در این بخش کمیتی را معرفی خواهم کرد که به نام نمای لیاپونوف معروف است.
مطالب این بخش شاید کمی فنی تر از مطالب قسمتهای قبلی باشد
و ازآن در قسمتهای بعدی این دوره آموزشی هم اسفاده نخواهم کرد،
بنابراین اگر بخواهید می تونید کلا از تماشای این بخش صرف نظر کنید.
ایده ای که نمای لیاپونوف مطرح می کند از این قرار است :
«وابستگی حساس به شرایط اولیه» به شکلی که تا به حال تعریف شد
تمایزی دو حالتی در یک سیستم دینامیکی است.
به این معنا که یک سیستم یا به شرایط اولیه وایستگی حساس دارد یا ندارد.
هرچند معقول این است که احتمال دهیم، و در موضوع مورد نظر به طور قطع این طوراست،
که بعضی سیستمها حساسیت بیشتری از سیستمهای دیگر به شرایط اولیه دارند.
بنابراین می خواهیم میزان حساسیتِ سیستمی را که به شرایط اولیه اش حساس است بررسی کنیم.
و این همان چیزی است که نمای لیاپونوف به ما می دهد.
این نما یا شاخص عددی است که نشان می دهد یک سیستم حساس به شرایط اولیه به چه اندازه به آن شرایط حساس است.
و از این جهت، اطلاعات بیشتری در خصوص حساسیت سیستم به ما می دهد تا یک جواب ساده ی «بله/نه، این سیستم اثر پروانه ای دارد/ندارد»
پس بگذارید شروع کنیم و نگاهی به این نمای لیاپونوف بیندازیم.
ایده ی پشتِ نمای لیاپونوف از این قرار است: راهی است برای اندازه گیری میزان حساسیتِ وابستگیِ حساس به شرایط اولیه، برای یک سیستم دینامیکی.
فرض کنید دو تا وضعیت اولیه داریم که اونها روXِصفر و Yصفر می نامم.
واین دو وضعیت اولیه در ابتدا فاصله ای از یکدیگر دارند،
که این فاصله رو Dصفر می نامم.
پس این D، تفاضل یا فاصله ی اولیه بین دو وضعیت اولیه است.
بعد همینطور که با افزایش زمان سیستم دینامیکیِ مورد نظر را (از هر نوعی که هست) تحول می دهیم
- من اینجا فرض می گیرم که سیستم مورد نظر از نوع توابعِ بازگشتی(iterative) است، هرچند این موضوع درباره معادله های دیفرانسیل هم صادق است –
می توانم بپرسم که این تفاضل با افزایش زمان چگونه تغییر می یابد.
یعنی می خواهم بدانم D چه تابعی از زمان است؟
که یعنی همان تفاضل X از Y در زمان t.
و این خطهای عمودی هم به معنای قدر مطلق است.
می خواهم بدانم تفاضل بین دو مدار، یا همان قدر مطلق این تفاضل، با افزایش زمان چطور تغییر می کنه.
افزایش پیدا می کنه؟
اگر افزایش پیدا می کنه احتمالا به این معناست که وابستگی حساس به شرایط اولیه وجود دارد.
... و خروجیهای سیستم با گذر زمان از هم فاصله بیشتری پیدا می کنند.
اگر این تفاضل با افزایش زمان کاهش پیدا کند
به این معناست که احتمالا این دومقدار به سمت یک نوع «جاذب پایدار» نزدیک می شوند.
پس ممکن است کنجکاو شویم که « بسیار خب، شکل این تابع (D) چگونه است؟»
ضمنا این همان منحنی آبی رنگی است که در برنامه آنلاینی که در قسمتهای قبلی استفاده کردید ترسیم شد.
فقط اینکه این، قدر مطلقِ آن منحنی آبی رنگ است. ولی ایده ی هر دو یکی است.
به نظر می آید که درمورد خیلی از سیستمهای حساس به شرایط اولیه،
یا بهتر بگویم درمورد بیشتر این سیستمها
این مقدار به طور نمایی (توانی) با زمان افزایش می یابد.
اجازه دهید چند تا مورد رو که نشون دهنده ی این موضوعه بنویسم.
