De logistische functie met r is gelijk aan 4
is niet alleen aperiodisch,
maar heeft ook 'gevoelige afhankelijkheid van initiële omstandigheden',
het vlindereffect.
Om dit te kunnen illustreren,
moet ik een programma gebruiken
die lijkt op het programma
dat wij eerder hebben gebruikt
om banen van logistieke functies te plotten.
Dit programma is, er is hier beneden een link daarnaartoe,
hier, onder mij, onder de ingebedde YouTube video
op de pagina van Complexity Explorer.
Net als eerder, als je daar op klikt, opent zich een nieuw scherm
en daar zal het programma inzitten.
Ik heb een aparte pagina gemaakt met links
naar de twee programma's,
die staat hier ergens,
in het navigatiemenu, hier rechts,
Ik denk dat het sectie 2.7 is of toch 2.8,
het heet 'Logistic Equation Programme'
met daarin alleen 1 item in deze sectie,
het is een tekstpagina met links naar programma's.
Op deze manier kun je ze makkelijk vinden en hoef je niet eindeloos te zoeken.
Hoe dan ook, ik zal het programma gebruiken om
het vlindereffect te illustreren.
Hier is dan het programma dat ons in staat zal stellen,
om 'gevoelige afhankelijkheid van initiële omstandigheden'
te kunnen onderzoeken.
Voordat ik de parameter 4 ga bekijken, de waarde waarin wij
geïnteresseerd zijn,
gaan we eerst terug en bekijken wij de waarde 2.4
en voor deze waarde, dat hebben wij eerder gezien,
is er een stabiele, aantrekkend vast punt.
Net als in het andere programma
kan ik het aantal iteraties kiezen dat getoond wordt.
Ik kies 25.
En nu kan ik, in plaats van één initiële conditie,
er twee kiezen.
En dan zal het twee tijdreeksen op dezelfde as plotten.
Dus, laten wij 0.2 en 0.45 kiezen.
Twee verschillende initiële condities.
En ik klik hier en maak de tijdreeks plot.
De tweede initiële conditie is de groene
en de paarse is de eerste initiële conditie.
En deze twee initiële condities starten nogal ver van elkaar af,
0.25 van elkaar af,
maar al snel worden ze beide aangetrokken door
hetzelfde aantrekkende, vaste punt.
Dit is wat het betekent om een aantrekker te zijn.
Het trekt nabijgelegen banen naar zich toe.
Er is een nog een ander plot wat gemaakt wordt hier,
en dat zien we wanneer wij naar beneden scrollen.
Dat is hier
Eens kijken of ik beide plots allebei in het scherm kan krijgen.
De blauwe lijn is dus het verschil tussen de groene en de paarse.
Dus het verteld ons hoever de twee banen van elkaar af liggen.
De twee banen starten .025 van elkaar af,
of minus 0.25,
volgens mij het opgezet om paars minus groen
te doen,
maar het teken, positief of negatief, maakt niet uit,
niet voor wat ik hier probeer te illustreren.
Dus ze starten 0.25 van elkaar af en dan als snel
zijn ze nul van elkaar af.
Want de paarse en groene banen, of tracés,
liggen precies op elkaar.
Dus nogmaals, de blauwe lijn is paars minus groen,
het verschil tussen beide,
de mate waarin die twee banen van elkaar af liggen.
En omdat het aantrekt, k
komen die twee banen dichter na elkaar toe,
en komt deze lijn, in absolute waarde, dichter bij nul.
Tenslotte zal dit programma net als eerder,
een aantal waarden geven als output.
Ik noem deze twee tijdseries x en y.
Hier is x bij 0.2 tot 0.34 enzovoort.
En het gaat naar een punt van aantrekking bij .5833.
En y rest een soortelijk lot,
die eindigt ook bij .5833.
En dit is verschil tussen beiden.
Het is in feite gewoon x - y.
Het begint bij -.25.
De waarden worden positief en negatief,
maar ze komen dichterbij nul.
En tegen de tijd dat wij hier aankomen, zijn de banen gelijk.
Dus dit is gewoon een andere manier om te zien dat
wij hier een aantrekkend, vast punt hebben.
Dit is een andere manier om visueel te maken van wat het
betekent om een aantrekker te zijn.
Nabijgelegen banen worden dichter naar elkaar toe getrokken,
en dat is wat deze blauwe lijn laat zien.
De blauwe lijn komt dichter en dichter bij nul.
Laten wij nu een soortgelijk experiment doen, maar dan voor
r is gelijk aan 4.0.
Weet je nog!? Dit was de r waarde die aperiodisch,
of non- repetitief gedrag produceerde.
Ik ga hiervoor nu terug naar boven en verander dit in 4.0.
En nu kies ik de twee initiele condities
erg dicht bij elkaar:
0.2 en 0.21.
Laten wij nu de tijdreeks plots maken.
En dan kijken wij wat er gebeurd.
Daar gaat hij!
Dus wij hebben één initiele conditie in het groen
en één initiële conditie in het paars.
Nu kun je zien dat de twee tracés, de twee banen,
erg dicht bij elkaar zitten.