Hemos visto que la funcion logística, con R = 4, produce aleatoriedad.
El resultado es tan aleatorio como arrojar una moneda
En esta clase quiero elaborar más lo que esto significa,
y profundizar el concepto de aleatoriedad.
Lo primero que quiero enfatizar es algo muy general,
y creo que es una lección general e importante que surge del estudio de caos y sistemas dinámicos,
es que es imporante distinguir entre las propiedades de un SISTEMA que produce un resultado,
y las propiedades del RESULTADO en si mismo.
Entonces, aqui tenemos un sistema determinístico,
las propiedades de la función hacen que el resultado sea determinístico,
pero las caracteristicas del resultado son aleatorias.
Voy a decir algo sobre la alternativa a una función determinística.
Si una función no es determinística,
normalmente se la llama "función estocástica".
Estocástica significa que no es determinística,
o sea que un mismo dato de entrada no siempre produce el mismo resultado.
Existe un elemento de azar.
De manera que podríamos tener un sistema estocástico produciendo un resultado aleatorio.
Suponemos que eso es lo que ocurre en el caso del lanzamiento de una moneda.
O podríamos tener un sistema determinístico produciendo un resultado aleatorio.
Las propiedades de estos procesos generadores son diferentes, incluso quizás opuestas:
determinístico y estocástico,
pero ambos pueden producir resultados aleatorios.
Ahora pensemos:
¿Qué significa decir que un resultado es aleatorio?
Antes, si yo hubiera dicho que algo es aleatorio,
y te hubiese preguntado qué significaba eso,
podrías haber pensado en un factor al azar.
Pero cómo podemos pensar
en el concepto de aleatoriedad
sin invocar la idea del azar?
Estas son algunas formas de pensar en esto:
Comencemos con un ejemplo:
En el próximo semestre en la univesidad
voy a dictar un curso sobre mecánica cuántica.
el curso consiste en 20 clases durante 10 semanas;
dos clases por semana.
La inscripción tendrá lugar aquí en un par de semanas.
A menudo los estudiantes me preguntan:
"¿Cuándo son las clases?"
Yo les puedo responder:
"Las clases son los martes y viernes a la 1 PM".
Fíjense en lo que acabo de hacer:
Habra 20 clases,
pero yo pude describir los momentos en que nos reuniremos
de una manera muy simple y concisa.
No tuve que hacer un listado de cada uno de los 20 horarios.
Podría haberlo hecho.
Podría haber dicho:
La clase sera
el primer martes a la una,
y el primer viernes a la una
y el segundo martes a la una,
y el segundo viernes a la una,
y asi sucesivamente.
Los estudiantes me mirarían como algo raro,
o como algo aún más raro de lo que me consideran normalmente,
y se preguntarían por qué estoy haciendo eso.
El mensaje es
que hay demasiada redundancia,
cuando yo en cambio puedo tomar esos 20 elementos
y expresarlos en una forma muy, muy compacta.
Podemos decir que este tipo de conjunto de datos completos,
los horarios de todas mis clases,
es muy compresible
Puedo tomar toda esa información y comprimirla en una declaración corta.
Por otro lado, si me sintiera algo malicioso, creo que podria
obligar a mi clase de mecánica cuántica a reunirse a una hora diferente,
y quizás en días diferentes cada semana.
No sé por qué haría algo así,
pero imaginemos que quiero hacer eso,
simplemente para confundir a mis alumnos,
o, no sé, para confundir a los administradores de la universidad, o algo así.
Entonces, ahora la clase se reúne quizás a las 7PM un martes,
y luego por ejemplo a las 3AM un jueves,
y la semana siguiente se reúne al mediodía,
y luego otro día a la medianoche.
O sea que nos reunimos en horarios diferentes cada semana, sin un diseño claro.
Entonces, si un estudiante me preguntara:
"¿Cuándo son tus clases de mecánica cuántica durante la primavera?
Yo necesitaría hacerle un listado
de cada una de las 20 clases
Porque no hay ninguna regularidad, ningún patrón,
yo no puedo tomar esos 20 horarios que considero al azar
y comprimirlos.
Lo que esoty sugiriendo es que
cuando pensamos en la aleatoriedad,
otra forma de describir lo que significa que algo sea aleatorio
es diciendo que algo aleatorio es incompresible.
si tenemos un grupo de datos, o una secuencia de sómbolos,
que no podemos comprimir,
porque no tienen un patrón que nos permita obtener una descripción mas corta
entonces quizés eso sea lo que queremos decir cuando empleamos el término aleatoriedad.
Esa esa una definición de aleatoriedad.
El primer ejemplo, la clase que se reúne siempre a la misma hora,
dos días por semana, durante 10 semanas,
ese nbo es un horario aleatorio.
Y por lo tanto lo puedo comprimir y describir esos horarios en una forma muy concisa.
