Ας χρησιμοποιήσουμε το πρόγραμμα για να δούμε τη λογιστική εξίσωση για μια άλλη τιμή του r.
Ας δοκιμάσουμε το 3.1
Αυτή είναι η τιμή του r με την οποία δουλέψατε στο quiz στο τέλος της προηγούμενης ενότητας
όπου σας ζήτησα να βρείτε τις λίγες πρώτες επαναλήψεις
για τη λογιστική εξίσωση με τιμή r 3.1 και αρχική συνθήκη 0.1
Για να δοκιμάσουμε και να δούμε τι συμβαίνει.
Πάμε κάτω στην τροχιά ή διαδρομή
και ελπίζω τα λίγα αυτά νούμερα να σας μοιάζουν γνωστά,
αν τα υπολογίσατε με κάποιον υπολογιστή τσέπης ή κάποιο δικό σας υπολογιστικό πρόγραμμα.
Η αρχική συνθήκη ή φύτρα είναι 0.1...
και έπειτα παίρνουμε 0.279 και 0.62359, οκ.
Αλλά, τώρα, για να δούμε τη μακροπρόθεσμη συμπεριφορά του. Τι συμβαίνει μακροπρόθεσμα;
Η τροχία αρχίζει να "τρέμει" και μετά μοιάζει να σταθεροποιείται σε έναν "κύκλο" (ή περίοδο).
Για να το δούμε αυτό λίγο πιο καθαρά, ίσως να σχεδιάσουμε περισσότερες επαναλήψεις
Για να δούμε 50 επαναλήψεις...
Εδώ μπορούμε να δούμε λίγο πιο καθαρά ότι, μετά από μια αρχική, μεταβατική περιόδο
καταλήγουμε σε έναν κύκλο με περίοδο δύο.
Για να δούμε κάτω, στις επαναλήψεις
και, μπορούμε να δούμε ότι τα νούμερα "πηδάνε" μεταξύ του 0.55802 και 0.76457.
Οπότε, 0.55802 και μετά βλέπουμε 0.55802 ξανά
Είναι λοιπόν ένας κύκλος. Τον ονομάζουμε κύκλο με περίοδο δύο
επειδή χρειάζονται δύο επαναλήψεις για να ολοκληρώσουμε τον κύκλο.
Αυτή η συμπεριφορά είναι σταθερή: είναι ελκυστική.
Μπορούμε να το δούμε αυτό, όπως συνήθως, δοκιμάζοντας διαφορετικές αρχικές συνθήκες.
Για να κατέβουμε κάτω ώστε να δούμε το γράφημα...
Ας δοκιμάσουμε 0.2.
Η συμπεριφορά για την αρχική περίοδο είναι διαφορετική,
αλλά, μακροπρόθεσμα, βλέπουμε την ίδια συμπεριφορά.
Διαφορετικές λοιπόν τροχίες έλκονται σε αυτόν τον κύκλο.
Ας δοκιμάσουμε κάτι στη μέση του κύκλου - 0.66 - και για να δούμε τι συμβαίνει τότε.
Τότε, αντί να ταλαντώνεται από έξω προς τα μέσα, ταλαντώνεται από μέσα προς τα έξω.
Δεν είμαι σίγουρος οτι αυτός είναι ο καλύτερος τρόπος να το περιγράψω
αλλά πιθανόν αυτή η εικόνα είναι καλύτερη απ' αυτά που λέω
Ξεκινάει να ταλαντώνεται και καταλήγει στην ίδια περίοδο δύο.
Οι αριθμοί που βλέπουμε είναι οι ίδιοι αριθμοί που είδαμε και πριν.
Για να δοκιμάσουμε ένα ακόμη. Ας δοκιμάσουμε 0.99 - είναι πάντα ένας δραματικός αριθμός.
Αυτό ξεκινάει τα κουνέλια πολύ κοντά στον πληθυσμό της συντέλειας, τον πληθυσμό αφανισμού.
Και πάλι, βλέπουμε μια μεγάλη μείωση αλλά μετά αυξάνεται και, ξανά, καταλήγει σε αυτόν τον κύκλο περιόδου δύο.
Αυτή είναι λοιπόν μια νέα συμπεριφορά: δεν το έχουμε ξαναδει αυτό.
Αυτός είναι ένας περιοδικός κύκλος, είναι περιόδου δύο και, κυρίως, είναι σταθερός.
Πολλές τροχίες έλκονται σε αυτόν: αν ο πληθυσμός είναι σε αυτή την τροχία
- σε αυτόν τον κύκλο περιόδου δύο - και κινηθεί λιγάκι μακριά
θα επιστρέψει πίσω σε αυτόν.
