En este vídeo introduciré una versión modificada de la ecuación logística
llamada ecuación logística con 'cosecha'. Utilizaré este modelo
para mostrar un ejemplo de bifurcación
y construiré un diagrama de bifurcación; un tipo muy importante de diagrama
en el estudio de todo tipo de sistema dinámicos
La manera en que haré esto es hum... El diagrama de bifurcación es un poco abstracto
así que lo construiré paso a paso, cuidadosamente. Esto es útil para entender lo que significa.
Presentaré las cosas un poco más lentas de lo que es necesario
pero mi experiencia muestra que haciéndolo así realmente ayuda
cuando es el momento de preparar el diagrama de bifurcación
OK. Aquí está la ecuación logística con 'cosecha'; sin este término 'h' esta es
la ecuación logística regular; 'r' es la tasa de crecimiento
y 'k' es la capacidad de carga y voy a
iintroducir este parámetro 'h' como la tasa de 'cosecha'
así que para ser concreto creo que
estamos modelando la pesca en un lago o bahía o algo así
y 'h' es la tasa a la cual atrapamos peces
y aquí solo hemos usado un número como el número de peces
el supervisor podría decir que hemos atrapado 50
por año, o 100 peces o 3 peces
Notarán que estos términos aquí son dependientes de la densidad
La tasa de crecimiento depende del número de peces que
están presentes en la población P. El término h representa el número de peces atrapados
y no depende del número de peces presentes
esto no puede ser una visión enteramente exacta de las cosas pero...
con peces lentos o fáciles de atrapar
ustedes puede atraparlos independientemente de cuantos son
Y como ustedes probablemente adivinarán este es un modelo
que no tomaremos muy seriamente, creo que nadie pensará seriamente
que la pesca es realmente descrita por este modelo, pero es un modelo que ayudará
para revisar ciertos compromisos e ideas y hablaré más acerca de
como se puede generalizar este modelo al final de este vídeo o el siguiente.
Así que aquí tenemos la ecuación logística con cosecha
lo que voy a hacer es analizar la ecuación logística
usando diferentes valores de h.
El primer valor que vamos a usar sera
un poco aburrido y redundante porque este es el caso
cuando no estamos pescando ningún pez.
y este es el mismo número que introduje antes, la imagen es la misma
si la población está aquí incrementándose y la población arriba de 100 está en decremento
tenemos un punto fijo estable en 100 y un punto fijo inestable en 0
dibujaré la linea de fase
aquí esta... punto siguiente... punto fijo
usamos una escala que se alinea con ambas
y escribo unas notas para mi mismo
este es el caso cuando h es 0. Voy a poner unas cuantas mas
flechas en el diagrama
Esto es lo que hicimos en el último vídeo.
Punto fijo estable en 100 y punto fijo inestable en 0
este es el caso cuando no estamos pescando nada de peces.
Analizando para h igual a 0 tenemos lo mismo
Pero para un valor diferente de h
Aquí tenemos h igual a 40
Déjenme decirles algo acerca de esto antes de dibujar la línea de fase
El efecto de esta h
geométricamente cuando se substrae de la función
La línea baja verticalmente
Así que... no es lo que... Sí, esta bien
Aquí esta la gráfica
con h igual 0, con h igual a 40 solo substraigo
40 de esta, solo tomé esta y la deslicé hacia abajo
y obtuve esta curva
Aquí esta la curva y veamos ahora cual es la dinámica
Que puntos fijos hay y cual es su estabilidad
Ahora tenemos crecimiento positivo para puntos entre
este numero y este numero. Aquí en medio los peces
se incrementan. Si es mayor
que 83 u 84 el número de peces decrece
y ahora si la población es menor que
digamos 16 o 17 peces entonces esta se mueve
hacia 0 y luego es negativa
Si empezamos con 15, malas noticias para los peces
porque todos se morirán.
Déjenme dibujar la linea de fase para esta situación
Aquí está mi linea
y tengo un punto fijo
ahí, y ahí. En medio de
estos dos puntos fijos la población se incrementa y luego decrece
Y este es h igual a 40
Noten por cierto que
la población estable
Pueden pensar que.. OK la capacidad de carga era de 100
y ahora, si cosecho 40 al año, eso representa que he movido hacia abajo
por 60, y eso no funciona bien porque esta es una tasa de crecimiento muy grande
Si, hay cosecha, pero también hay crecimiento hacia 100
por lo que esa sería la población si h no estuviera ahí
Ahora el nuevo estado estable por esta pesca
sería 83 pero ahora hay un número crítico de peces que obtenemos si es abajo de
esta población, la población moriría
y se iría hacia cero. OK sin ninguna sorpresa
no estoy obteniendo todos esos peces pero parece que no hay una
historia loca que contar sobre esos peces.
