La ecuación logística con r = 4 no solamente es aperiódica,
sino que tiene también una dependencia sensible sobre las condiciones iniciales (SDCI), el efecto mariposa.
Para mostrarles esto, necesitaré usar un programa parecido a aquel que ya hemos utilizado
para graficar las órbitas de la ecuación.
Este programa es... Tenemos un enlace al mismo aquí debajo,
debajo del video insertado en la página de complexity explorer
Como antes, si hacen click en el, saltará una ventana, tiene que aparecer entonces una nueva ventana
y en ella estará el programa.
También hicimos una página aparte con los enlaces para los dos programas
por aquí está, en un lugar de la barra de navegación a la derecha,
Creo que está en la sección 3.7, puede ser 3.8 y se llama 'logistic equation programs'
Tenemos solo un ítem en esta sección, el cual es una página de texto con enlaces a los dos programas
Bueno, de esta manera los pueden encontrar más fácilmente y no los tienen que rastrear
a través de diferentes páginas de video
En cualquier caso, usaré el segundo programa para mostrar el efecto mariposa.
Entonces, aquí, tenemos un programa que los permitirá investigar la dependencia sensible sobre las condiciones iniciales (SDCI)
Antes de considerar el parámetro 4, en el cual estamos interesados,
volvamos a considerar nuevamente el valor 2.4,
para este valor, creo, que antes observamos que existía un punto fijo estable y atractor.
Entonces, como en el otro programa, podemos elegir la cantidad de iteraciones que nos muestra el gráfico.
Elegiré: 25.
Y ahora, en vez de elegir una condición inicial, podemos elegir, dos condiciones iniciales.
Y se graficarán dos diferentes series temporales en el mismo eje.
Elijamos dos: 0,2 y 0,45.
Dos condiciones iniciales distintas.
Cliqueo aquí y hago la gráfica de la serie temporal.
Y, observemos: La que llamé como segunda condición inicial,
está en verde, y la primera condición inicial a 0,2, en color púrpura.
Estas dos condiciones iniciales empiezan un tanto alejadas, esto es, por 0,25,
pero muy rápidamente ambas son empujadas hacia el mismo punto fijo atractor.
Esto es lo que significa ser un atractor, tirar hacia sí las órbitas cercanas.
Ok, tenemos otra gráfica, que si bajamos podemos ver,
aquí, y, dejenme ver si puedo hacer que se vean ambas gráficas al mismo tiempo.
Ok, entonces aquí la curva azul, es la diferencia entre la curva verde y la púrpura.
Entonces, nos dice cuán alejadas entre sí están las dos órbitas.
Las órbitas comienzan alejadas por 0,25, o -0,25. Creo que está programado para realizar púrpura menos verde,
pero el signo, si es positivo o negativo, realmente no interesa.
para aquello que estoy intentando mostrarles aquí.
Entonces, empiezan alejadas 0,25, y luego, rápidamente se separan por 0.
Debido a que las órbitas o itinerarios púrpura y verde están justo una encima de otra.
Nuevamente, la curva azul es la resta, de púrpura menos verde.
Es la diferencia entre ambas, la separación entre estas dos órbitas.
Y, debido a que son atractoras, estas órbitas se juntan, es decir, la curva azul se acerca a 0
en valor absoluto.
Finalmente, como antes, este programa también nos da algunos números.
Si llamo a las dos series temporales x e y, de forma que aquí x es aquí igual a 0,2, 0,384 y así sucesivamente,
y van hacia el punto atractor en 0,5833.
Luego, "y" sigue un destino similar, termina en 0,5833. Y esta, es la diferencia entre ambos valores,
es x menos y, comienza en -0,25, los números se hacen positivos y negativos, pero se están
acercando a cero. Y para el momento que llegamos aquí,
al menos con la precisión de la computadora, las dos órbitas son exactamente iguales,
Entonces, esta es solo otra manera de ver que tenemos un punto fijo atractor.
Es, otra manera de visualizar qué significa ser un atractor.
Las órbitas vecinas se acercan cada vez más entre sí, y eso es lo que nos muestra la curva azul.
La curva azul se acerca cada vez más a cero.
Hagamos ahora un experimento similar, pero para un valor de r = 4,0
Recuerden, este era el valor de r que nos daba un comportamiento aperiódico y no repetitivo.
Vuelvo entonces a la parte inicial de la página. Voy a cambiar esto a 4.0
Y ahora, elegiré dos condiciones iniciales más cercanas entre sí:
0.2 y 0.21. Y realicemos el gráfico de la serie temporal,
observemos qué ocurre. Listo.
Entonces, tenemos una condición inicial, o un itinerario en verde y otro en púrpura.