Ας συνοψίσουμε τη συμπεριφορά της λογιστικής εξίσωσης για r = 3.1:
βρήκαμε ότι υπάρχει ένας ελκυστικός κύκλος περιόδου δύο
και οι τιμές μεταξύ των οποίων "πηδάει" είναι περίπου 0.56 και 0.76.
Είναι ελκυστικός επειδή γειτονικές τροχιές έλκονται σε αυτόν.
Μπορούμε ακόμη να πούμε ότι είναι ευσταθής: αν ο πληθυσμός ήταν σε αυτόν τον κύκλο και μετακινούταν λίγο μακριά από αυτόν,
θα έπεστρεφε και πάλι στον κύκλο.
Οπότε, είναι ευσταθής, όπως τα σταθερά σημεία είναι ευσταθή.
Μπορούμε να συνοψίσουμε αυτή τη συμπεριφορά στο διάγραμμα τελικού σταδίου κατ' αυτό τον τρόπο:
Θα υπάρχουν δύο τελείες: 0.56, 0.76. Υπάρχουν δύο τελικά στάδια εδώ.
Αν επιλέξω μια αρχική συνθήκη, την επαναλάβω για εκατό φορές και μετά τη παρατηρήσω για άλλες εκατό
θα πηδάει μπρος και πίσω μεταξύ αυτών των δύο τιμών.
Δε μπορώ να σχεδιάσω βέλη εδώ, όπως θα κάναμε για τη γραμμή φάσης, γιατί κινείται μπρος και πίσω.
Έτσι, αντ' αυτού, σε αυτό το διάγραμμα τελικού σταδίου, συνοψίζουμε την τελική τιμή ή τιμές στις οποίες βρίσκονται οι τροχιές.
Για να πειραματιστούμε με μια ακόμη τιμή του r.
Ας δοκιμάσουμε, αντί για 3.1, 3.5
Θα διαλέξω μια αρχική συνθήκη, 0.11
Αν φτιάξω το διάγραμμα χρονοσειράς, βλέπουμε πάλι περιοδική, κυκλική, ομαλή συμπεριφορά
και, σε αυτή την περίπτωση, η περίοδος δεν είναι δύο αλλά τέσσερα.
Ένα, δύο, τρία, τέσσερα, και μετά πίσω από εκεί που ξεκινήσαμε.
Θα λέγαμε λοιπόν ότι αυτό είναι περίοδος τέσσερα, επειδή παίρνει τέσσερις επαναλήψεις για να ολοκληρώσει έναν κύκλο.
Όπως και πριν, αυτή η συμπεριφορά είναι ευσταθής
και ο ευκολότερος τρόπος να το δούμε αυτό είναι να δοκιμάσουμε κάμποσες διαφορετικές αρχικές συνθήκες.
Θα δοκιμάσω κάποιες αρχικές συνθήκες και προσέξτε ότι η μακροπρόθεσμη συμπεριφορά εδώ δεν αλλάζει.
Κάποια από την βραχυπρόθεσμη συμπεριφορά ίσως αλλά όλες οι τροχιές θα καταλήξουν στο ίδιο σημείο.
Να μια διαφορετική αρχική συνθήκη: μετατόπισε τη φάση αλλά η μακροπρόθεσμη συμπεριφορά είναι η ίδια.
Ας δοκιμάσουμε 0.88. Και πάλι, βλέπουμε περίοδο τέσσερα, ο ίδιος κύκλος.
Για να κάνουμε και τη δραματική, 0.99.
Μεγάλη πτώση, ταχεία ανάπτυξη και, πάλι, καταλήγουμε με περίοδο τέσσερα.
Αυτό το πρόγραμμα σας επιτρέπει να συμπεριλάβετε στο γράφημα πολλές επαναλήψεις αν θέλετε.
Έτσι, αν θέλατε να δείτε την πολύ μακροπρόθεσμη συμπεριφορά, θα μπορούσατε να το κάνετε. Να 200 επαναλήψεις.
Το γράφημα γίνεται λίγο δυσδιάκριτο αλλά και πάλι μπορείτε να δείτε αυτό το μοτίβο.
Ένα, δύο, τρία, τέσσερα και πάλι απ' την αρχή.
Μπορούμε να πάμε εδώ κάτω και να δούμε τον πίνακα των αριθμών.
Θα δούμε ότι, πράγματι, επαναλαμβάνεται: οι αριθμοί επαναλαμβάνονται ανα τέσσερις.
Έτσι, για αυτή την τιμή του r, έχουμε έναν ευσταθή ή ελκυστικό κύκλο περιόδου τέσσερα.
