Η λογιστική εξίσωση με r ίσον 4 δεν είναι απλά μη περιοδική:

έχει ακόμη ευαίσθητη εξάρτηση στις αρχικές συνθήκες, το φαινόμενο της πεταλούδας.

Για να το δούμε αυτό, θα πρέπει να χρησιμοποιήσω ένα πρόγραμμα παρόμοιο με αυτό που ήδη χρησιμοποιήσαμε

για τη γραφική απεικόνιση των τροχιών της λογιστικής εξίσωσης.

Αυτό το πρόγραμμα είναι... Υπάρχει ένας σύνδεσμος σε αυτό στο κάτω μέρος της οθόνης,

κάτω από το βίντεο στη σελίδα του complexity explorer

όπως και πριν, αν πατήσετε σε αυτό, ένα νέο παράθυρο θα πρέπει να εμφανιστεί

και εκεί θα είναι το πρόγραμμα.

Έχω ακόμη φτιάξει μια ξεχωριστή σελίδα με συνδέσμους στα δύο αυτά προγράμματα

Είναι εδώ, κάπου στη μπάρα περιήγησης στα δεξιά,

νομίζω είναι η ενότητα 3.7, ίσως 3.8, και λέγεται 'logistic equation programs'.

Υπάρχει μόνο ένα .... σε αυτή την ενότητα και αυτό είναι μια σελίδα με συνδέσμους στα δύο αυτά προγράμματα.

Έτσι, μπορείτε να τα βρείτε πιο εύκολα και δε χρειάζεται να ψάχνετε

στις διάφορες σελίδες των βίντεο.

Τέλος πάντων...., θα χρησιμοποιήσω το δεύτερο πρόγραμμα για να σας δείξω το φαινόμενο της πεταλούδας.

Οπότε, αυτό είναι ένα πρόγραμμα που θα μας επιτρέψει να εξερευνήσουμε την ευαίσθητη εξάρτηση στις αρχικές συνθήκες.

Πρίν αναλύσουμε την παράμετρο 4, αυτή η οποία μας ενδιαφέρει,

ας επιστρέψουμε λίγο και ας σκεφτούμε την τιμή 2.4

και, γι΄αυτή την τιμή, νομίζουμε έχουμε ήδη δει οτι υπάρχει ένα ελκυστικό σταθερό σημείο.

Οπότε, όπως και στο άλλο πρόγραμμα, θα πρέπει να διαλέξουμε τον αριθμό των επαναλήψεων......

Θα διαλέξω 25.

Και τώρα, αντί για μία αρχική συνθήκη, μπορούμε να διαλέξουμε δύο αρχικές συνθήκες.......

Και θα παρουσιάσουμε... τις δυο διαφορετικές χρονοσειρές στον ίδιο άξονα.

Οπότε, ας διαλέξουμε δύο, 0.2 και 0.45..

δύο διαφορετικές αρχικές συνθήκες.

Και θα πατήσω εδώ για να δημιουργήσω το διάγραμμα χρονοσειράς.

Για να δούμε.. Αυτή που αποκαλώ δεύτερη αρχική συνθήκη....

είναι με πράσινο, και η πρώτη αρχική συθήκη στο 0.2 είναι σε μωβ.

Και αυτές οι δύο αρχικές συνθήκες ξεκινούν κάπως μακριά, 0.25 μακριά

αλλά, πολύ σύντομα, και οι δύο έλκονται στο ίδιο ελκυτικό σταθερό σημείο.

Αυτό σημαίνει να είσαι ελκυστής, τραβάς ή έλκεις τις γειτονικές σου τροχιές....

Οκ, υπάρχει άλλο ένα γράφημα εδώ και θα το δούμε αν πάμε πιο κάτω...

εδώ... Για να δω αν μπορούμε να δούμε και τα δύο γραφήματα ταυτόχρονα.

Οκ. Οπότε, η μπλέ καμπύλη είναι η διαφορά μεταξύ της πράσινης και της μωβ καμπύλης.

Μας λέει πόσο μακριά είναι οι δύο τροχίες ** η μία τροχιά από την άλλη.

Οι δύο τροχιές ξεκινούν 0.25 μακριά, ή -0.25, μάλλον είναι προγραμματισμένο να κάνει μωβ μείον πράσινη

αλλά το πρόσημο, αν είναι θετικό ή αρνητικό, δεν έχει ιδιαίτερη σημασία

για αυτό που προσπαθώ να περιγράψω εδώ.

Οπότε, ξεκινούν 0.25 μακριά και πολύ σύντομα είναι σχεδόν 0 μακριά,

επειδή η μωβ και πράσινη τροχίες ή διαδρομές ____ είναι η μία πάνω στην άλλη....

