pasa Ahora h es 85. Estamos cosechando 85 peces por año Esta tasa de cosecha es tan alta que la parábola esta completamente abajo del eje x Eso significa que la tasa de crecimiento es siempre negativa Así que no importa que pase con la población siempre está decreciendo hacia 0 Estas son realmente malas noticias para los peces Puedo dibujar esta linea de fase No puse puntos en esta linea de fase porque no hay puntos fijos, no hay puntos de equilibrio Las flechas indican que no importa lo que pase la población siempre esta decreciendo. Haré una nota que esto es h igual a 85 OK. Vimos esta ecuación diferencial y variamos este parámetro h y vimos cinco valores diferentes y vimos diferentes comportamientos. La mayor parte del tiempo había dos puntos fijos. Aquí había este caso especial con un solo punto fijo y aquí no había puntos fijos. Y esto tiene sentido, creo, desde el punto de vista de los pescadores y los peces en que conforme cosechas mas y mas peces la población de peces declina eventualmente cosechas tantos peces que la población va hacia cero. Esta manera de ver las cosas es analizar la ecuación un parámetro a la vez. Imprimí un valor h les dije como calcularlo y creo que no es difícil dibujar la linea de fase Nuestro diagrama de bifurcación nos da un modo de dibujar todos los posibles comportamientos de esta ecuación para todos los posibles valores de h al mismo tiempo Es una hermosa construcción geométrica de la cual podemos obtener mucha información. Ese será el tema de nuestro siguiente vídeo.