دعونا نستخدم البرنامج لنجرب المعادلة اللوجيستية عند قيمة أخرى لـ r.
دعونا نجرب 3.1.
وهي قيمة r هذه التي عملت عليها في الاختبار القصير عند نهاية المحاضرة الأخيرة،
حيث سألتك أن تجد التكرارات الأولى للمعادلة اللوجيستية عنما قيمة r تساوي 3.1 وشرط إبتدائي يساوي 0.1.
دعونا نجرب ذلك ونرى ماذا يحدث.
دعونا ننزل للأسفل للمدار أو مسار المعادلة .
آمل أنّ هذه الأعداد القليلة تبدو مألوفة: إذا حسبتهم بالآلة الحاسبة أو باستخدام برنامج حاسوب لوحدك.
الشرط الإبتدائي أو البذرة هي نقطة واحد...
ومن ثمّ نحصل على 0.279 وبعدها 0.62359، حسناً
لكن الآن لننظر إلى سلوك الطويل المدى ، مالذي سيحدث على المدى الطويل ؟
المدار يبدأ بالتذبذب، ومن ثم يبدو أنّه يستقر في دورة .
لتراه بوضوح أكثر، ربما يمكننا أن نرسم بيانياً بعض التكرارات الإضافية.
لننظر إلى 50 تكرار ....
نستطيع أن نرى بوضوح أكثر أنّه بعد المرحلة الانتقالية الابتدائية إلى حدٍ ما،
ننتهي ب دورة ثنائية الفترة
دعونا ننظر للتكرارات ونستطيع أن نرى أن العدد يقفز بين 0.55802 و 0.76457.
إذاً إنّها دورة . ندعو هذه الدورة بدورة الفترتين لأنّها تأخذ تكرارين لتكمل الدورة.
هذا السلوك مستقر: إنّه جاذب.
نستطيع أن نرى ذلك، من خلال تجربة شروط إبتدائية مختلفة. دعونا ننزل للأسفل لكي نستطيع أن نرى الرسم البياني...
لنجرب 0.2: السلوك للزمن الابتدائي مختلف، لكن على المدى الطويل نرى نفس السلوك،
إذاً مدارات مختلفة تُجذب لهذه الدورة.
دعونا نجرب شيئاً ما في منتصف الدورة - 0.66 - دعونا نرى ماذا يحدث عندها .
نرى أنه : بدلاً من التذبذب من الخارج للداخل: إنّه يتذبذب من الداخل للخارج.
يبدأ بالتذبذب، وينتهي بنفس الفترة الثانية. الأعداد التي نراها هي نفس الأرقام التي رأيناها من قبل.
دعونا نجرب رقماً آخر. دعونا نجرب 0.99، هذا جيد دائماً لمزيد من التشويق .
ومجدداً نستطيع أن نرى انهيار كبير، لكن بعدئذٍ يزداد ويستقر مجدداً عند نفس الدورة من الفترة الثانية.
إذاً هذا سلوك جديد ما : لم نرى مثل هذا من قبل حقّاً.
هذه دورة متكررة (دورية) ، ثنائية الدور ، والأهم إنّها مستقرة.
عدّة مدارات منجذبة لها، فإذا كانت الكثافة السكانية على هذا المدار - هذه الدورة ثنائية الفترة - تبتعد قليلاً،
فسوف تعود لها.
دعونا نلخص سلوك المعادلة اللوجيستية لـ r = 3.1.
لقد وجدنا أنّه يوجد دورة جاذبة ثنائية الفترة،
والقيم التي دارت بينهم كانت حوالي 0.56 و 0.76.
إنّه جاذب لأنّ المدارات القريبة تُسحب نحوه.
يمكننا أن نرى أنها مستقرة ، إذا كانت الكثافة السكانية في هذا الدورة تتحرك مبتعدة قليلا عنها ،
فإنها سوف تعود لهذا الدورة
إذاً، إنّه مستقر، تماماً مثلما النقاط الثابتة مستقرة.
نستطيع أن نلخص هذا السلوك في رسم الحالة النهائية البياني كما يلي:
سيكون هناك نقطتين: 0.56، 0.76. يوجد حالتين نهائتين هنا.
إن اخترت شرط إبتدائي، كررته مئة مرة، ومن ثم شاهدته مئة مرة أخرى،
سيرتد ذهاباً وإياباً بين هاتين القيمتين.
لا أستطيع أن أرسم أسهم هنا، كما نفعل للخط المرحلي، لأنّه يتحرك ذهاباً وإياباً.
إذاً بدلاً من ذلك، في رسم الحالة النهائية البياني سنلخص فقط القيمة النهائية أو القيم التي وُجدت بها المدارات.
.دعونا نجرب قيمة r أخرى.
دعونا نجرب، بدلاً من 3.1، 3.5
سأختار شرط إبتدائي: 0.11.
إن صنعتْ رسم السلسلة الزمنية البياني، نرى مجدداً سلوك منتظم، دوري ومتكرر،
وفي هذه المرحلة، الدورة ليست ثنائية بل رباعية.
واجد، اثنان، ثلاثة، أربعة، وعندئذٍ عدنا حيثما بدأنا،
إذاً سنقول أنّ هذه دورة رباعية لأنّها تأخذ أربعة تكرارات لتكمل دورة واحدة .
