المعادلة اللوجيستية مع r تساوي 4 ليست فقط غير دورية:
لديها أيضاً اعتماد على الشروط الإبتدائية، تأثير الفراشة.
لكي نوضّح هذا، سأحتاج أن أستخدم برنامج مشابه للبرنامج الذي استخدمناه من قبل
لرسم مدارات المعادلة اللوجيستية بيانياً.
هذا البرنامج هو... يوجد رابط له هنا بالأسفل ،
تحت فيديو اليوتيوب المضم على صفحة مستكشف التعقيد (complexity explorer)
كما سابقاً، إذا ضغطت على ذلك، نافذة منبثقة، نافذة جديدة ستظهر
والبرنامج سيكون بداخلها.
ولقد صنعت أيضاً صفحة تتضمن روابط للبرنامجين
إنّها هنا، في مكان ما على شريط الملاحة على اليمين،
أعتقد أنّه قسم 3.7، ربما يكون 3.8، إنّه يدعى 'برامج المعادلة اللوجيستية'
يوجد فقط عنصر واحد في هذا القسم، وهو صفحة نصية بروابط لهذين البرنامجين
إذاً، بهذه الطريقة يمكنك إيجادهم بسهولة أكثر ولا يجب عليك أن تفتش
خلال صفحات الفيديو المتنوعة.
على أية حال، سأستخدم البرنامج الثاني لأوضّح تأثير الفراشة.
إذاً، ها هنا برنامج سيدعنا نبحث في الاعتماد الحساس على الشروط الإبتدائية.
قبل أن أدرس الوسيط 4، الذي نحن مهتمين فيه،
دعونا نعود وندرس القيمة 2.4،
ولهذه القيمة، أعتقد أنّه رأينا سابقاً أنّه يوجد نقطة ثابتة جاذبة مستقرة.
إذاً، كما في البرنامج الآخر، سيُتاح لنا اختيار عدد التكرارات المعروضة.
سأختار 25.
والآن بدلاً من شرط إبتدائي واحد، نستطيع أ نختار شرطين إبتدائيين.
وسوف يرسم سلسلتين زمنيتين مختلفتين بيانياً على نفس المحور.
إذاً، دعونا نختار اثنان، مثل 0.2 و 0.45.
شرطين إبتدائيين مختلفين.
وأضغط هنا وأصنع رسم السلسلة الزمنية البياني.
إذاً دعونا نرى: ماذا أدعو الشرط الإبتدائي الثاني،
هذا بالأخضر، والشرط الإبتدائي الأول عند 0.2، هذا بالبنفسجي.
وهذين الشرطين الإبتدائيين يبدؤا نوعاً ما يتباعدوا عن 0.25،
لكن كلاهما يُسحب بسرعة كبيرة لنفس النقطة الثابتة الجاذبة.
هذا ما يعنيه أن تكون جاذبة، إنّها تسحب مداراتك القريبة.
حسناً، إذاً، هناك رسم بياني آخر يصنعه هذا، ونستطيع أن نرى هذا إذا نزلنا للأسفل
هنا، دعوني أرى إن كنت أستطيع أن أُدخل كِلا هذين الرسمين البيانيين في نفس الوقت.
حسناًأ إذاً، المنحني الأزرق هو الاختلاف بين المنحني الأخضر والمنحني البنفسجي.
إذاً، يخبرنا مدى تباعد المدارين.
المدارين يبدؤا يتباعدوا عن 0.25 أو -0.25. أظن أنّه أُسس ليقوم ببنفسجي ناقص أخضر،
لكن الإشارة، إن كان موجب أو سالب، لا يهم حقاً
لما أحاول أن أوضحه هنا.
إذاً يبدؤا يتباعدوا عن 0.25، ومن ثم بسرعة كبيرة يتباعدوا عن 0.
لأنّ المدارات الخضراء والبنفسجية أو مسارات الرحلة فوق بعضهم البعض مباشرة.
إذاً مجدداً، المنحني الأزرق هو بنفسجي ناقص أخضر.
إنّه الاختلاف بين الاثنين، الفاصل بين هذين المدارين.
ولأنّها جاذبة، هذين المدارين يقتربان من بعضهما، المنحني الأزرق يقترب من 0
في قيمة مطلقة.
أخيراً، كما سابقاً، هذا البرنامج سوف يُنتج نفس الأعداد.
