Gevoelige afhankelijkheid van
initiële omstandigheden staat beter bekend als
het Vlindereffect.
Je hebt vast weleens eerder van deze term gehoord,
maar ik moet het wel even kort benoemen.
Dus nogmaals, het Vlindereffect, hier is de illustratie,
we hebben twee verschillende initiële omstandigheden
voor het x deel van de Lorenz functie,
twee verschillende initiële omstandigheden,
die slechts een heel klein beetje van elkaar verschillen.
We deze zien als 15 meter en deze is 15 meter plus 10 nanometer.
Onmerkbaar en onbetekenend verschillend.
En hier is het traject, de baan, van beide oplossingen.
De één kunnen we zien als realiteit, de ander als voorspelling.
En hier, zo rond 18 stappen of 18 minuten,
gaan de twee lijnen ieder hun eigen weg.
Dus een kleine verandering, dit is het idee,
zoals een vlinder die haar vleugels klapt,
kan later een enorm verschil maken.
Dus wellicht, metaforisch gesproken,
is dit wellicht het pad van een orkaan en hier in deze versie raakt het New York
en in deze versie raakt het North Carolina.
Dus het verschil, wellicht is dat hier windsnelheid bijvoorbeeld,
20 uur geleden of wellicht 20 dagen geleden, wie zal het zeggen,
dan kan dit kleine verschil worden veroorzaakt door,
het klappen van de vleugels van een vlinder.
Dus hele kleine veranderingen in initiële omstandigheden,
kunnen later leiden tot hele grote veranderingen.
En dat maakt fenomenen zoals deze onvoorspelbaar in essentie.
We kunnen zoiets als dit nooit meten.
Sterker nog, getallen als deze zijn natuurkundig niet eens van waarde.
James Gleich, in zijn boek Chaos, heeft leuke manier om hierover te denken.
Over het Vlindereffect en dat met name de invloed of het effect van de vlinder,
die met haar vleugels klapt.
Hij zegt hierover het volgende:
Het is net als nog een extra keer schudden van een pakje kaarten
die als voldoende geschud was. Je weet al dat het
je mate van geluk zal veranderen, maar je kunt niet vooraf weten hoe.
Dus zo denk ik ook over het Vlindereffect hier.
Een vlinder mag dan wel haar vleugels klappen,
en we weten dat hierdoor iets in de toekomst zal veranderen,
maar we weten niet hoe en wat dingen zullen veranderen.
Nog een andere manier van kijken naar het Vlindereffect.
In ons leven zijn wij gewend aan het idee dat er bepaalde momenten
waar kleine veranderingen
in iets wat wij deden, in de loop van ons leven tot grote gevolgen hebben geleid.
Een simpel voorbeeld is dat je je toast zwart roostert,
daardoor ga je wat later van huis
en daardoor neem je een trein later dan de trein die je eerder wilde nemen,
maar die trein die je van plan was te nemen, crasht en veel mensen sterven.
Dit is een dramatisch voorbeeld.
In ons leven staan wij op een aantal momenten voor
belangrijke beslissingen en hele kleine dingetjes,
destijds onbekend, maakten later een enorm verschil.
Het is net als een bal op het topje van een heuvel geplaatst.
Kleine veranderingen bepalen of de bal al dan niet
naar links of naar rechts de heuvel af zal rollen.
Dit soort spontane beslismomenten zijn gemeengoed.
Maar in een systeem dat gevoelig is voor initiële omstandigheden,
is het alsof elk moment een beslismoment is.
Op elk moment zit de toekomstige baan
tussen de mogelijke verschillende toekomsten geklemd
en het verschil ertussen is een slechts een windvlaagje
van een vlinder die haar vleugels klapt,
dat bepaalt welk pad gevolgd zal worden.
Het is deze constante gevoeligheid
waar op elk punt op de reis een kleine verandering
kan leiden tot een grote verandering op een later moment.
En het is onmogelijk te voorspellen
wat die veranderingen zullen zijn.
Tenslotte, voordat we doorgaan met het onderwerp 'chaos'
wil ik nog het volgende opmerken:
Er is een hele interessante geschiedenis
rond de term Vlindereffect.
Sterk aan te raden: Een kort artikel van Hilborn in American Journal of Physics.
Er is op Complexity Explorer een link daarnaartoe, en wel hier,
onder deze video.
Het is driepagina lang niet technisch stuk.
Wanneer je interesse hebt in de geschiedenis van deze term,
dan is het geweldig stuk om te lezen, ik raad het zeer zeker aan!
Laat ik dan nu deze subunit afronden door 'chaos' te definiëren.
We zijn eindelijk in de positie waar we chaos kunnen definieren
in de wiskundige zin van het woord.
Een dynamisch systeem is dus chaotisch wanneer het voldoet aan
de volgende vier criteria:
Het dynamische systeem is deterministisch.
De twee type dynamische systemen die wij tot dusver
hebben bestudeerd, het onderwerp van deze cursus,
iteratieve functies en differentiaal vergelijkingen
zijn zeker deterministisch.
Zoals ik al gedurende de eerste twee units heb benadrukt,
behelst een dynamisch systeem gewoon een deterministische regel;
wanneer je die regel kent en je kent de
initiële omstandigheden dan zal het traject uniek zijn. Het is bepaald.
Laat ik dit even overslaan. Ik wil hier toch iets over zeggen.
De banen van het systeem zijn begrenst.
Dit betekent dat de banen niet naar het oneindige kunnen vliegen.
Dus voor logistische functie hebben we gezien dat banen,
die tussen 0 en 1 starten, tussen 0 en 1 blijven.
Voor een systeem om chaotisch te zijn moeten de banen
ook aperiodisch zijn, oftewel, ze herhalen zichzelf nooit.
Ze herhalen nooit het exact zelfde pad voor een tweede maal.
Ze vervallen niet in een bepaalde cyclus.
Stel dat de banen niet waren gebonden.
Laten we zeggen dat we een functie hadden met een dubbeling.
Dan kunnen we een baan hebben die aperiodisch is.
Wanneer je een getal verdubbeld, dan wordt het alsmaar groter,
voor eeuwig groter en groter en het zal zich nooit herhalen.
Dat is niet zo interessant.
Dus deze voorwaarde dat de banen gebonden zijn,
kun je zien als de 'kleine lettertjes'
die de mogelijkheid uitsluit dat banen tot in de eeuwigheid doorgaan.
Dus we hebben geboden banen die aperiodisch zijn.
Die beperkt zijn om in een bepaalde interval te blijven, of een vierkant,
maar die zich desondanks nooit herhalen.
En dan het laatste criteria voor een systeem om chaotisch te zijn,
is dat het gevoelig moet zijn voor initiële omstandigheden,
op de manier waarop we dat eerder al hebben besproken.
Dus wanneer een dynamisch systeem deze vier kenmerken kent,
dan zal in deze in de natuurkunde of in de wiskunde als een
chaotisch systeem worden aangeduid.
Er valt nog veel meer te zeggen over de implicaties van
gevoelige afhankelijk voor initiële omstandigheden.
En over dynamische chaotische systemen in het algemeen.
We zullen het hier nog over hebben in de rest van deze unit en tevens
op veel andere manieren ook in de rest van deze cursus.
Maar in de volgende set van lessen wil ik graag het idee verkennen dat
dynamisch systeem, een dynamisch deterministisch systeem
instaat is om willekeurig gedrag te creëren.
En om dit idee te onderzoeken, starten we met het denken over wat
het eigenlijk betekent wanneer iets willekeurig is.
Dit zal het onderwerp voor de volgende les zijn.