سأقدّم في هذا الفيديو
نسخة معدّلة
عن المعادلة اللوجيستية
تدعى المعدالة اللوجيستية مع المحصول.
سأستخدم هذا النموذج لأعرض مثال عن التشعبات
وسوف ننشأ رسم بياني للتشعبات:
رسم بياني من النوع الهام جداً
ودراسة كل أنواع الأنظمة الديناميكية.
الطريقة التي سأفعل بها هذا
ربما تبدو بطيئة قليلاً أو معقدة.
الرسم البياني للتشعبات نظري قليلاً
ولذلك أعتقد أنّ بناءه خطوة بخطوة،
بحذرٍ نوعاً ما، سيكون مساعدٌ بشكل ما .
لفهم ما تعنيه.
إذاً سوف أقدّم أشياء
ربما ببطئ قليلاً أكثر مما يبدو أنّها تحتاجه
لكن حسب خبرتي فإنّ القيام بذلك يساعد حقّاً
عندما يأتي الوقت لوضع كل هذه مع بعضها
وانظر لرسم التشعبات البياني.
حسناً، إذاً ها هو هنا المعادلة اللوجيستية مع المحصول.
بدون مصطلح الـ h هذا،
هذه المعادلة اللوجيستية النظامية:
r هي مقدار التطور و k هي السعة الحاملة.
وسوف أضيف وسيط آخر h
والذي يمكن أن نفسّره بمقدار المحصول.
إذاً للواقعية أعتقد أنّنا نعرض بعض مصائد الأسماك
في بحيرة أو خليج أو شيئاً ما.
و h ها هنا ... ستكون عدد فقط،
كعدد الأسماك مثلاً.
إذاً المدير ربما يضبط h عند 50:
يصطاد 50 سمكة بالسنة، أو 100 سمكة أو 3 سمكات.
لاحظ أنّ هذه المصطلحات هنا تابعة للكثافة.
مقدار التطور يعتمد على أعداد الأسماك الحاضرة (P).
مصطلح الـ h (كم نصطاد)
لا يعتمد على عدد الأسماك الحاضرة.
ربما ذلك ليس دقيقاً بشكلً كامل للنظر للأمور
لكن ربما لبعض الأسماك التي هي مغفلة أو بطيئة أو سهلة الإصطياد،
يمكنك أن تصطادهم بشكل متساوي ومستقل لعدد الأسماك الموجودة.
وكا خمنت على الأرجح
هذا نموذج لا يؤخذ على محمل الجديّة
(لا أعتقد أنّ أي شخص يفكر بأنّ
مصائد الأسماك موصوفة حقاً بهذا)
لكنه نموذج سيساعدنا أن نفكر ضمن عمليات المبادلة والأفكار
وسأتحدث أكثر عن كيف يمكننا أن نعمم
من خلال هذا النموذج، عند نهاية هذا الفيديو أو الفيديو التالي.
حسناً، إذاً حصلنا على معادلة لوجيستية مع محصول
والذي سأفعله
هو تحليل المعادلة اللوجيستية
باستخدام تقنيات نوعية للقيم المختلفة لـ h.
القيمة الأولى التي سوف أفعلها
ستكون مملة قليلاً ومسهبة
لأنّنا قد رأينا هذا سابقاً.
ولذلك هذه هي الحالة عندما h تساوي 0
إذاً هذا يعني إننا لا نحصد أي سمك على الإطلاق.
وهذا نفس العدد الذي أدخلته سابقاً
إذاً الصورة نفسها.
إذا كانت الكثافة السكانية هنا تتزايد،
إذا كانت الكثافة السكانية فوق الـ 100 تتناقص.
إذاً لدينا نقطة ثابتة مستقرة عند الـ 100
ومن ثم نقطة ثابتة غير مستقرة عند الصفر.
سأرسم خط مرحلي لذلك....
ها هو ، ها هنا نقطة ثابتة.....
هنالك نقطة ثابتة....
سوف أستخدم الآن مقياس مُصمّم
ليصنّف نوع الخط مع الذي على هذه
وسأصنع ملاحظة لنفسي أنّ هذه كانت الحالة عندما h تساوي 0.
يجب أن أضع الآن بضعة أسهم إضافية ....
حسناً، إذاً هذا تماماً ما فعلناه في الفيديو السابق.
نقطة ثابتة مستقرة عند 100، نقطة ثابتة غير مستقرة عند 0
وهذه هي الحالة عندما لا نحصد أي أسماك على الإطلاق.