Για να επαναλάβω, η μπλέ καμπύλη είναι μωβ μείον πράσινη,

είναι η διαφορά μεταξύ των δυο, η απόσταση μεταξύ των δύο αυτών τροχιών.

Και, επειδή είναι ελκυστικό _____, αυτές οι δύο τροχίες έρχονται πιο κοντά, αυτή η μπλέ καμπύλη πλησιάζει το 0

σε απόλυτη τιμή.

Τέλος, όπως και πριν, αυτό το πρόγραμμα θα εξάγει..... κάποιους αριθμούς.

Θα ονομάσουμε τις δύο χρονοσειρές χ και υ, οπότε εδώ χ ίσον 0.2, 0.384, και ούτω καθεξής

και φτάνει στο ελκυστικό σημείο στο 0.5833,

και το υ ακολουθεί μια αντίστοιχη μοίρα....., φτάνει ___ στο 0.5833 και αυτή είναι η διαφορά μεταξύ τους,

είναι χ μείον υ, ξεκινά στο -0.25, οι αριθμοί είναι θετικοί και αρνητικοί αλλά πλησιάζουν το 0

Και όταν φτάσουν στο 0,

τουλάχιστον με την ακρίβεια του υπολογιστή, οι δύο τροχίες είναι ακριβώς ίδιες.

Αυτός λοιπόν είναι ένας ακόμη τρόπος να δούμε οτι έχουμε ένα ελκυστικό σταθερό σημείο,

είναι ένας ακόμη τρόπος να ........ τι σημαίνει ένας ελκυστής.

Κοντινές..... τροχίες έλκονται _____ και αυτό μας δείχνει αυτή η μπλε καμπύλη:

η μπλε καμπύλη πλησιάζει όλο και περισσότερο το μηδεν.

Ας δοκιμάσουμε τώρα ένα παρόμοιο πείραμα, αλλά για μια τιμή του ρ ίσον με 4

Θυμηθείτε, αυτή ήταν η τιμή του ρ που μας έδωσε μη-περιοδική, ή μη-επαναλαμβανόμενη συμπεριφορά.

Πάω λοιπόν πάλι στην αρχή... θα το αλλάξω αυτό σε 4...

και τώρα θα διαλέξω δυο αρχικές συνθήκες αρκετά κοντά μεταξύ τους.

0.2 και 0.21. Ας κάνουμε τα γραφήματα χρονοσειράς

κι ας δούμε τι θα συμβεί. Οκ, πάμε.

Έχουμε λοιπόν μια αρχική συνθήκη, ή μια τροχιά, σε πράσινο και μια σε μωβ.

Παρατηρήστε ότι οι δυο διαδρομές, οι δύο τροχίες, είναι αρκετά κοντά για περίπου 4 .........

Είναι αρκετά μακριά εδώ, τουλάχιστον κατά 0.1, και μετά αρχίζουν να γίνονται πολύ διαφορετικές

μετά τη χρονική τιμή 5........... Και όταν φτάσουμε στο 6, ή 7, ή 8

μοιάζουν εντελώς .........., κάνει η καθεμία το δικό της

Και ποιός θα φανταζόταν οτι ξεκίνησαν τόσο κοντά η μία στην άλλη;

Μπορούμε να δούμε κάτι παρόμοιο αν κοιτάξουμε τη μπλε καμπύλη, τη διαφορά μεταξύ των δύο.

Για να μικρύνω λίγο την οθόνη για να χωρέσουν...

Η μπλέ καμπύλη είναι λοιπόν η διαφορά μεταξύ της μωβ και πράσινης καμπύλης, είναι το πόσο μακριά

οι δύο διαδρομές, οι δύο τροχιές είναι, ως συνάρτηση του χρόνου.

Η διαφορά ξεκινά πολύ μικρή, αρχικά μόνο 0.01, και παραμένει μικρή, με κάποια σκαμπανεβάσματα,

αλλά γύρω στο 5, η διαφορά ......

Είναι βασικά μεγαλύτερη από 0.25. Και τότε η διαφορά .......

Κάποιες φορές είναι θετική -αυτό σημαίνει οτι η μωβ είναι μεγαλύτερη από την πράσινη-, κάποιες φορές αρνητική

-αυτό σημαίνει οτι η πράσινη είναι μεγαλύτερη από τη μωβ-. Αλλά το σημαντικότερο είναι οτι ξεκινά μικρή, και μετά

μεγαλώνει, θετικά ή αρνική, αρκετά γρήγορα.

Για να κάνουμε αυτό το παράδειγμα λίγο πιο ....., ας πάμε πίσω στη λογιστική εξίσωση

..... το μοντέλο για τον πληθυσμό των κουνελιών σε κάποιο νησί.