Notemos que los dos itinerarios, las dos órbitas, se acercan bastante entre sí casi hasta el tiempo 4
Aquí se alejan bastante, por al menos 0,1, y luego comienzan a hacerse muy distintas
para el tiempo 5. Y para cuando el tiempo está en 6, 7 u 8,
parecen estar completamente no-correlacionadas, haciendo cada una lo suyo.
¿Y quién podría adivinar que habrían empezado tan cercanas entre si?
Podemos ver algo parecido si graficamos la curva azul, esto es, la diferencia entre las dos,
Déjenme achicar un poco para que se ajusten a la pantalla.
Entonces, la curva azul es la diferencia entre las curvas púrpura y azules, nos dice cuán alejadas están
estas dos trayectorias, las dos órbitas, como una función del tiempo.
La diferencia comienza siendo pequeña, inicialmente solo 0,01 y se mantiene, tiene unos pequeños saltos,
pero alrededor de 5 la diferencia se hace más grandes.
Es, de hecho más grande que 0,25. Despúes la diferencia comienza a moverse a todos lados.
En ciertas ocasiones es positiva, esto significa que la púrpura es más grande que la verde, y en ciertas ocasiones, negativa.
Lo que significa que la verde es más grande que la púrpua. Pero lo principal aquí es que comienza como una pequeña diferencia y luego,
se convierte en una más grande, sea positiva o negativa, lo hace rápidamente.
Para hacer este ejemplo un poco más concreto, volvamos a pensar acerca de la ecuación logística
como el modelo de una població de conejos en una isla.
Imaginemos que la población real de conejos en esta isla es de 0,2.
Recordemos que eso significa que que es un 20% de la cantidad de apocalipsis, el número de aniquilación.
E imaginemos, aun más, que la única cosa que determina el futuro de los conejos
es la ecuación logística.
Nuevamente, nadie piense que la población logística verdaderamente controla las poblaciones reales de conejo.
Pero, hagámoslo, como un experimento mental, supongamos que este es el caso.
Entonces, de la primer condición inicial, puedo interpretar que es la realidad, que realmente está ocurriendo.
Y esto es lo que ocurre. Y con la segunda condición inicial,
la cual es un valor medido. Entonces, posiblemente mandemos algunos compañeros a esta isla, y ellos cuentan
todos los conejos, no es algo fácil de hacer, y obtienen un valor de 0,21.
expresado como una fracción de la población de aniquilación.
Entonces, este grupo de investigación de conejos ha contado de más algunos conejos, lo cual es completamente razonable,
los conejos se parecen un poco entre sí, saltan por todos lados, por lo que han contado algunos de ellos más de una vez
en vez de contarlos solo una vez. No es gran cosa.
Entonces veamos, cómo en esta situación, la primer condición inicial la cual es la púrpura, la cual es la realidad,
lo que realmente está pasando en la isla, esta simple isla, y la curva verde es nuestra predicción.
Tenemos una buena medida, conocemos exactamente la regla que determina el comportamiento de los conejos
por lo que, el primer par de años nuestra predicción es bastante buena, pero luego la predicción empeora,
aún peor para el año 5. Para el año 6 hemos subestimado drásticamente el número de conejos,
En este contexto, la curva azul puede ser pensada como un error de predicción.
Es la diferencia entre el real comportamiento de los conejos y nuestro comportamiento predicho de los conejos.
basado en la condición inicial que hemos medido.
Bueno, llegado a esto me puedo preguntar: Esto es un tanto decepcionante, ¿cómo puedo predecir mejor a los conejos?
Nos gustaría poder predecir con mayor certeza,
que estarán haciendo pasados 5 o 6 años, o generaciones, o lo que sea.
Entonces, como conocemos la regla que los determina exactamente,
lo que tenemos que saber con el fin de obtener una mejor predicció, es la medida más exacta de
la cantidad de conejos. Por lo que mandamos el equipo nuevamente y decimos, bueno
sean rmuy muy cuidadosos esta vez. Necesitamos una medida muy precisa de los conejos,
la mayor posible, tan cercana al valor verdadero como sea posible.
Y pongamos, imaginemos, que logran acercarse bastante.
En vez de obtener exactamente 0,2, obtienen 0,2000001. Pondré un cero más acá.
Tenemos entonces, un par de partes en un millón.
Es fácil poner simplemente esos números en la computadora, pero en la realidad hacer esa medida
tan precisa es casi imposible, ciertamiente pienso,
que para cualquier población es imposible censar hasta una parte por millón. Probablemente aun para personas,
más ciertamente para conejos. Es difícil medir cosas con esta precisión
aun en la física, o en laboratorio de química es posible, pero no algo fácil de hacer.