إذاً الآن لقد حللناها لـ h = 0
سوف أقوم بنفس الشيء لكن لقيمة مختلفة لـ h
إذاً هنا h =40
إذاً دعوني أقول قليلاً عن هذا قبل أن نقوم بالخط المرحلي.
تأثير مصطلح h هذا - على نحوٍ هندسيٍّ فقط،
عندما نطرح ثابت من دالة
يحركها للأسفل، عمودياً.
إذاً هنا الرسم البياني حيث h =0
h = 40، فقط أطرح 40 منها
إذاً إذا أخذت هذه ونقلتها للأسفل بـ 40
سأحصل على هذا المنحني.
إذاً ها هنا المنحني ودعونا نرى ما هي الديناميكية الآن.
أي نقاط ثابتة يوجد؟ ما هو إستقرارهم؟
إذاً الآن لدينا تطور موجب
إن كنا بين هذا العدد وهذا العدد
إذاً بين هنا، الأسماك تتزايد.
إن كان عدد الأسماك أكبر من 83 أو 84
عدد الأسماك سيتناقص، يتحرك بهذا الإتجاه.
والآن، إن كنت أقل من، فلنقل، 17 أو 18 سمكة،
عندئذٍ سأتحرك نحو الصفر ومن ثمّ اللانهاية السالبة.
إذاً إذا بدأنا، فلنقل، بـ 15 سمكة،
ذلك خبر سيء للأسماك لأنهم سيموتون كلهم.
إذاً دعوني أرسم الخط المرحلي لهذا الوضع.
ها هنا خطي و لدي
نقطة ثابتة هناك، نقطة ثابتة هناك.
بين هاتين النقطتين الكثافة السكانية تتزايد،
وفوقهما تتناقص، وهكذا،
وهذه h =40.
بالمناسبة لاحظ أنّ الكثابة السكانية ثابتة
- السعة الحاملة اعتدات أن تكون 100
والآن إذا حصدت 40 بالسنة
من المحتمل أن ينزله ذلك للـ 60
وإنّه لا يعمل بتلك الطريقة تماماً
لأنّه لديه مقدار تطور عالي جداً،
إذاً نعم إنّك تحصد، لكنهم نوعاً ما يعاودون التزايد
جزءاً من الطريق نحو الـ 100 والذي ما يريده أن يكون،
أين ستذهب الكثافة السكانية إن لم تكن h هنا.
إذاً الآن الحالة الثابتة الجديدة للمسمكة ستكون 82، 83،
لكن لاحظ أيضاً أنّه يوجد عدد حرج من الأسماك
وإذا وصلت لتحت هذه الكثافة السكانية
الكثافة السكانية ستموت وستنزل للصفر.
حسناً، إذاً، إنّه ليس مفاجئاً أنّي لا أعرف شيئاً عن الأسماك
لكن هذه تبدو كقصة غير جنونية عن الأسمالك لأرويها.
حسناً، إذاً إنّ h =40
الآن سوف أجري قيمة h أخرى إذاً هذه h =65
مجدداً لاحظ كلما كبرت h، هذا المنحني
(إنّه قطع مكافئ رأساً على عقب)
ينزل تحت المحور.
إذاً الآن هذا نزل للأفل 25 أخرى
وإنّه بالكاد نوعاً ما يلقي نظرة فوق هذا المحور.
إذاً الآن إننا نحصد الكثير من السمك هذا العام،
السعة الحاملة 100، وإنّنا نحصد 65 في عام.
ربما تعتقد أنّ 'أوه، هل هذا كثير؟
هل هذا سيجعل الأسماك تموت؟ حسناً، دعونا نرى...
لدينا هنا تطور معقول بالفعل،
إن كنا بين هاتي القيمتين،
مقدار التطور ( الذي على محور y) موجب
إذاً الكثافة السكانية ستتزايد حتى تصبح حوالي أقل من 70.
إن كنا فوق هذه القيمة
ستتناقص وتتوقف عند 70
وإن كنا على يسار هنا،
ستتناقص نحو الصفر: الأسماك ستموت.
إذاً دعونا نرسم الخط المرحلي لهذا.
ها هنا خطي والآن لدي نقطة ثابتة هنا
وهناك - تذكر أنّ النقاط الثابتة تظهر عندما يكون مقدار التطور 0.