Και ας φανταστούμε οτι ο πραγματικός πληθυσμός κουνελιών στο νησί αυτό είναι 0.2

Θυμηθείτε οτι αυτό απλά σημαίνει οτι είναι 20% του πληθυσμού της αποκάλυψης, του αριθμού αφανισμού

Και ας φανταστούμε ακόμη οτι το μόνο που καθορίζει το μέλλον των κουνελιών

είναι η λογιστική εξίσωση.

Και πάλι, κανείς δεν πιστεύει οτι η λογιστική εξίσωση ελέγχει πραγματικά ... πληθυσμούς κουνελιών

αλλά ας το υποθέσουμε, σαν ένα ......., ας υποθέσουμε οτι είναι έτσι.

Και, τότε, η πρώτη αρχική συνθήκη... μπορώ να την ερμηνεύσω σαν την πραγματικότητα, αυτό που πραγματικά συμβαίνει

και αυτό θα συμβεί....... Και η δεύτερη αρχική συνθήκη,

θα σκεφτώ οτι είναι μια μετρημένη τιμή ______ Οπότε ίσως στέλνουμε κάποιους στο νησί και μετράνε

όλα τα κουνέλια, δεν είναι εύκολο, αλλά ας πούμε οτι παίρνουν μια τιμή 0.21

ως ένα ποσοστό του πληθυσμού αφανισμού.

Αυτή λοιπόν η ερευνητική ομάδα κουνελιών έχει υπερμετρήσει τα κουνέλια πολύ λίγο: απολύτως κατανοητό,

όλα τα κουνέλια μοιάζουν το ίδιο, χοροπηδάνε τριγύρω, μέτρησαν κάποια πάνω από μια φορά,

δεν έγινε και κάτι τρομερό.

Οπότε, για να δούμε, σε αυτό το σενάριο, η πρώτη αρχική συνθήκη ,η οποία είναι μωβ, είναι η πραγματικότητα,

τι πραγματικά συμβαίνει στο νησί, αυτό το πολύ μικρό νησί, και η πράσινη είναι η πρόβλεψη μας.

Και έχουμε μετρήσει αρκετά καλά, ξέρουμε ακριβώς τον κανόνα που καθορίζει τη συμπεριφορά των κουνελιών

και έτσι, τα πρώτα δυο-τρια χρόνια η πρόβλεψη μας είναι αρκετά καλή, αλλά μετά αρχίζει και χαλάει,

γίνεται ακόμη χειρότερη τον πεμπτο χρόνο: μέχρι τότε... έχουμε υποεκτιμήσει δραστικά τον αριθμό των κουνελιών.

Σε αυτή την περίπτωση, η μπλε γραμμή αντιπροσωπεύει το σφάλμα της πρόβλεψης μας:

είναι η διαφορά μεταξύ της πραγματικής συμπεριφοράς των κουνελιών και της προβλεπόμενης απο εμας συμπεριφοράς τους

βάση της αρχικής συνθήκης την οποία μετρήσαμε.

Σε αυτό λοιπόν το σημείο μπορεί να ρωτήσω: αυτό είναι κάπως απογοητευτικό.. Πώς μπορούμε να προβλέψουμε τα κουνέλια καλύτερα;

Θα θέλαμε να μπορούμε να πούμε με μεγαλύτερη βεβαιότητα

τι θα κάνουν σε περισσότερα από 5 ή 6 χρόνια, ή γενιές, ή οτιδήποτε.

Και έτσι, αφού ξέρουμε τον κανόνα που τα προσδιορίζει.... ακριβώς,

αυτό που χρειάζεται να ξέρουμε για να κάνουμε μια καλύτερη πρόβλεψη είναι να μετρήσουμε τον αριθμό των κουνελιών

πιο ........ Οπότε, στέλνουμε μια ομάδα πίσω και λέμε "οκ,

πρέπει να είστε πολύ προσεχτικοί αυτή τη φορά. Χρειαζόμαστε μια όσο δυνατόν ακριβής μέτρηση των κουνελιών,

όσο πιο κοντά στην πραγματική τιμή γίνεται"

Και ας πούμε, ας φανταστούμε, οτι πλησιάζουν πολύ πολύ κοντά

και αντί... δεν μετράνε ακριβώς 0.2, βρίσκουν 0.2000001. Θα βάλω ένα ακόμη μηδέν εκεί.

Οπότε εδώ έχουμε .... .......

είναι εύκολο απλά να εισάγουμε αυτούς τους αριθμούς στον υπολογιστή αλλά, στην πραγματικότητα, να λάβουμε

μια τόσο ακριβής μετρήση είναι σχεδόν αδύνατον...........

για κάθε π