En este video compararé y contrastaré las ecuaciones diferenciales y las funciones iterativas Estas son los dos tipos principales de sistemas dinámicos que estudiaremos en este curso. Y otros muy parecidos que tienen propiedades matemáticas diferentes Comparando la ecuación logística que posee una funcion iterada y una ecuación diferencial nos puede ayudar a clarificar y resaltar algunas diferencias importantes. Aquí a la izquierda está la ecuación logística en forma diferencial la forma que estamos viendo describe la función P en términos de su tasa de cambio entonces, sabemos cuál es la tasa de cambio de P (dP/dt) si sabemos cuánto es P el crecimiento de la población (dP/dt), depende del valor tomado por la población (P) y estos dos parámetros. Para una función iterada, también se describe el crecimiento de la población pero aquí f(P) es la población del siguiente año dada la población en este año Entonces tenemos una serie de valores de población iterando esta función Cuando comencé con la ecuación logística usé esta forma de la misma Pero usualmente es simplificada a esta forma donde A es absorbida por x. Entonces esta forma es la que usaremos. Pero, el punto de partida para estas dos ecuaciones es el mismo en el lado derecho de la ecuación La diferencia es que hacemos distintas interpretaciones a la izquierda Entonces, el lado derecho aquí es interpretado como la tasa de crecimiento y el lado derecho aquí es interpretado como la población en el año siguiente Entonces, las soluciones a estas funciones iterativas y a las ecuaciones diferenciales tienen un caracter distinto Para las ecuaciones diferenciales: la solución es población como función del tiempo (P(t)) y se vería como algo así... Para una función iterativa: Graficamos una serie temporal La cual puede parecerse a: Algo como esto Entonces, noten las diferencias entre estas dos soluciones. En ambos casos la curva azul es la solución a los sistemas dinámicos. Los cuales son una regla que les dice a las curvas azules cómo comportarse Pero, para las ecuaciones diferenciales, la curva azul cambia continuamente, se define todo el tiempo creciendo suavemente de aquí hasta aquí pasando a través de todos los valores intermedios. En cambio, para la función iterativa: el tiempo se mueve a través de saltos tiene un valor inicial en 0, luego 1, luego 2 y el valor de la población también se mueve por saltos va de este valor a este valor, y las líneas que conectan los puntos, saltan de aquí en el tiempo cero hasta aquí en el tiempo 1 sin tomar los valores intermedios. Entonces, en esta, la ecuación diferencial, tanto el tiempo como la población son continuos (Escribe: Tiempo y población son continuos) Pero para la ecuación logística y para todas las funciones iteradas el tiempo y la población o cualquier medida que tomemos se mueven a través de saltos. Escribe: (el tiempo y la población se mueve por saltos) Entonces, otra vez, para la ecuación logística en la función iterada el tiempo y la población se mueven por saltos y esta diferencia aquí, junto al hecho de que estas ecuaciones son deterministas da lugar a un rango muy amplio y distinto de posibles comportamientos. Entonces, como vimos en la funciones iterativas en la unidad III que, son capaces de producir ciclos y caos. Entonces: escribe (ciclos y caos son posibles) Ahora, no todas las funciones iteradas muestran ciclos o caos recuerden que caos es una órbita aperiódica y limitada que también posee SDIC (Sensible Dependencia sobre las Condiciones Iniciales) Para una ecuación diferencial, sin embargo, los ciclos y el caos no son posibles. Escribe: (ciclos y caos no son posibles) Entonces, pensemos acerca porqué esto es así. supongamos que un ciclo es positivo Este sería el caso tendríamos una curva solución parecida a esta, que sube y baja Podemos eliminar esta posibilidad apelando al determinismo de esta ecuación Esta ecuación dice: que la derivada de la tasa de crecimiento de la población depende solamente en la población... y en K pero imaginamos que estos están fijos Pensemos acerca de esta curva azul que sube y baja voy a dibujar, arbitrariamente una línea punteada Notemos qué es lo que pasa. Aquí tengo un valor particular de P (el de la línea punteada) y la población crece, entonces la derivada es positiva la derivada entonces es positiva para este valor de P Aquí, cuando el ciclo, cuando la población está bajando la derivada es negativa, eso significa que en estos dos puntos aquí y aquí, son derivadas diferentes Entonces, la primer flecha púrpura, dice que la función crece, derivada positiva y la segunda flecha, que la función decrece y la derivada es negativa Pero el problema es que tienen el mismo valor de P, denotado por el eje aquí y el valor de P es el mismo Si estos es cierto, entonces: valores diferentes de P perdón, diferentes derivadas sobre el mismo valor de P Pero, eso es imposible porque la ecuación diferencial, dice que la derivada es una función solamente de P. Otra forma de decirlo es: el mismo valor de P... o... o... un valor dado de P solo tiene un valor de derivada asociado con el Si sabemos la población P entonces, eso determina la derivada Aquí si sabemos la población P no está determinando la derivada porque tenemos diferentes derivadas para el mismo valor de P Entonces, la conclusión es: Los ciclos no son posibles y el caos es imposible también Todo comportamiento que suba y baje, no tiene porqué ser un ciclo regular, lo podemos eliminar a través de este argumento. Dijimos esto en la unidad II. El rango de comportamientos para ecuaciones diferenciales unidimensionales son un tanto aburridos La función puede incrementarse hasta un punto fijo disminuir hasta un punto fijo decrecer hasta el infinito, crecer hasta el infinito. Eso es todo lo que puede hacer. Las funciones iterativas tienen un rango mucho más rico de comportamientos. Y eso es porque el determinismo no las limita de la misma manera por lo que no prohibe los ciclos. Entonces, los ciclos son posibles en funciones iterativas y el caos y el comportamiento periódico también los son.