Usemos el programa para revisar la ecuación logística para otros valores de r.
Probemos com 3.1.
Este es el valor de r que ustedes trabajaron con la prueba al final de la última sección,
donde les pregunté para buscar las primeras pocas iteraciones de la ecuación logística con un valor de r=3.1 y una condición inicial de 0.1.
Probemos y veamos que sucede.
Descendamos hasta la órbita o trayecto.
Espero que estos pocos números te parezca familiares, si calculaste ellos con una calculadora o quizás con tu própia computadora.
La condición inicial o semilla es 0.1
Y después obtenemos 0.279, y 0.62359, OK
Pero ahora, veamos el comportamiento a largo plazo de esto. Qué pasa en el largo plazo?
La órbita comienza a moverse y entonces parece asentarce en un ciclo
Para ver esto un poco más claro, quizá podemos graficar algunas iteraciones
Veámos en 50 iteraciones
En esta vista podemos ver un poco más claro que después de una fase de transición inicial
terminamos en un periodo de dos ciclos
Veamos abajo en la iteraciones, podemos ver que el número esta saltando entre 0.55802 y 0.76457
Así que esto es un ciclo. Llamamos a esto un periodo cíclico de dos, porque toma dos iteraciones para completar un ciclo.
Este comportamiento es estable; es atractor.
Podemos ver que, como siempre, probando diferentes condiciones iniciales. Descendamos, así podemos ver el gráfico ...
probemos con 0.2: El comportamiento para el tiempo inicial es diferente, pero a largo plazo vemos el mismo comportamiento,
Así, diferentes órbitas estan siendo atraídas a este ciclo.
Probemos algo en la mitad de este ciclo -0.66- veamos que sucede entonces.
Entonces, en vez de moverse desde afuera hacia adentro, se mueve de adentro para afuera.
Comienza moviéndose y termina en el mismo periodo doble. Los números que vemos son los mismos que vimos antes.
Probemos uno más, probemos con 0.99, que es bueno para algo de drama.
Aqui esta iniciando con los conejos muy cerca del número del dia del juicio final, la extinción de la poblacioón...
Y nuevamente, vemos un grande choque, pero entonces crece y nuevamente entra en el ciclo de dos periodos.
Así que este es un nuevo comportamiento; no habíamos visto esto anteriormente.
Este es un periodo cíclico y este periodo doble y más importante, es un periodo estable.
Muchas órbitas son atraídas hacia este, si la población está en esta órbita - este ciclo de periodo doble - eso se mueve un poco fuera de él,
volverá hacia él.
Resumamos el comportamiento de la ecuación logística para r=3.1.
Encontramos que allí esta un ciclo atractor de periodo doble,
y los valores cíclicos están entre 0.56 y 0.76.
Está atrayendo porque las órbitas cercanas son atraídas dentro de él
Nosotros podemos también decir que es estable: Si la población estaba en este ciclo y se mueve un poco afuera de él,
eso volvería hacia este ciclo.
Entonces, es estable, así como los puntos fijos son estables.
Podemos resumir este comportamiento en nuestro diagrama de estado final como sigue:
Habrá dos puntos; 0.56, 0.76. Ahi dos estados finales aqui.
Si escogemos una condición inicial, iteramos esta por cientos de veces y entonces vemos por un ciento más,
Esto estará oscilando hacia atrás y adelante entre estos dos valores.
No puedo realmente dibujar flechas aquí, como podemos para la linea de fase, porque aqui se esta moviendo hacia adelante y atrás.
En vez de eso, en este diagram de estado final, vamos a resumir el valor final en la cual la órbita se encuentra.
Probemos con un valor más de r.
Probemos, en vez de 3.1 con 3.5.
Voy a escoger la condición inicial: 0.11.
Si hago el gráfico de series temporales, nuevamente vemos comportamiento periódico, cíclico y regular,
y en esta instancia, el periodo no es dos, sino cuatro.
Uno, dos, tres, cuatro, y entonces estamos de vuelta donde comenzamos,
Así que podemos decir que esto es periodo porque toma cuatro iteraciones hasta completar el ciclo.