كما في السابق، السلوك مستقر، وأسهل طريقة لرؤية هذا هي تجربة مجموعة من الشروط الأولية المختلفة.
سأجرب بعض الشروط الإبتدائية، ولاحظ أنّ السلوك طويل المدى هنا لا يتغير.
بعضاً من السلوكيات قصيرة المدى ربما تتغير، لكن كل المدارات ستنتهي بنفس المكان.
ها هنا شرط إبتدائي مختلف: لقد عبر الحالة، لكن السلوك طويل المدى نفسه.
جرّب 0.88 مجدداً، مازلنا ترى الدورة رباعية، نفس المدار.
دعونا نجرب رقم مشوق، 0.99.
انهيار كبير، تطور سريع، ننتهي بدورة رباعية مجدداً.
هذا البرنامج سيدعك ترسم الكثير من التكرارات بيانياً إن أردت،
إذاً إذا أردت أن ترى السلوك طويل المدى، يمكنك أن تفعل هذا. ها هنا مئتي تكرار.
الرسم البياني يصبح محطماً نوعاً ما مع كل هذه التكرارات، لكن مجدداً تستطيع أن ترى نمط مألوف.
واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة وعدنا لحيثما بدأنا.
نستطيع أن نذهب هنا للأسفل وننظر لجدول الأعداد، ونستطيع نرى أنّه يتكرر بالفعل: الأعداد بالفعل تتكرر كل أربعة فترات .
إذاً لقيمة r هذه، لدينا مدار مستقر أو جاذب من الدورة الرباعية.
دعونا نلخص التجارب التي قمنا بها للتو على الحاسوب.
إننا ننظر للمعادلة اللوجيستية مع r تساوي 3.5، ووجدنا مدار جاذب للدورة الرباعية.
بالنظر للمدارات - الأعداد - وجدنا أنّ الدورات هي عبارة عن هذه الأعداد.
إنّها دورة رباعيةة، لأنّها تأخذ أربع تكرارات لتعيد الدورة: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، ومن ثمّ تتكرر
إنّها جاذبة لأنّ المدارات القريبة تُسحب نحوهها.
بتساوٍ، إنّها مستقرة: إن كانت الكثافة السكانية على هذا المدار وتُدفع عنه،
فإنها سوف تعود لهذا الدورة
أخيراً، نستطيع أن نلخص هذا السلوك برسم الحالة النهائية البياني،
في هذه الحالة، يوجد أربع حالات نهائية، لأنّها تدور فيما بين أربع قيم.
على رسمي للحالة النهائية البياني، بين الصفر وواحد، سيكون لدي لدي أربع قيم مطابقة للقيم في الدورة.
واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة: ها هم هنا.
عندما كانت r=3.5 فإننا حصلنا ع دورة جاذبة رباعية الفترة ،
إذاً لقد رأينا أنّ المعادلة اللوجيستية قادرة على السلوك الدوري،
وهذه المدارات مستقرة أو جاذبة، بنفس الطريقة التي كانت فيها النقاط الثابتة التي رأيناها سابقاً مستقرة أو جاذبة.
قيم r المختلفة تعطي ارتفاع للدورات ذات الفترات المختلفة.
لحد الآن، لقد رأينا مدارات من دورة ثنائية ودورة رباعية.
نستطيع أن نقص قصة عن مدار الدورة الثنائية (أو أي دورة) ، بمصطلحات الأرانب إن أردتم.
ربما في سنةٍ ما يوجد هناك القليل جداً من الأرانب يأكلون الكثير من الغذاء
مهما كان ما تأكله الأرانب - عشب وطعام الأرانب، على ما أعتقد - ومن ثمّ العام التالي، لأنّهم أكلوا كثيراً هذا العام،
لم يتبقى الكثير من الغذاء، ولذلك تنحدر الكثافة السكانية لأنّه يوجد الكثير من الأرانب الجائعة.
لكن بعدئذٍ، لأنّ هناك عدد من الأرانب أقل، العشب وطعام الأرانب ينمو مجدداً،
إذاً في العام الذي يليه سيكون ذلك مفيدا لأرنب ، والكثافة السكانية للأرانب تزداد ،
إذاً نستطيع أن نتخيل مدار من الأرانب القليلة جداً، أو قلّة قليلة من الأرانب، وهذا أنّ المدار يتكرر
وهذا ليس مفاجئاً، آمل أننا نرى مدارات. المدارات هي سلوك تكراري،
والتكرار تقريباً تكراري مثلها.
إنّنا نفعل نفس الشيء، نطبق نفس الدالة، المعادلة اللوجيستية مع قيمة r الثابتة، مراراً وتكراراً،
مستخدمين الناتج لسنة ما كما المدخل للسنة التي تليها.
إنّه ليس مفاجئا على الإطلاق، آمل أن تروا دور وسلوك حافل بالتكرار.
في الاختبارات القصيرة التي تتبع المحاضرة، ستحصل على فرصة لتستكشف بعض السلوكيات الإضافية التي تُظهرها المعادلة اللوجيستية.
أقترح بشدّة أن تجرب هذه الاستكشافات قبل الاستمرار بالقسم التالي.