Ok, entonces ahora nuestra medida es alrededor de un millón de veces más precisa.
Entonces, en el corto plazo obtendré mejores predicciones, las predicciones que hagamos con esta condición inicial
en el modelo serán mucho mejores.
Veamos cómo sería si este fuera el caso.
Cliqueo en "Make the time series plot"
y ciertamente, las dos curvas están justo encima de otra.
La curva verde tapa a la púrpura por un tiempo.
Digamos que podemos seguir, posiblemente todo el camino hasta casi 20.
Para el momento en que llegamos a 20, las dos curvas comienzan a dejar de parecerse.
Entonces, nuestra predicción es buena hasta alrededor de 18 a 20 generaciones, pero se cae luego de eso
Grafiquemos unas iteraciones más, vamos hasta 40 y veamos qué es lo que parece.
La predicción es buena, la predicción de la verde está justo encima de la realidad púrpura
hasta aproximadamente el año 20, en donde las dos curvas, predicción y realidad, divergen y parecen completamente
no relacionadas entre ellas. Miremos el gráfico de la curva azul para esto.
La curva azul, es el error de predicción. Es la diferencia entre las dos curvas.
la diferencia entre nuestra predicción y la realidad.
Esta diferencia es muy pequeña, casi cero, y luego entre 16 o 17 comienza a crecer
de a poco. Luego explota cerca de 19, 20, 21,
y se transforma en una gran diferencia, entonces, tenemos un gran error.
Entonces. Esta es una forma de visualizar el fenomenos de dependencia sensible sobre las condiciones iniciales,
en ciertas ocasiones abreviada como SDIC (sensitive dependence on initial conditions). También conocida como el efecto mariposa.
La idea es que diferencias muy pequeñas en las condiciones iniciales,
aquí cercanas a una parte o uns pocas partes en un millón, se magnifican y se transforman en grandes diferencias.
Entonces la curva azul comienza en 0 y se agranda, o se hace no-cero, positiva o negativa.
Las curvas azul (verde) y púrpura comienzan cercanas entre sí y luego se dispersan
La ecuación logística es determinista. Es solo una función iterativa, una acción repetida
una y otra y otra vez. Por lo que debería ser completamente predecible.
Y, en cierto sentido, realmente lo es. Sin embargo, en orden de hacer predicciones precisas,
uno necesita un valor excesivamente preciso para la condición inicial.
Por lo que un pequeño error, nuevamente como hemos visto, un pequeño error, sólo una diferencia,
una diferencia muy muy pequeña, se transforma en una muy muy grande rápidamente.
Entonces, este no es el caso de algo totalmente impredecible, pero debido a que tiene la propiedad de
la dependencia sensible sobre las condiciones iniciales, el punto de inicio es realmente muy importante, es...
para todos los propósitos prácticos, algo imposible el hacer predicciones a largo plazo.
Aquí existe otra manera de quizás pensar acerca de esto. Déjenme volver por un momento a este ejemplo.
Entonces, aquí es 0,2 y 0,21. Y la predicción que somos capaces de hacer aquí es
hasta aquí, bien, la predicción no dura mucha; seamos generosos y digamos que dura hasta
4 pasos en el tiempo, hasta la cuarta iteración. Y luego de eso, la predicción es tan mala que
es completamente inútil. De hecho, se parece bastante al pronóstico del tiempo,
no es una coincidencia. En cualquier caso, podemos predecir cuatro pasos en el tiempo,
4 días, digamos, o cuatro generaciones Entonces, si medimos más precisamente, podríamos.
ser capaces de hacer mejores predicciones. Y, ciertamente, este es el caso.
Entonces, volveré a esto
Por ahora, mediré con mayor precisión y podremos ir otra vez, solo con el objeto de nuestra ---
digamos que podemos ir hasta 20. Y luego de 20 pasos, las medidas,
la predicción es esencialmente inútil.
Entonces, por un lado, sí, medidas más precisas nos llevan a predicciones más precisas
y a más largo plazo. Sin embargo, con el objeto de mejorar nuestro tiempo de predicción
por un factor de solamente 5, necesitamos mejorar nuestra medida por un factor de un millón.
Esto es, necesitamos trabajar un millón de veces más duro para obtener un resultado solo cinco veces mejor.
Sí, es predecible, pero la cantidad de trabajo que tenemos que hacer para predecirlo es realmente,
algo que se incrementa exponencialmente con el tiempo que queremos alargar nuestra predicción.
Esta, es otra manera de ver o pensar acerca de la dependencia sensible sobre las condiciones iniciales.
Haré otro ejemplo, o hablaré de otra situación y definiré
la dependencia sensible sobre las condiciones iniciales con mayor cuidado.