Ας συνοψίσουμε τα πειράματα που μόλις κάναμε στον υπολογιστή.
Βλέπουμε τη λογιστική εξίσωση με r ίσον 3.5 και βρήκαμε έναν ελκυστικό κύκλο περιόδου τέσσερα.
Κοιτώντας τις τροχιές - τα νούμερα - βρήκαμε ότι πηδάει ανάμεσα σε αυτά τα νούμερα.
Είναι περιόδου τέσσερα επειδή χρειάζεται τέσσερις επαναλήψεις για να ολοκληρώσει τον κύκλο:
1, 2, 3, και μετά επαναλαμβάνεται.
Είναι ελκυστικός επειδή γειτονικές τροχιές έλκονται προς αυτόν.
Αντίστοιχα, είναι σταθερός: αν ο πληθυσμός βρίσκεται εντος αυτού του κύκλου και ξεφύγει λίγο
θα επιστρέψει σε αυτόν τον κύκλο.
Τέλος, μπορούμε να συνοψίσουμε αυτή τη συμπεριφορά με ένα διάγραμμα τελικού σταδίου
Σε αυτή τη περίπτωση, υπάρχουν τέσσερα τελικά στάδια,
επειδή πηδάει ανάμεσα σε τέσσερις τιμές.
Στο διάγραμμα τελικού σταδίου, μεταξύ του 0 και 1,
θα είχα 4 τιμές που αντιστοιχούν στις τιμές του κύκλου.
1, 2, 3, 4, εδώ είναι.
Όταν λοιπόν το r είναι 3.5, έχουμε έναν ελκυστικό κύκλο περιόδου τέσσερα.
Είδαμε ότι η λογιστική εξίσωση είναι δυνατόν να έχει περιοδική ή κυκλική συμπεριφορά
και αυτοί οι κύκλοι είναι ευσταθής ή ελκυστικοί,
με τον ίδιο τρόπο που τα σταθερά σημεία που έχουμε ήδη δει είναι ευσταθή ή ελκυστικά.
Διαφορετικές τιμές του r οδηγούν σε κύκλους διαφορετικών περιοδικοτήτων.
Μέχρι στιγμής έχουμε δει κύκλους περιόδου δύο και περιόδου τέσσερα.
Μπορούμε, αν θέλουμε, να πούμε την ιστορία ενος περιόδου δύο - ή όποιας περιόδου - κύκλου, όσον αφορά τα κουνέλια.
Ίσως τον έναν χρόνο υπάρχουν λίγο πολλά κουνελιά και τρώνε πολύ από το φαγητό
- ό,τι τρώνε τα κουνέλια, γρασίδι και κουνελοφαγητό φαντάζομαι -
και, έτσι, τον επόμενο χρόνο, επειδή έφαγαν τόσο πολύ αυτόν τον χρόνο,
δεν υπάρχει και τόσο φαγητό διαθέσιμο κι έτσι, ο πληθυσμός μειώνεται επειδή υπάρχουν πολλά νηστικά κουνέλια.
Αλλά, τότε, επειδή υπάρχουν λιγότερα κουνέλια, το γρασίδι και το κουνελοφαγητό φυτρώνει πάλι
οπότε, έτσι, τον επόμενο χρόνο είναι μια χαρά να είσαι κουνέλι και ο πληθυσμός αυξάνεται.
Μπορούμε λοιπόν να φανταστούμε έναν κύκλο λίγο πολλών κουνελιών και λίγο λίγων κουνελιών
κι ότι ο κύκλος αυτός επαναλαμβάνεται.
Και δεν μας κάνει έκπληξη, ελπίζω, το ότι βλέπουμε κύκλους. Οι κύκλοι είναι επαναλαμβανόμενη συμπεριφορά
και η επανάληψη είναι όσο πιο επαναλαμβανόμενη γίνεται.
Κάνουμε το ίδιο πράγμα, εφαρμόζουμε την ίδια συνάρτηση, τη λογιστική εξίσωση, με μια σταθερή τιμή του r, ξανά και ξανά και ξανά,
χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα για τον έναν χρόνο ώς την εισακτέα τιμή για τον επόμενο.
Δε εκπλήσσει καθόλου, ελπίζω, το ότι βλέπουμε περιοδική και επαναλαμβανόμενη συμπεριφορά.
Στα quiz που ακολουθούν αυτό το βίντεο, θα έχετε τη δυνατότητα να εξερευνήσετε περαιτέρω
κάποιες από τις συμπεριφορές της λογιστικής εξίσωσης.
Σας συνιστώ να τις δοκιμάσετε πριν συνεχίσετε στην επόμενη ενότητα.