En este video compararé y contrastaré
las ecuaciones diferenciales y las funciones iterativas
Estas son los dos tipos principales de sistemas dinámicos
que estudiaremos en este curso.
Y otros muy parecidos que tienen propiedades matemáticas diferentes
Comparando la ecuación logística
que posee una funcion iterada y una ecuación diferencial
nos puede ayudar a clarificar y resaltar algunas
diferencias importantes. Aquí a la izquierda
está la ecuación logística en forma diferencial
la forma que estamos viendo describe la función P en términos de su tasa de cambio
entonces, sabemos cuál es la tasa de cambio de P (dP/dt) si sabemos cuánto es P
el crecimiento de la población (dP/dt), depende del valor tomado por la población (P)
y estos dos parámetros.
Para una función iterada, también se describe el crecimiento de la población
pero aquí f(P) es la población del siguiente año
dada la población en este año
Entonces tenemos una serie de valores de población iterando esta función
Cuando comencé con la ecuación logística usé esta forma de la misma
Pero usualmente es simplificada a esta forma
donde A es absorbida por x.
Entonces esta forma es la que usaremos.
Pero, el punto de partida para estas dos ecuaciones
es el mismo en el lado derecho de la ecuación
La diferencia es que hacemos distintas interpretaciones a la izquierda
Entonces, el lado derecho aquí es interpretado como
la tasa de crecimiento
y el lado derecho aquí es interpretado como
la población en el año siguiente
Entonces, las soluciones a estas funciones iterativas y a las ecuaciones diferenciales
tienen un caracter distinto
Para las ecuaciones diferenciales:
la solución
es población como función del tiempo (P(t))
y se vería como algo así...
Para una función iterativa:
Graficamos una serie temporal
La cual puede parecerse a:
Algo como esto
Entonces, noten las diferencias entre estas dos
soluciones. En ambos casos la curva azul es la
solución a los sistemas dinámicos. Los cuales son
una regla que les dice a las curvas azules cómo comportarse
Pero, para las ecuaciones diferenciales, la curva
azul cambia continuamente, se define todo el tiempo
creciendo suavemente de aquí hasta aquí pasando
a través de todos los valores intermedios.
En cambio, para la función iterativa:
el tiempo se mueve a través de saltos
tiene un valor inicial en 0, luego 1, luego 2
y el valor de la población también se mueve por saltos
va de este valor a este valor, y las líneas que conectan
los puntos, saltan de aquí en el tiempo cero hasta aquí en el tiempo 1
sin tomar los valores intermedios.
Entonces, en esta, la ecuación diferencial,
tanto el tiempo como la población son continuos
(Escribe: Tiempo y población son continuos)
Pero para la ecuación logística y para todas las funciones iteradas
el tiempo y la población o cualquier medida que tomemos
se mueven a través de saltos.
Escribe: (el tiempo y la población se mueve por saltos)
Entonces, otra vez, para la ecuación logística en la función iterada
el tiempo y la población se mueven por saltos
y esta diferencia aquí, junto al hecho de que estas ecuaciones son deterministas
da lugar a un rango muy amplio y distinto de posibles comportamientos.
Entonces, como vimos en la funciones iterativas en la unidad III
que, son capaces de producir ciclos y caos.
Entonces: escribe (ciclos y caos son posibles)
Ahora, no todas las funciones iteradas muestran ciclos o caos
recuerden que caos es una órbita aperiódica y limitada que también posee
SDIC (Sensible Dependencia sobre las Condiciones Iniciales)
Para una ecuación diferencial, sin embargo, los ciclos y el caos no son posibles.
Escribe: (ciclos y caos no son posibles)
Entonces, pensemos acerca porqué esto es así.
supongamos que un ciclo es positivo
Este sería el caso
tendríamos una curva solución parecida a esta, que sube y baja
Podemos eliminar esta posibilidad apelando al determinismo de esta ecuación
Esta ecuación dice: que la derivada de la tasa de crecimiento de la población depende
solamente en la población... y en K pero imaginamos que estos están fijos
Pensemos acerca de esta curva azul que sube y baja
voy a dibujar, arbitrariamente una línea punteada
Notemos qué es lo que pasa. Aquí tengo un valor particular de P
(el de la línea punteada) y la población crece, entonces la derivada es positiva
la derivada entonces es positiva para este valor de P
Aquí, cuando el ciclo, cuando la población está bajando
la derivada es negativa, eso significa que en estos dos puntos
aquí y aquí, son derivadas diferentes
Entonces, la primer flecha púrpura, dice que la función crece, derivada positiva
y la segunda flecha, que la función decrece y la derivada es negativa
Pero el problema es que tienen el mismo valor de P, denotado por el eje aquí
y el valor de P es el mismo
Si estos es cierto, entonces: valores diferentes de P
perdón, diferentes derivadas sobre el mismo valor de P
Pero, eso es imposible
porque la ecuación diferencial, dice que la derivada
es una función solamente de P. Otra forma de decirlo es:
el mismo valor de P... o... o... un valor dado de P solo tiene un valor de derivada asociado con el
Si sabemos la población P entonces, eso determina la derivada
Aquí si sabemos la población P no está determinando la derivada porque
tenemos diferentes derivadas para el mismo valor de P
Entonces, la conclusión es: Los ciclos no son posibles y el caos es imposible también
Todo comportamiento que suba y baje, no tiene porqué ser un ciclo regular, lo podemos eliminar a través de este argumento.
Dijimos esto en la unidad II.
El rango de comportamientos para ecuaciones diferenciales unidimensionales son un tanto aburridos
La función puede incrementarse hasta un punto fijo
disminuir hasta un punto fijo
decrecer hasta el infinito, crecer hasta el infinito. Eso es todo lo que puede hacer.
Las funciones iterativas tienen un rango mucho más rico de comportamientos.
Y eso es porque el determinismo no las limita de la misma manera
por lo que no prohibe los ciclos. Entonces, los ciclos
son posibles en funciones iterativas y el caos y el comportamiento periódico también los son.