إذاً، أدعو سلسلتي الزمن x و y، حيث x هنا تساوي 0.2، 0.384 وهكذا،
وتذهب للنقط الجاذبة عند 0.5833،
و y تواجه مصيراً مشابهاً، تنتهي عند 0.5833، وهذا هو الاختلاف بين هذين الإثنين،
إنّه x ناقص y، يبدأ عن -0.25، تذهب الأعداد موجبة و وسالبة، لكنها
تقترب من 0. وبالوقت الذي نصل به هنا،
على الأقل بدقة الحاسوب، المدارين نفس بعضهم تماماً.
إذاً، هذه فقط طريقة أخرى لرؤية أنّنا لدينا نقطة ثابتة جاذبة.
هناك طريقة أخرى لتصوّر ماذا يعني أن تكون جاذب.
المدارات القريبة تُقرّب لبعضها، وهذا ما يُظهره المنحني الأزرق.
المنحني الأزرق يقترب أكثر وأكثر للصفر.
دعونا الآن نجرب تجربة مشابهة، لكن لقيمة r لـ 4.0
تذكر، هذه كانت قيمة r التي أعطت سلوك غير متكرر أو غير دوري،
إذاً، سأعود للأعلى. سأغيّر هذا لـ 4.0
والآن، سأختار الشرطين الإبتدائيين قريبين لبعضهم:
0.2 و 0.21. إذاً، دعونا نصنع رسومات سلسلة زمنية بيانية
ونرى ماذا يحدث. حسناً، هيا بنا.
إذاً، لدينا شرط إبتدائي واحد أو مسار رحلة واحد بالأخضر، والآخر بالبنفسجي.
إذاًـ لاحظ أنّ مساري الرحلة، المدارين قريبين جداً لبعضهما لحوالي 4 مرات
إنّهم متباعدين جداً هنا، مع ذلك، على الأقل نخو 0.1، ومن ثم يبدئوا يصبحوا مختلفين جداً
بزمن الخطوة 5. وبالزمن نحن عند 6، أو 7، أو 8
يبدوا غير مترابطين كلياً، ولكن لهم توجه خاص ..
ومن كان ليخمّن أنّهم بدؤا قريبين جداً من بعضهم؟
نستطيع أن نرى شيئاً مشابهاً إذا رسمت المنحني الأزرق بيانياً، هذا الاختلاف بين الإثنين،
دعوني أصغر الأمور قليلاً لكي تتلائم مع الشاشة.
إذاً، المنحني الأزرق هو الاختلاف بين المنحني البنفسجي والمنحني الأخضر، إنّه مدى تباعد
هذين المسارين، هذين المدارين، كدالة للزمن.
الاختلاف يبدأ صغيراً، مبدئياً فقط 0.01، ويبقى صغيراً، لديه القليل من النتوءات،
لكن حوالي 5 الاختلاف يرتفع.
في الواقع يبدو أنّه أكبر من 0.25، ومن ثمّ الاختلاف يتذبذب هنا وهناك.
أحياناً موجب، هذا يعني أنّ المنحني البنفسجي أكبر من المنحني الأخضر، أحياناً سالب،
هذا يعني أنّ المنحني الأخضر أكبر من المنحني البنفسجي. لكن الشيء الرئيسي هو أنّه يبدأ صغيراً، ومن ثمّ يصبح
كبيراً، إن كان موجب أو سالب، بسرعة جداً.
إذاً، لجعل هذا المثال واقعي أكثر قليلاً، دعونا نعود للتفكير بالمعادلة اللوجيستية
مثل نموذج الكثافة السكانية للأرانب على جزيرة ما.
ودعونا نتخيل أنّ الكثافة السكانية الحقيقية للأرانب على هذه الحزيرة هي 0.2.
تذكر أنّ هذا يعني أنّ 20% من الطريق لعدد نهاية العالم، لعدد الإبادة.
ودعونا نتخيل، بالإضافة، أنّ الشيء الوحيد الذي يحدد مستقبل الأرانب
هو المعادلة اللوجيستية.
مجدداً، لا أحد يفكر أنّ المعادلة اللوجيستية تتحكم حقاً بكثافات سكانية حقيقية للأرانب،
لكن، دعونا فقط كتجربة فكرية، نفترض أنّ هذه هي المسألة.
وإذاً، عندئذٍ، الشرط الإبتدائي الأول، أستطيع أن أفسّر هذا كما في الواقع، ماذا يحدث حقاً،
وماذا سيحدث. والشرط الإبتدائي الثاني،
سأفكر بهذا كقيمة مدروسة. إذاً ربما أرسلنا بعض الناس للجزيرة وقاموا بعد
كل الأرانب، إنّه ليس من السهل أن تفعل هذا، ولقد حصلوا على قيمة لـ 0.21
معبّر عنها بكسر لكثافة الإبادة.