Eso fue h igual a 40. Ahora voy a tratar otro valor de h
Esto es h igual a 65. De nuevo noten que
conforme h se hace mayor, esta curva
que es una parábola invertida se mueve hacia abajo
del eje vertical. Se movió otras 25 unidades hacia abajo
y esta casi arriba de este eje
Ahora estamos pescando muchos peces aquí
Tenemos 100.. El estado estable, la capacidad de carga
Esos son muchos
y puedo hacer que los peces mueran. Bueno, veamos
Tenemos crecimiento razonable aquí
entre estos dos valores
la tasa de crecimiento esta en el eje positivo, así que la población se incrementa
hasta 70 mas o menos
por arriba este valor decrece y parará en 70
a la izquierda de aquí decrece a cero la población de peces morirá
Dibujemos la linea de fase para esto
Aquí esta mi linea. Y ahora un punto fijo aquí
y ahí. Recuerden los puntos fijos ocurren cuando la tasa de crecimiento
es cero, aquí y aquí. en medio de estos puntos
la población crece
a la derecha la población decrece hacia la izquierda
y si estoy abajo de 30
los peces mueren. Malas noticias para los peces!
OK, esto fue para h igual a 65.
Esta la linea de fase para esta ecuación diferencial
con h igual a 65. Correcto,
haré otros dos valores de h
ahora haremos h igual a 75
Esta es una muy interesante. Ahora la curva
se ha baja suficientemente. Hemos pescado suficientes peces cada año
que la curva apenas toca el eje
¿Cual podría ser la linea de fase para esto?
La dibujaré aquí
Ahora hay solo un punto fijo que ocurre justo aquí en medio en 50
una población de 50 peces. Si estoy arriba de esta población
esta decrecerá y si estoy abajo esta decrecerá
Este punto fijo es un punto raro que podemos encontrar
antes en el curso, creo que hay un problema de tarea intermedia sobre esto.
Lo llamamos quizá punto semi-estable porque
si se mueven hacia afuera por aquí tendrán muchos peces cuyo número decrecerá
hasta que lleguen cerca de este punto fijo
pero si caen abajo de 50, i.e. 49
los peces morirán.
Así que la población esta decreciendo siempre, excepto en este punto
Ok, eso fue h igual a 75. Tengo una bonita linea de fase para eso
Una mas y creo que podemos adivinar que pasa
Ahora h es 85. Estamos cosechando 85 peces por año
Esta tasa de cosecha es tan alta que la parábola
esta completamente abajo del eje x
Eso significa que la tasa de crecimiento es siempre negativa
Así que no importa que pase con la población siempre está decreciendo hacia 0
Estas son realmente malas noticias para los peces
Puedo dibujar esta linea de fase
No puse puntos en esta linea de fase
porque no hay puntos fijos, no hay puntos de equilibrio
Las flechas indican que no importa lo que pase
la población siempre esta decreciendo. Haré una nota
que esto es h igual a 85
OK. Vimos esta ecuación diferencial
y variamos este parámetro h y vimos cinco valores diferentes
y vimos diferentes comportamientos. La mayor parte del tiempo
había dos puntos fijos. Aquí
había este caso especial con un solo punto fijo y aquí
no había puntos fijos. Y esto tiene sentido, creo, desde el punto de vista de
los pescadores y los peces en que
conforme cosechas mas y mas peces la población de peces declina
eventualmente cosechas tantos peces que la población
va hacia cero.
Esta manera de ver las cosas es analizar la ecuación
un parámetro a la vez. Imprimí un valor h les dije
como calcularlo y creo que no es difícil dibujar la linea de fase
Nuestro diagrama de bifurcación
nos da un modo de dibujar todos los posibles comportamientos
de esta ecuación para todos los posibles valores de h al mismo tiempo
Es una hermosa construcción geométrica de la cual podemos obtener mucha información. Ese será el tema
de nuestro siguiente vídeo.