Στην τελευταία ενότητα παρουσίασα τη λογιστική εξίσωση,

ένα απλό μοντέλο αύξησης του πληθυσμού,

όπου υπάρχει κάποιο όριο στο πόσο μεγάλος μπορεί να γίνει ο πληθυσμός.

Οι λεπτομέρειες της παραγώγισης της λογιστικής εξίσωσης δεν είναι απαραίτητες

αλλά θα χρησιμοποιούμε τόσο πολύ τη λογιστική εξίσωση στις επόμενες ενότητες

που σκέφτηκα ότι αξίζει να μιλήσουμε λίγο για τις καταβολές της

και ελπίζω αυτό να σας δώσει μια λίγο καλύτερη αίσθηση για την εξίσωση.

Σε αυτή την ενότητα, θα εξετάσουμε κάποιες ιδιότητες της λογιστικής εξίσωσης.

Τι συμβαίνει όταν επαναλαμβάνετε τη λογιστική εξίσωση; Τι τύπου συμπεριφορά βλέπετε;

Το να επαναλαμβάνουμε τη λογιστική εξίσωση - και θέλουμε να την επαναλάβουμε αρκετά -

είναι κουραστικό και οχι τόσο ενδιαφέρον με το χέρι,

οπότε θα χρησιμοποιήσουμε ένα υπολογιστικό πρόγραμμα για να το κάνει για μας.

Το πρόγραμμα που θα χρησιμοποιήσουμε βρίσκεται στο διαδίκτυο και υπάρχει ένας σύνδεσμος ακριβώς εδώ, κάτω από μένα.

Αν έχετε κατεβάσει το βίντεο για να το δείτε,

θα πρέπει να πάτε στη σελίδα του complexity explorer

και να πατήσετε σε αυτόν τον σύνδεσμο ώστε να εμφανιστεί το πρόγραμμα.

Οπότε, αν πατήσετε αυτόν τον σύνδεσμο, θα πρέπει να εμφανιστεί ένα νέο παράθυρο.

Μπορεί να χρειαστεί να απενεργοποιήσετε κάποιον pop-up blocker:

αν πατήσετε σε αυτό και δεν συμβεί τίποτα,

προσπαθήστε να απενεργοποιήσετε τον pop-up blocker του προγράμματος περιήγησης.

Θα πρέπει να δείτε ένα παράθυρο που λέει "Logistic Equation Time Series Plots".

Για να δούμε αυτό το πρόγραμμα και πώς να το χρησιμοποιούμε.

Εδώ είναι η σελίδα που θα υπολογίσει της τροχιές και τα διαγράμματα χρονοσειράς της λογιστικής εξίσωσης.

Υπάρχουν τρία πράγματα που πρέπει να εισάγετε:

Πρώτον, πρέπει να επιλέξετε τον αριθμό επαναλήψεων που θέλετε στο γράφημα.

Θα επιλέξω 20.

Έπειτα, πρέπει να επιλέξετε την αρχική συνθήκη.

- θα μείνω στο 0.2, αυτή είναι η προεπιλεγμένη.

Και μετά, πρέπει να επιλέξετε την παράμετρο αύξησης r.

Θα χρησιμοποιήσω 1.5 επειδή αυτό ήταν το παράδειγμα που έκανα στο τέλος της προηγούμενης ενότητας.

Σε αυτή την ενότητα, βρήκαμε ότι, αν η φύτρα είναι 0.2,

η πρώτη επανάληψη είναι 0.24 και, μετά, η δεύτερη επανάληψη είναι 0.2736.

Για να δούμε... θα κατέβω κάτω... Κάτω από το γράφημα είναι οι τροχίες.

- θα το κάνω αυτό λίγο μεγαλύτερο -

Βλέπουμε οτι ξεκινάει στο 0.2, 0.24, 0.2736:

ακριβώς όπως τα υπολογίσαμε και πριν.

Μπορούμε να δούμε ότι οι τροχίες αυξάνονται

και, έπειτα, φτάνουν ένα σταθερό σημείο στο 0.3333...

ή ένα τρίτο,

οπότε υποθέτουμε ότι αυτό είναι ένα ελκυστικό σταθερό σημείο.

Και το διάγραμμα χρονοσειράς μας δείχνει την τροχία να ξεκινά από το 0.2

και να αυξάνεται στο 1/3.