خب، تابع D از t که فاصله دو مدار از همدیگر رو در زمان t نشون میده
... و برای خیلی از سیستمها، فکر می کنم بیشتر سیستمها، D تابعی نمایی از زمان است.
جدایی یا فاصله دو مدار از هم، اگر آشوب وجود داشته باشد، وابستگی حساس به وضعیت اولیه دارد ...
... و به طور نمایی افزایش خواهد یافت.
و اگر آشوب وجود نداشته باشد سیستم به سمت یک نقطه ثابت یا یک چرخه ی پایدار و جاذب حرکت خواهد کرد
و این D به طور نمایی افت خواهد کرد.
پس Dصفر، که فاصله اولیه دو مدار از هم است، چگونه افزایش پیدا می کنه یا کوچک می شه؟
جواب اینکه به طور نمایی تغییر می کنه
و مرسوم است، هرچند الزامی نیست، که از پایه 2 در این رابطه نمایی استفاده شود.
طبعاً می تونید از e هم به عنوان پایه استفاده کنید،
و هر جا لازم شد این دو پایه رو به یکدیگر تبدیل کنید.
ولی من در این درس از همین 2 استفاده خواهم کرد.
پس D تابعی از زمان است که شکل نمایی داره،
و لاندا هم شاخص(نمای) نرخ رشد یا کاهش است.
خب، بگذارید یک مثال از رابطه رو در مورد معادله لجستیک ارائه کنم
و بعد کمی بیشتر درباره نمای لیاپونوف توضیح خواهم داد.
خب، برای معادله لجستیک با r=4 که می دانیم وابستگی حساس به وضعیت اولیه دارد
و مقدار آن کمیتی آشوبناک است، یعنی معادله لجستیک با این مقدار r آشوبناک است
مشخص می شه که نمای لیاپونوف، لاندا، مساوی با 1 است برای این سیستم.
و این رو میشه به طور دقیقی اثبات کرد، و محاسبه عددی آن هم دشوار نیست.
پس لاندای مساوی با 1 به این معناست که فاصله بین دو وضعیت اولیه به طور نمایی رشد می کنه ...
متناسب با 2 به توان t.
پس این (Dصفر) فاصله اولیه است و سپس این مقدار متناسب با 2 به توان t رشد می کنه.
که به این معناست که با افزایش هر واحد زمانی مقدار آن دو برابر میشه.
پس من دراینجا دو تا وضعیت اولیه انتخاب کردم، فکرکنم: 0.2 و 0.2001
... و این مربعهای کوچک در نمودار تابع D (وابسته به t) رو نشون می دهند ...
که همان تفاضل یا فاصله بین دو مدار است.
و این همون منحنی ای است که در برنامه ای که استفاده کردیم آبی رنگ بود.
خط مقطّع در این نمودار، این تابع است که با انگشت نشون می دم.
پس نکته قابل توجه در این نمودار اینه که
بدونیم که خط مقطع، یعنی این تابع، تقریب بسیار خوبیه برای این D که تابعی است از زمان .
- که نشون دهنده چگونگی رشد تفاضل بین این دو مدار به شکل تابعی از زمان است.
دو منحنی به طور کامل بر هم منطبق نیستند چون این فقط یک رابطه تقریبی است.
اگر میانگین آن را روی همه وضعیتهای اولیه بگیریم،
نشون دهنده این خواهد بود که به طور میانگین فاصله مدارها از هم چطور تغییر پیدا می کنه.
اینجا نمودار دیگری از این رابطه نشان می دهم،
و اینجا تا t=9 جلو رفتم، به جای t=5 که در نمودار قبلی بود.
و باز هم می تونید ببینید که این یکی، یعنی منحنی سیاه تو پُر که از داده های حاصل از برنامه کامپیوتری شکل گرفته
باز هم در حال افزایشه و رشد آن تقریبا به شکل نمایی هم هست.
و به طور خیلی خوبی هم تقریب آن با این خط مقطع داده شده.
پس موضوعه اصلی اینه که: اگر یک سیستم آشوبناک داشته باشیم،
با وابستگی حساس به شرایط اولیه
برای تقریبا کل آن سیستم، تفاضل بین آن وضعیتهای مجاور به هم به طور توانی (نمایی) افزایش می یابد.
