Analicemos las propiedades de una secuencia de símbolos generados por la función logística. Voy a considerar una secuencia simple, generada por una órbita de la función logística, en la cual r = 4.0, de manera que éste es un valor caótico, aperiódico, porque depende de las condiciones iniciales. y voy a imaginar un experimento aquí a la izquierda, y otro experimento a su lado en el que arrojaré una moneda muchas veces. Si arrojo una moneda, los resultados van a ser caras (heads, H) y cecas (tails, T), la probablidad de obtener caras es un medio (1/2); la probabilidad de obtener cecas es un medio (1/2); y los lanzamientos son independientes: el resultado de un lanzamiento no influye el resultado de ningún otro lanzamiento. la secuencia de símbolos se obtiene de la órbita convertida en una serie de Ls y Rs. Lo que quiero hacer ahora es comparar las estadísticas de esta serie de Ls y Rs con las estadísticas de la serie de Hs y Ts. voy a imaginar que tengo una cantidad infinita de datos, de manera que estas dos series son ambas infinitas. esta suposición no es realista, pero va a simplificar la discusión y la explicaré más adelante. Entonces, sobre la primera serie infinita de Ls y Rs podemos preguntar: cuál es la frecuencia de L, y cuál es la frecuencia de R? Y si hacemos esto, encontramos que la mitad de estos símbolos eran L, y la mitad eran R. Y podemos hacer lo mismo aquí: arrojamos una moneda infinitas veces y podemos preguntar lo mismo: ¿cuál es la frecuencia de H? ¿Cuál es la frecuencia de R? Y la frecuencia de H es un medio, y la frecuencia de T es un medio. Esto nos dice que caras y cecas son igualmente probables, ocurren con la misma frecuencia, y las Ls y las Rs también tienen la misma frecuencia. Esto no significa que las secuencias sean iguales, o que tengan las mismas características; sólo nos dice que la frecuencia de cada símbolo es igual a la frecuencia de los otros símbolos. Ahora hagamos otro experimento: Preguntemos cuál es la frecuencia de las combinaciones LL, RL, LR, y RR; la frecuencia de estos resultados. Si yo reviso esta larga secuencia y cuento con qué frecuencia encuentro un par LL, y en qué fracción encuentro los pares LR, RL o RR, obtengo un cuarto (1/4) para cada una: los cuatro pares tienen la misma probabilidad. Lo mismo va a ocurrir aquí: si pregunto cuál es la frecuencia de HH, HT, TT y TH... encuentro que las frecuencias de todos los pares posibles son todas iguales, como ocurre en el caso de la izquierda. Quizás ustedes ya adivinen el siguiente paso: preguntemos cuáles son las frecuencias de todos los triples posibles: LLL, LLR, LRL, etc. Entonces, en la dinámica de símbolos de la función logística hay ocho resultados posibles para tres símbolos consecutivos, y todos ocurren con la misma frecuencia: un octavo (1/8). Lo mismo ocurre en el caso de la moneda: ocho resultados posibles para tres símbolos consecutivos, todos con la misma frecuencia: 1/8. Puedo continuar haciendo estos experimentos, analizando cuatro símbolos consecutivos, cinco, seis, etc. y en todos los casos econtraré que todas las secuencias ocurren con la misma frecuencia. Por ejemplo, si estudiara la secuencia de 5 símbolos H,T en el caso de la moneda, encontraría que ocurren con la misma probabilidad, y lo mismo en el caso de la secuencia de 5 símbolos H,L en la función logística. Esto significa que la dinámica de los símbolos de la función logística cuando r=4.0 son tan aleatorios como el lanzamiento de una moneda. Este es un resultado importante que tenemos que considerar con más detenimiento: lo voy a escribir... "La ecuación logística con r=4 es tan aleatoria como un lanzamiento de moneda". En un lanzamiento de moneda, todas las secuencias de Hs y Ts tienen la misma probabilidad; para la ecuación logística, todas las secuencias posibles de Ls y Rs tienen la misma probabilidad. Otra forma de entender esto es la siguiente: Supongamos que genero dos secuencias de símbolos (los nombres de las letras no tienen importancia, podemos usar Hs yTs, ceros y unos, etc. ). Una de estas secuencias muy largas fue generada arrojando una moneda una y otra y otra vez. La otra secuencia de símbolos fue generada por la iteración de la ecuación logística una y otra vez, y convirtiendo el resultado en una serie de símbolos. Si después muestro estas dos secuencias, y pregunto cuál es cuál, no hay ninguna forma de diferenciar estas dos secuencias. una fue generada lanzando una moneda, un proceso que consideramos como totalmente