Για να δούμε αν αυτό είναι όντως ένα σταθερό σημείο.

Θα μπορούσαμε να το ελέγξουμε με Άλγεβρα

αλλά μπορούμε να κάνουμε και ένα πείραμα με τον υπολογιστή.

Βάζω 0.333, φτιάχνω το διάγραμμα χρονοσειράς

και μπορούμε να δούμε ότι το σημείο είναι όντως σταθερό:

δεν πάει πάνω ή κάτω.

Μπορείτε να το δείτε αυτό και στον πίνακα των αριθμών.

Για να δοκιμάσουμε μια άλλη τιμή: γιατί να μη δοκιμάσουμε 0.6;

Θυμηθείτε, αυτό θα είναι 60% της απόστασης προς τον πληθυσμό αφανισμού.

Και βλέπουμε ότι ο πληθυσμός μειώνεται

και πλησιάζει το ίδιο σταθερό σημείο στο 0.333.

Αυτό είναι το διάγραμμα χρονοσειράς

κι εδώ είναι οι αρχικοί αριθμοί από τους οποίους δημιουργήθηκε το διάγραμμα.

Για να δοκιμάσουμε λίγα ακόμη πράγματα,

απλά για να πάρουμε μια αίσθηση της λογιστικής εξίσωσης.

Θα δοκιμάσω μια αρχική συνθήκη στο 0.99.

Αυτό σημαίνει οτι είμαστε στο 99% της απόστασης προς τον πληθυσμό αφανισμού.

Οπότε, ίσως οχι περιέργως,

βλέπουμε αρχικά μια πολύ μεγάλη πτώση του πληθυσμού,

επειδή είμαστε πολύ κοντά στην παράμετρο αφανισμού,

είμαστε πολύ κοντά στο να έχουμε τόσα πολλά κουνέλια που δεν έχει μείνει αρκετό φαγητό για κανέναν,

Οπότε ο πληθυσμός πέφτει πολύ δραματικά

και μετά αυξάνεται έως το ίδιο σταθερό σημείο που είδαμε, στο 1/3.

Κι εδώ είναι οι αρχικοί αριθμοί γι' αυτό.

Τέλος, θα δοκιμάσω μια αρχική συνθήκη στο 0.

Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχουν εξαρχής κουνέλια.

Και, φυσικά, παραμένουν 0 κουνέλια.

Έτσι, αν δεν υπάρχουν κουνέλια στο νησί σήμερα,

δε θα υπάρχουν κουνέλια στο νησί του χρόνου ή στην επόμενη γενιά.

Δεν μας κάνει έκπληξη που το 0 είναι σταθερό σημείο αλλά

ίσως είναι καθησυχαστικό να το βλέπουμε σε αυτό το αριθμητικό παράδειγμα.

Μόλις εξετάσαμε τη λογιστική εξίσωση για r=1.5.

Ας συνοψίσουμε τη συμπεριφορά της.

Είδαμε ένα ελκυστικό σταθερό σημείο, ένα ευσταθές σταθερό σημείο, στο 0.33.

Οπότε υπάρχει ένα ελκυστικό σταθερό σημείο στο 0.33.

Και θα το συνοψίσω αυτό με κάτι

που μοιάζει πολύ με τη γραμμή φάσης αλλά δεν είναι ολόιδιο:

είναι κάτι που λέω "διάγραμμα τελικού σταδίου" (final state diagram).

Σε ένα διάγραμμα τελικού σταδίου,

σχεδιάζει κανείς μια τελεία για το τελικό στάδιο ή τα τελικά στάδια.

Οπότε εδώ... - αυτό πηγαίνει από το 0 στο 1 -

υπάρχει μία μόνο τελεία στο 0.33, ή 0.333

... επειδή... υπάρχει...

Γι' αυτή λοιπόν την κατάσταση, το διάγραμμα τελικού σταδίου έχει μόνο μία τελεία

στο 0.3 ή 1/3... 0.33 ή 1/3

επειδή, αν άφηνα το σύστημα να επαναλαμβάνεται για πολύ ώρα

και το παρακολουθούσα, θα το έβλεπα απλά σταθερό σε αυτό το σημείο.

Οκ, ας επιστρέψουμε στο πρόγραμμα και ας εξερευνήσουμε τη λογιστική εξίσωση,

τροχιές της λογιστικής εξίσωσης για μια άλλη τιμή του r.