Por otro lado, si nos reunimos en horarios diferentes sin un patrón claro cada semana,
durante el día o la noche, en días diferentes cada semana,
eso es un horario de clase aleatorio
y no lo puedo describir en una manera concisa.
Necesitaría listar cada una de las 20 horas.
Entonces una forma de pensar en la aleatoriedad,
es pensar en incompresibilidad.
Entonces veamos algunos ejemplos para pensar
en algunas de la sutilezas asociadas a este concepto de aleatoriedad.
La idea es que una secuencia es aleatoria si es incompresible.
Consideremos estos 3 ejemplos que nos ayudarán a ilustrar esta idea.
Este es el primer ejemplo: 010101
En estos ejemplos imaginemos que la secuencia se extiende sin fin.
Creo que deberíamos poner puntos para simbolizar esto,
Entonces 010101... una secuencia muy, muy larag, quizás infinita,
es esta secuencia compresible?
Yo diría definitivamente que sí.
Yo puedo describir esta secuencia de una manera muy compacta.
Diria: 01 repetido sin fin.
De manera que, yo tomé una secuencia infinita, y la describí en una forma muy compacta.
Y como es compresible,
Puedo decir que no es aleatoria.
Bueno, ahora veamos el segundo ejemplo.
101011 y continúa asi, cambiando indefinidamente.
Entonces, es esta compresible?
¿Hay alguna manera breve o concisa para describir esta secuencia?
¿Existe algún algoritmo o programa de computación breve que pudieramos escribir,
que pudiera reproducir esto?
La respuesta en este caso es no.
Entonces decimos que esta secuencia es aleatoria.
¿Es compresible? No.
Es incompresible, por lo tanto es aleatoria.
Ustedes podrian preguntarse, ¿de donde saqué yo esto?
¿Acaso lo inventé?
No, no lo inventé.
Y en realidad resulta que la gente...
cuando los humanos intentamos construir una secuencia al azar,
no somos muy buenos produciendo aleatoriedad.
Esa es una de las razones por las que la aleatoriedad verdadera es un recurso útil,
como mencioné antes.
Yo tomé esto de un sitio en internet llamado random.org
que genera números al azar para el usuario.
Uno puede elegir muchas formas diferentes de generarlos
y el sitio produce números al azar en base a...
supongo que con un mecanismo electrónico acoplado a la atmósfera
que detecta ruido atmosférico.
En lugar de usar un generador de números al azar,
utiliza el movimiento aleatorio de las moléculas de aire para producir números al azar.
Es un sitio muy bueno cuando uno necesita números al azar.
Porque en realidad es muy dificil obtenerlos.
Uno puede obtenerlos en random.org
Entonces, esto es aleatorio porque es incompresible.
No lo puedo comprimir.
Aqui hay otro ejemplo.
Otra vez, una larga secuencia de ceros y unos.
Aquí no existe un patron evidente,
aunque se ven estos números 4 y 6,
pero luego tenemos mas alternancia aquí.
Entonces, nuevamente, podríamos mirar esto, pensar mucho y preguntarnos:
¿Es esto aleatorio? ¿O no es aleatorio? ¿Es compresible?
Y resulta que esta secuencia es compresible.
Esta secuencia es el número "pi" en binario.
Supongo que deberíamos poner una coma allí, para hacerlo verdaderamente PI en binario.
De todas maneras, esta es la expresión del número pi en binario.
Entonces esto es compresible porque yo
puedo pensar en una descripción breve o concisa de esto.
Yo podría decir simplemente: "Imprimir el número pi en binario."
Esto puede ser una tarea muy difícil, pero yo podría especificarla,
esa tarea, de una manera bastante concisa.
Y podría escribir un programa de computación que la realizara.
Podría ser un programa muy largo - por cierto mucho más largo que esto.
Pero, si yo lo deseara,
podría hacer que el programa corriera sin fin y escribiera
una cantidad infinita de dígitos del número pi, con un tiempo límite infinito,
y el programa no necesitaría ser infinitamente largo.
No importa cuál sea el algoritmo usado para calcular pi,
puedo hacerlo funcionar por mas tiempo,
y el programa no necesita hacerse más largo.
Aquí, si yo deseara generar más números en esta secuencia,
el programa necesita contener una copia de toda la secuencia
porque no hay forma de comprimirla
porque es una secuencia al azar.
Entonces esto no es aleatorio porque es compresible.
Esto es aleatorio porque no es compresible
Y esto nos confunde un poco
porque parece que debería ser al azar
tiene aspecto de aleatorio
pero resulta que en realidad existe una descripción breve de esto.
Entonces uno podría preguntarse:
"Un momento: ¿Cómo podemos estar seguros de que esto es realmente aleatorio?"
Quizás existe algún otro número como pi,
y esto es sólo una expansión de ese número,
o existe alguna otra forma de comprimir esto
y no hemos sido aún lo suficientemente inteligentes para descubrirla.
De manera que hay algunas sutilezas en este concepto de compresibilidad
que tendremos que pensar más.