إذاً، فريق بحث الأرانب هذا أفرط بعد الأرانب بفارق قليل، مفهوم كلياً،
الأرانب تبدو كلها نفس الشيء، يقفزون هنا وهناك، لقد قاموا بعد بعضاً منهم عدة مرات
بدلاً من مرة واحدة. ليست مشكلة كبيرة.
إذاً دعونا نرى، إذاً الآن في هذا السيناريو، الشرط الإبتدائي الأول والذي هو بالبنفسجي، هو الواقع.
ماذا حدث فغلاً على هذه الجزيرة، هذه جزيرة بسيطة جداً، والمنحني الأخضر هو تنبؤنا.
ولقد قسناه بشكل جيد جداً، نعرف القاعدة تماماً التي تحدد سلوك الأرنب
إذاً، السنين القليلة الأولى تنبؤنا جيد جداً، لكن بعدئذٍ التنبؤ يصبح سيئاً هنا،
وأسوء في السنة الخامسة، في السنة الخامسة لقد استخففنا بعدد الأرانب جذرياً.
في هذا السياق، المنحني الأزرق يمكن أن يُفكّر به كحطأ تنبؤي.
إنّها الاختلاف بين السلوك الحقيقي للأرانب وسلوكنا المتنبأ للأرانب
بناءً على الشرط الإبتدائي الذي درسناه.
إذاً، في هذه المرحلة ربما أسأل: هذا مخيب للآمال نوعاً ما، هل يمكننا أن نتنبأ بالأرانب بشكلٍ أفضل؟
نود أن نكون قادرين على قول، بثقة أكثر ،
ماذا يفعلون في منذ 5 أو 6 سنوات، أو أجيال، أو غير ذلك.
وإذاً، بما أنّنا نعرف القاعدة التي تحددهم تماماً،
الشيء الذي نحتاج فعله لكي نقوم بتنبؤ أفضل، هو أن نقيس عدد الأرانب
بدقة أكبر. إذاً، نعيد إرسال فريق ونقول حسناً،
كن حذراً جداً جداً هذه المرة. نحتاج قياسات دقيقة للأرانب
قريبة للقيمة الحقيقية قدر الإمكان.
ودعونا نقول، دعونا فقط نتخيل، أنّهم يقتربون جداً.
إذاً، بدلاً من أن يحصلوا على 0.2 تماماً، حصلوا على 0.2000001. سأضع صفراً إضافياً هنا.
إذاً ها هنا ، ومن ثم بضعة أحزاء من المليون.
إذاً، إنّه من السهل أن تدخل هذا الأعداد إلى الحاسوب، لكن في الواقع القيام بهذه القياسات
بهذه الدقة مستحيل تقريباً، بالتأكيد على ما أظن،
لأي كثافة سكانية إنّه من الممكن أن تحصي جزء واحد في المليون. ربما حتى للناس،
بكل تأكيد للأرانب. وإنّه من الصعب قياس الأشياء بهذه الدقة
حتى في الفيزياء، أو مختبر الكيمياء. إنّه محتمل، لكنه ليس شيئاً سهلاً.
حسناً، إذاً قياساتنا الآن أدق بمليون مرة تقريباً.
إذاً باختصار، سيكون لدينا تنبؤ أفضل، التنبؤات التي سنكون قادرين على تحديدها
بهذا الشرط الإبتدائي في النموذج ستكون أفضل.
إذاً، دعونا نرى إن كانت هذه هي المسألة بالفعل.
إذاً سأضغط على 'اصنع رسم السلسة الزمنية البياني'
وبالفعل، المنحنيين فوق بعضهما البعض.
المنحني الأخضر يغطي المنحني البنفسجي، لبعض الوقت.
نستطيع أن نذهب، ربما كل هذه المسافة ، فلنقل لـ 20 تقريباً،
بالوقت الذي نصل به لـ 20، المنحنيين يبدؤا يصبحوا، مختلفين جداً.
إذاً تنبؤنا عظيم لحوالي 18 أو 20 جيل، لكن ينهار ويصبح خاطئاً بعد ذلك.
دعوني أرسم بيانياً تكرارات قليلة إضافية، سأذهب حتى 40، انظر ماذا يبدو هذا.
إذاً، التنبؤ عظيم، التنبؤ الأخضر على فوق الواقع البنفسجي تماماً
حتى حوالي السنة 20، في حالة أنّ المنحنيين، التنبؤ والواقع، يتباعدوا ويبدوان
غير مترابطين كلياً. دعونا ننظر للرسم البياني الأزرق لهذا.