al azar, mientras que la otra secuencia fue generada por el calculo repetido de una función, un proceso que consideramos totalmente determinístico. Y sin embargo, los resultados no pueden distinguirse uno del otro. Ahora debo aclarar que, en ambos casos, en la realidad no podemos generar una secuencia verdaderamente infinita, de manera que estas probabilidades no serían exactamente 1/8 y estas tampoco serían exactamente 1/8, algunas serian algo mayores y otras algo menores que 1/8. Pero esto no afecta el argumento de que cuando las secuencias se extienden más y más, todas estas frecuencias se igualan y todas estas frecuencias se igualan, y las dos secuencias no se pueden distinguir. Acabamos de ver un ejemplo de una función determinística que produce un resultado aleatorio. Y no solo un resultado aleatorio cualquiera, sino un resultado que, como dije, es tan aleatorio como lanzar una moneda. Iterando una función determinística, obtuvimos un resultado que no se puede distinguir del resultado de arrojar una moneda. Esto parece muy extraño, y hablaremos más sobre esto en un momento. pero primero quiero subrayar que este resultado, que iterando la función logística y convirtiendo el resultado en dinámica de símbolos produce algo que semeja el lanzamiento de una moneda, es un resultado extremadamente útil. porque la aleatoriedad es un recurso muy útil en la ciencia, y en nuestras vidas. El acceso a una fuente de valores aleatorios es algo bueno; por ejemplo: en muchos algoritmos numéricos se utiliza la simulación llamada "Monte Carlo", que requiere una buena fuente de números al azar, porque necesita muestrear al azar el espacio (numérico) que se está analizando. En estadística es muy importante trabajar con lo que se llama una "muestra no sesgada"; por ejemplo si tengo una población muy grande (millones de personas en un país, etc.) y quiero estudiar sus propiedades estadistícas (ingreso promedio, etc.), llevaría demasiado tiempo preguntarle a cada una de las personas. Por eso se toma una muestra más pequeña. Pero esa muestra pequeña debe ser REPRESENTATIVA de la población grande; y la mejor manera de lograr eso es haciendo un muestreo al azar. No siempre es fácil hacerlo, pero tener un algoritmo que produce números aleatorios es algo muy útil. La aleatoriedad también es un recurso muy útil en otras actividades: Si me encuentro interactuando en forma estratégica con un rival, por ejemplo, negociando un precio, escapando de alguien que trata de alcanzarme, evadiendo a alguien que intenta hacerme daño, voy a desear que my estrategia sea lo más dificil de predecir posible. Si lo que hago tiene regularidad, mi rival puede explotar esa regularidad. esto puede ocurrir en juegos como el "Dilema del Prisionero" o "Piedra, Papel y Tijeras", o en una situación en la que necesito moverme en zigzag para escapar de alguien. De manera que, en interacciones estratégicas, si usamos parámetros al azar, evitamos la regularidad que el rival podría aprovechar. Algo muy parecido ocurre en criptografía; hay muchas formas de hacer criptografía, pero una es utilizando una secuencia de símbolos para codificar el mensaje secreto. La secuencia que se utiliza como parte de ese esquema codificador debe ser lo más aleatoria posible. porque cualquier regularidad en la secuencia codificadora puede ser usada por un adversario para descubrir el mensaje. En resumen, muchas veces el azar es algo no deseado (no me gustaría que mi auto no pudiera arrancar al azar, sino que me gustaría poder confiar en que arranque, incluso en días muy fríos), por eso a menudo tratamos de evitar la aleatoriedad, pero en realidad la aleatoriedad puede ser un recurso muy útil. La ecuación logística con r=4.0 puede generar números o bits (ceros y unos) que pueden utilizarse como un generador de números al azar. y esto es muy útil en muchos tipos de aplicaciones. No soy un experto en generadores de números aleatorios, pero no creo que la función logística en la forma que vimos sea utilizada en los generadores de números aleatorios. Sin embargo, la idea básica es la misma: se itera una función determinística que es caótica y produce estos resultados aleatorios, y sirve como fuente de aleatoriedad para la aplicación de interés. de manera que la aleatoriedad es muy útil en muchas circunstancias. En la próxima lección profundizaremos el tema de la aleatoriedad porque necesitamos comprender mejor lo que significa la aleatoriedad producida por un sistema determinístico.