و آن نرخ رشد نمایی همان نمای لیاپونوف است،
و میزانی است برای سنجش آنکه سیستم چقدر آشوبناک است،
و اینکه با چه سرعتی دو مدار از هم فاصله می گیرند.
بسیار خب، در اینجا نمای لیاپونوف به طور دقیق تری تعریف میکنم.
کمیتی که برای ما مهم است تابع D وابسته به زمان t است
که مساوی است با قدر مطلق تفاضل دو مدار در گذر زمان.
و سپس فرض می کنیم که این تابع به شکل توانی یا رشد می کنه و یا افت می کنه.
بنابراین فرض می کنیم که یک چنین شکلی داره
Dصفر، که فاصله ی اولیه است
و بعد از آن، 2 به توان (لاندا×t) می آید.
پس با یک تابع نماییِ وابسته به زمان سر و کار داریم.
که همین طور که زمان افزایش پیدا می کنه، رشد ... یا کاهش پیدا می کنه،
وقتی آشوب وجود داشته باشه، افزایش پیدا می کنه.
و این نرخ رشد توانی (نمایی)، لاندا، همان نما یا شاخص لیاپونوف است.
این رابطه یا تابع در واقع فقط به طور میانگین و برای مقادیر t و Dصفر های کوچک صدق می کند.
تعاریف فنی تری از این موضوع اخیر، درباره ی فرایندهای میانگیر گیری، وجود داره، ولی ...
نکته اصلیِ این توضیحات اینه که یک حس شهودی و کمابیش فیزیکی از مفهوم نمای لیاپونوف به دست بیاریم.
بسیار خب، لاندا که همان نمای لیاپونوف است،
اگر مقدار آن مثبت باشد این رابطه نشانگر یک رشد توانی خواهد بود
پس یک رشد توانی داریم در تفاضل دو مدار نزدیک به هم،
و این یعنی که وابستگی حساس به شرایط اولیه در سیستم وجود دارد.
پس نمای لیاپونوفِ مثبت یعنی که در سیستم SDIC (وابستگی حساس به شرایط اولیه) وجود داره
و از آن مهتر، یا به همان اندازه مهم، اینکه:
مقدار لاندای بزرگتر یعنی حساسیتِ بیشتر،
هر چه لاندا بزرگتر باشد، مدارهای نزدیک به هم با سرعت بیشتری از هم فاصله می گیرند.
و سیستم بیشتر به آن شرایط اولیه حساس است.
از طرف دیگر، اگر لاندا منفی باشد مدارهای نزدیک به هم با گذر زمان به هم نزدیکتر می شوند.
و طبیعتاً باید، به طور میانگین، به سمت یک جاذب کشیده شوند،
و درآن صورت هیچ وابستگی حساسی به وضعیتهای اولیه وجود ندارد.
اگر دو وضعیت اولیه با فاصله از یکدیگر شروع به تحوّل کنند،
آن فاصله با گذر زمان کوچک و کوچکتر می شود، نه بزرگتر.
پس همون طور که گفتم تعریفهای دقیقتری برای نمای لیاپونوف وجود داره و ...
می شود این رو به نماهای چندگانه در سیستمهای با ابعاد بیشتر تعمیم داد.
ولی به هر حال اونچه در اینجا گفتیم ایده اصلی این نما معرفی کرد:
نمای لیاپونوف نرخِ جداییِ نماییِ دو مدارِ مجاور در یک سیستمِ دینامیکی است.
اینها (نماهای لیاپونوف) کمیتهایی هستند که محاسبه آنها در مطالعه سیستمهای دینامیکی بسیار رایج است
هرچند من گمون نمی کنم در این دوره آموزشی از اونها استفاده کنم،
امّا به احتمال زیاد اگر متون دیگر یا منابع دست اول رو مطالعه کنید با اونها مواجه خواهید شد،
برای همین فقط خواستم به شما ایده ای درباره اینکه "نمای لیاپونوف چی هست" بدهم
و اینکه چگونه درباره اش فکر کنید.