إذاً، الرسم البياني الأزرق هو الحطأ التنبؤي. إنّه الاختلاف بين المنحنيين،
إنّه الاختلاف بين تنبؤنا والواقع.
إذاً، الاختلاف صغير جداً جداً، إنّه قريب للصفر، ومن ثم حوالي 16 أو 17 يبدأ يزيد
فقط قليلاً. ومن ثمّ ينفجر بالقرب من 19، 20، 21،
ويصبح كبيراً جداً، والآن لدينا خطأ ضخم.
إذاً، هذه طريقة لتصوّر ظواهر الاعتماد الحساس على الشرط الإبتدائي،
مختصرة غالباً بـ SDIC. إنّها معروفة أيضاً بتأثير الفراشة.
الفكرة هي أنّ الاختلاف صغير جداً في الشروط الإبتدائية،
هنا تقريباً جزء واحد، عدة أجزاء بالمليون، يضخَّم ثم يصبح كبيراً جداً.
إذاً، المنحني الأزرق يبدأ عند 0 ويصبح كبيراً، أو غير صفري، موجب أو سالب،
المنحنيات الأزرق (الأخضر) والبنفسجي تبدأ بجانب بعضها البعض، وتنتشر بعيداً عن بعضها البعض.
المعادلة اللوجيستية حتمية. إنّها فقط تابع تكراري، تأثير مكرر
مراراً وتكراراً. إذاً، يجب أن تكون متوقعة تماماً.
وفي بعض أنواع الحس، تكون متوقعة فعلاً. ومع ذلك، لكي يقوم أحدٌ ما بتوقعات دقيقة،
يحتاج إلى قيمة دقيقة للغاية للشرط الإبتدائي.
إذاً خطأ صغير، مجدداً كما رأينا، خطأ صغير، فقط اختلاف
اختلاف صغير جداً جداً يصبح كبيراً جداً جداً جداً بسرعة.
إذاً، ليست المسألة أنّها غير متوقعة على الإطلاق، لكن لأنها لدييها هذه الخصائص
من الاعتماد الحساس على الشروط الإبتدائية، نقطة البداية تهم كثيراً إنّها...
لكل الأغراض العملية، إنّه من المستحيل أن تقوم بتوقعات طويلة المدى.
ها هنا طريقة أخرى محتملة للتفكير بهذا. دعوني أعود لحظة لهذا المثال.
إذاً، هنا 0.2 و 0.21. والتوقع الذي نستطيع القيام به هنا هو
بعيد حتى، حسناً، التوقع لا يدوم طويلاً: دعونا نكون أسخياء ونقول أنّه يدوم
لـ 4 حطوانت زمنية، التكرار الرابع. وبعد ذلك، التوقع سيء جداً ليكون
عديم الجدوى تماماً. في الواقع هذا النوع يبدو كتوقعات الجو،
ليس بتطابق على أي حال، نستطيع أن نتوقع 4 خطوات زمنية،
4 أيام، دعونا نقول، أو 4 أجيال. إذاً، إذا قسنا بدقة أكثر، سنكون
قادرين على القيام بتوقعات أفضل. وبالفعل هذه هي المسألة.
إذاً سأعود لهذا
إذاً، الآن سأقيس بدقة أكبرونسيطيع أن نحرج إلى، مجدداً، فقط لصالح--
دعونا نقول أننا نستطيع الذهاب لـ 20. وبعد 20 خطوة زمنية، القياسات،
التوقع يصبح عديم القيمة جوهرياً.
إذاً، من جهة، أجل، قياسات أكثر دقة تقود
لتوقعات أكثر دقة وذات مدى أطول. ومع ذلك، لكي نحسن زمن توقعنا
من خلال عامل لـ 5 يجب أن نحسن قياساتنا من خلال عامل لمليون.
إذاً، يجب أن نعمل بجد مليون مرة لكي نحصل على نتيجة أفضل بحمس مرات فقط.
إذاً، أجل، إنّه مُتوقع، لكن كمية العمل التي يجب أن نقوم به لكي نتوقع هي في الحقيقة،
تتزايد أضعافاً مضاعفة مع من الوقت نريد التوقع له.
إذاً، هناك طريقة أخرى لرؤية أو للتفكير بالاعتماد الحساس على الشروط الإبتدائية.
سأقوم بمثال آخر، أو سأتحدث من خلال سيناريو آخر ومن ثمّ سأعرّف
الاعتماد الحساس على الشروط الإبتدائية بدقة أكثر.