Hola, bienvenidos a la unidad 4 del curso Esta es la primera de dos unidades en bifurcaciones Las cuales son: cambios cualitativos súbitos en el comportamiento de los sistemas dinámicos como parámetros que varían de forma continua. En esta unidad veremos bifurcaciones en ecuaciones diferenciales. La siguiente, será de bifurcaciones sobre funciones iteradas como la ecuación logística que estudiamos en la Unidad III Empezaré esta unidad, repasando técnicas de solución cualitativa para ecuaciones diferenciales y luego introduciré la versión diferencial de la ecuación logística de la última unidad y usaré el mismo ejemplo para introducirnos en la idea de bifurcaciones. Entonces,comencemos. Aquí tenemos la ecuación logística en forma diferencial dP/dt es igual a rP por (1 menos P/K) Es parecida a la ecuación logística de la unidad anterior sin embargo, esta es una ecuación diferencial vemos a la izquierda dP/dT. Lo que significa que tiene propiedades algo distintas Compararé y contrastaré la ecuación diferencial y la iterativa en el siguiente video. Por ahora quiero enfocarme sobre las propiedades, de esta ecuación. Entonces, esta ecuación tiene dos parámetros r, como antes es una medida de la tasa de crecimiento a valores de r más grandes, obtenemos poblaciones más grandes. P, otra vez, es alguna población K es un parámetro conocido como capacidad de carga. Para la función iterada de la ecuación logística K era A, que nombramos como el parámetro de aniquilación. Y podemos ver que K y A que si bien aparecen en el mismo lugar, tienen significados distintos. Esta es una ecuación diferencial como las que estudiamos en la unidad II. dP/dT, la velocidad de cambio de P es una función de P. Cuán rápido la población crece depende en la cantidad inicial de la población y en el valor de estos dos parámetros. Aquí tenemos un gráfico de la parte derecha de la ecuación Por simplicidad, elegí un K = 100 y un r = 3 K = 100 y r = 3 De un gráfico como este, vimos en la unidad II que podíamos obtener mucha información cualitativa acerca del comportamiento del sistema dinámico Cuando, esta función es positiva significa que la tasa de crecimiento es positiva y que la población está creciendo. Por lo que toda población más grande que 0 y menor que 100 crecerá. Si la población es mayor que P = 100, entonces la tasa de crecimiento (r) es negativa por lo que la población (P) disminuye Y si la población es menor a P = 0, lo cual no tendría sentido, pero matemáticamente si la población fuera negativa (P < 0) la tasa de crecimiento también lo sería haciendo que el valor de P se vaya a la izquierda Entonces, podemos dibujar una línea de fase que la vamos a hacer aquí Aquí esta, y... Tenemos dos puntos fijos, uno de los cuales esta en 0 y el otro en 100 Este punto fijo (100) es estable es un atractor. Cualquier número entre 0 y 100 será atraído a el, cualquiera más grande que 100 también O sea, poblaciones más grandes que 100, decrecerán hasta 100 y poblaciones entre 0 y 100 crecerán hasta alcanzar P = 100 Y 0, es un punto fijo inestable, un repulsor o sea, que si tenemos valores de 0 y nos movemos ligeramente hacia cualquiera de los lados, seremos empujados lejos de 0 en este caso (derecha) se dirige al atractor en 100 y en este (izquierda) se dirige hacia el infinito negativo. Entonces, esta es la línea de fase para esta ecuación diferencial. Podemos también dibujar soluciones para la ecuación diferencial. Y la solución, en este contexto, es la población (P) como función del tiempo (t) Veamos, sabemos que 100 es un punto fijo, y... (se da cuenta que el papel estaba fuera de cámara) Sabemos que 100 es un punto fijo dibujaremos la curva solución con azul y empezaremos alrededor de 20 vemos que crecerá, rápidamente hasta que alcance 100 Si empezáramos sobre el valor de 100, entonces disminuiría acercándose a 100 Entonces, acá tenemos tres soluciones distintas con P como función del tiempo Esto es lo que nos muestran las curvas azules: esta es P, esta es t Y en todos los casos se acercan al punto fijo de 100 el cual dibujo con la línea punteada Entonces, nuevamente sin hacer ningún cálculo y sin usar el método de Euler pudimos obtener, en cierto sentido, confiablemente, la forma de estas curvas. Entonces, finalmente, digamos algo acerca de esta cantidad K, porqué es la "capacidad de carga" Bueno, esta ecuación nos dice que cualquier población una población positiva (cualquier población real es positiva para empezar) se acercará a 100. Entonces 100 es en cierto sentido la población en el equilibrio Es el número/cantidad de individuos que el sistema cualquiera sea, puede soportar Ok. Este es un enfoque cualitativo sobre las soluciones de la ecuación logística Luego de esto viene un cuestionario (quizz) que nos refrescará la memoria de cómo funciona esto y luego discutiremos la ecuación logística iterada y compararemos y contrastaremos con la ecuación diferencial.