إذاً هنا وهنا.
بين هاتين النقطتين، الكثافة السكانية تزداد.
لليمين، الكثافة السكانية تتناقص ( تتحرك لليسار)
وإن كن تحت - إن كنت
دون هذه القيمة، أكثر من 30 بقليل -
الأسماك تموت: خبر سيء للأسماك.
حسناً، إذاً سأصنع ملاحظة لنفسي. h =65.
إذاً ذلك هو الخط المرحلي
لهذه المعادلة التفاضلية مع h =65.
حسناً، سأقوم بقيمتي h إضافيتين.
بعد ذلك سنقوم بـ h = 75
وهذه مثيرة للإهتمام الآن المنحني قد إنخفض بما فيه الكفاية.
أنني أطرح أسماك كافية كل عام
ذلك بالكاد يبلغ هذه القيمة هنا.
إذاً ماذا قد يبدو عليه الخط المرحلي لهذا؟
وسأرسم الخط في....
الآن يوجد فقط نقطة ثابتة.
إنّها تظهر هنا مباشرةً في المنتصف
عندما نملك 50 سمكة: الكثافة السكانية لـ 50.
إن كنت فوق هذا، أتناقص،
وإن كنت تحت هذا أتناقص.
إذاً هذه النقطة الثابتة حالة غريبة نوعاً ما، والتي لم نصادف مثلها كثيراً، هناك واحدة مثلها في مسألة الواجب المتوسط
سوف ندعوها شبه مستقرة لأنّك إذا تحركت بعيداً من هنا، لديك الكثير من الأسماك، ستتناقص لهذا وستقترب للنقطة الثابتة هذه،
لكن إن كنت أقل بقليل يكون لديك أسماك تحت الـ 50، أنت عند 49 والأسماك ستبدأ بالموت، الكثافة السكانية تتناقص،
الكثافة السكانية تتزايد دائماً، لكن صادف أن تحافظ على ثباتها عند هذه النقطة الوحيدة. حسناً، والتي هي h = 75. لدي خط مرحلي دقيق لذلك، وواحدٌ آخر. ربما تستطيع،
الآن h ستكون 85، إذاً أنا أحصد 85 سمكة بالسنة وهذا كافي لمقدار الحصاد، إنّ القطع المكافئ الآن تحت محور x بشكلٍ كامل.
ذلك يعني أنّ مقدار التطور سالب دائماً، إذاً لا يهم مهما كانت الكثافة السكانية، إنّها تتناقص نحو الصفر، وأعتقد نحو اللانهاية السالبة رياضياً.
إذاً هذه أخبار سيئة جداً للأسماك، إذاً أستطيع أن أرسم الخط المرحلي هذا. لا أضع نقاط على الخط المرحلي هذا لأنّه لا يوجد نقاط ثابتة، ولا نقاط متوازنة.
الأسهم تشبر إلى أنّه مهما كانت الكثافة السكانية، إنّها تتناقص دائماً. سأصنع ملاحظة أنّ قيمة الـ h هذه، الوسيط h، هو 85.
حسناً إذاً نظرنا لهذه المعادلة التفاضلية ولقد غيّرت هذا الوسيط h، ولقد نظرنا إلى 5 قيم مختلفة ورأينا سلوكيات مختلفة
في معظم المرات كان هناك نقطتين ثابتتين هنا، كان هناك حالة خاصة وجد بها نقطة ثابتة واحدة وهنا لم ينوجد أي نقطة ثابتة.
وأعتقد أنّ هذا منطقي من وجهة نظر صيادي السمك حيث أنّك كلما إصطدت أكثر وأكثر الكثافة السكانية تنحدر.
وفي نهاية الأمر إنّك تحصد أسماك كثيرة جداً بحيث كثافة الأسماك تتجه للصفر.
إذاً هذا الطريقة لرؤية الأمور -والتي نحلل بها المعادلة -كل وسيط على حدة، لقد طبعت قيمة الـ h، أخبرتك بقيمة الـ h، آمل أنّها ليست صعبة.
ما يعطينا إياه الرسم البياني للتشعبات هو طريقة لتصوّر كل السلوكيات المحتملة لهذه المعادلة لكل القيم المحتملة لـ h بنفس الوقت
إنّه بنية هندسية دقيقة الذي تستطيع أن تحصل منه على الكثير من المعلومات.
إذاً ذلك سيكون الموضوع للفيديو التالي.