Como antes, este comportamiento es estable, y la forma facil de ver es probar un grupo diferente de condiciones iniciales.
Voy a probar algunas condiciones iniciales, y notar que el comportamiento a largo plazo no cambia.
Una parte del comportamiento a corto plazo podría, pero todas las órbitas están terminando en el mismo lugar.
Aqui esta una condición inicial diferente; que desplaza la fase, pero a largo plazo es el mismo.
Prueba 0.88. Nuevamente, aún estamos viendo periodo cuatro, el mismo ciclo.
Hagamos uno dramático, 0.99
Grande choque, rápido crecimiento, nuevamente terminamos con periodo cuatro.
Este programa te permitirá graficar muchas iteraciones si deseas,
Así que si deseas ver realmente un comportamiento a largo plazo, podrías hacer aquello. Aqui hay 200 iteraciones.
El gráfico se convierte en algo aplastado juntos, pero nuevamente vemos el mismo padrón regular.
Uno, dos, tres, cuatro y volvemos donde comenzamos.
Podemos bajar ahora y ver la tabla de números, y podemos ver que de hecho está repitiendo; los números de hecho está repitiendo en cada 4.
Asi que para el valor r, tenemos un estable y atractivo ciclo de 4 periodos.
Resumamos el experimento que hicimos en la computadora.
Estamos buscando por la ecuación diferencial con r=3.5 y encontramos un ciclo atractor de 4 periodos.
Mirando en las órbitas -el número- que encontramos que están entre estos valores.
Es un periodo cuatro, porque toma cuatro iteraciones para volver: Uno, dos, tres, cuatro, y entonces nuevamente se repite
Está atrayendo porque las órbitas cercanas es son atraídas hacia él.
Equivalentemente, es estable; si la población en este ciclo es jalado fuera de ella,
eso retornará a su ciclo.
Lamentáblemente, podemos resumir este comportamiento co un diagrama de estado final
En este caso, hay cuatro estados finales, porque esta en forma cíclica entre cuatro valores.
En mi diagrama de estado final, entre 0 e 1, Eso tendría cuatro valores, correspondiendo a los valores de este ciclo.
Uno, dos, tres, cuatro; allí están ellos.
Así cuando r = 3.5, tendremos un ciclo atractor de periodo 4.
Entonces hemos visto que la ecuación logística es capaz de mantener el comportamiento cíclico,
y estos ciclos son estables o atractores, de la misma forma que hemos visto los puntos fijos, son estables y atractores.
Valores diferentes de r generan ciclos de diferente periodicidad
De lejos, hemos visto ciclos de 2 y 4 periodos.
Puedo contarte una historia sobre el periodo doble(o cualquier periodo), en términos de conejos, si se quisiera.
Quizás un año hay demasiados conejos y se comen muchísima comida
sea lo que sea que comen los conejos - pasto o comida para conejos, supongo - entonces el próximo año, como comieron mucho
no hay mucha comida en los alrededores, y entonces la población disminuye porque hay bastantes conejos hambrientos.
Pero entonces, como hay menos conejos, el pasto y la comida para conejos vuelve a aparecer,
Entonces el año siguiente, es bueno ser un conejo, y la población crece.
Así que podemos imaginar un ciclo de demasiados conejos, o de poquísimos conejos, y el ciclo nuevamente se repite.
Y esto no es sorprendente, espero, estamos viendo ciclos. Ciclos son comportamientos repetitivos,
y la iteración es tan repetitivo como aparece.
Estamos haciendo la misma cosa, aplicando la misma función que es la ecuación logística con un valor fijo de r, una y otra vez,
Usando el resultado de un año, como semilla para el próximo.
No es sorprendente, espero, que veamos comportamientos cíclicos y repetitivos.
En las evaluaciones que siguen a esta clase, tendrás la oportunidad de explorar algunos comportamientos adicionales a los que muestra la ecuación logística.
Remiendo fuertemente que intentes hacer las exploraciones antes de continuar la siguiente seccón.