Το σημείο εκκίνησης μας για τη λογιστική εξίσωση είναι το απλό μοντέλο
που συζητήσαμε στο προηγούμενο βίντεο, το f του Ρ ισούται με rP.
Αυτό έχει την αρκετά μη-ρεαλιστική ιδιότητα ότι
οι πληθυσμοί αυξάνονται χωρίς όρια.
Ο κόσμος θα είχε καταληφθεί εντελώς από κουνέλια στο προηγούμενο παράδειγμα.
Ξέρουμε ότι αυτό δεν ισχύει, επειδή κινούμαστε στον κόσμο χωρίς να πέφτουμε πάνω σε κουνέλια,
οπότε γνωρίζουμε ότι, γενικά, οι πληθυσμοί δεν αυξάνονται για πάντα.
Κι έτσι, θα θέλαμε να το τροποποιήσουμε αυτό με κάποιον απλό τρόπο
ώστε να συμπεριλαμβάνει το γεγονός οτι πρόκειτε να υπάρχει κάποιο όριο
στον αριθμό των κουνελιών ή ό,τι είναι αυτό που μελετούμε.
Θα το κάνουμε αυτό προσθέτοντας έναν όρο σε αυτή την εξίσωση.
Τροποποίησα λοιπόν την εξίσωση προσθέτοντας αυτό τον όρο 1 μείον P προς A.
Η ποσότητα Α είναι γνωστή ως πληθυσμός αφανισμού (annihilation population):
αν τα κουνέλια φτάσουν ποτέ αυτό τον πληθυσμό Α, τον επόμενο χρόνο δεν θα υπάρχουν καθόλου κουνέλια.
Αυτό λοιπόν, πρέπει να είναι κάποιο επίπεδο όπου τα κουνέλια θα έχουν φάει όλο το φαγητό
ή θα παλεύουν μεταξύ τους τόσο έντονα που τον επόμενο χρόνο δε θα υπάρχουν καθόλου κουνέλια.
Το Α είναι ένας πληθυσμός αφανισμού.
Μπορείτε, ακόμη, να το σκεφτείτε σαν έναν πληθυσμό της "συντέλειας".
Είναι... αν ποτέ φτάσουμε αυτόν τον πληθυσμό, τον επόμενο χρόνο δε θα υπάρχουν πια κουνέλια.
Οπότε, επιτρέψτε μου να σας δείξω αυτή την πρόταση αλγεβρικά.
Αν ο πληθυσμός ισούται με Α, όλα τα κουνέλια πεθαίνουν.
Για να δούμε πώς θα δουλεύε αυτό.
Η ερώτηση είναι: "Τι είναι το F του A;"
Θυμηθείτε ότι αυτή η συνάρτηση σας δίνει τον πληθυσμό του επόμενου χρόνου
αν ξέρετε ότι ο πληθυσμός είναι Ρ αυτόν τον χρόνο.
Αν λοιπόν ο πληθυσμός είναι Α, το f(A) θα σας έδινε τον πληθυσμό του επόμενου χρόνου.
Για να τα βάλουμε και να δούμε τι θα συμβεί.
Έχω λοιπόν το r, βάζω το A για το P
Α προς Α είναι 1,
1 μείον 1 είναι 0,
και rA επί 0 είναι 0.
Πράγματι, αν ο πληθυσμός φτάσει το Α, δε θα υπάρχουν κουνέλια τον επόμενο χρόνο.
Το Α είναι λοιπόν ο πληθυσμός αφανισμού ή ο πληθυσμός της συντέλειας.
Υπάρχει μια ακόμη ιδιότητα αυτής της εξίσωσης την οποία θέλω να αναφέρω,
η οποία πιστεύω βγάζει νόημα,
και αυτή είναι ότι, αν ο πληθυσμός είναι μικρός,
τότε θα μοιάζει... τότε είναι πολύ κοντά στο αρχικό μοντέλο που μελετήσαμε.
Για να το γράψω αυτό.
Έτσι, για μικρούς πληθυσμούς, που βρίσκονται πολύ μακριά από τον αφανισμό ή τη συντέλεια,
θα βλέπαμε αυτή τη ραγδαία αύξηση που είδαμε νωρίτερα.
Είναι μόνο όταν το Ρ αρχίζει να γίνεται μεγάλο που τα κουνέλια αρχίζουν να ξεμένουν απο φαγητό
ή να ανταγωνίζονται μεταξύ τους για χώρο ή οτιδήποτε
όπου η αύξηση του πλήθυσμου μπορεί να αρχίσει να επιβραδύνεται.
Πρώτα, πρέπει να αναφέρω τι εννοώ με "μικρό".
Μικρό εννοώ όταν το Ρ είναι πολύ μικρότερο από το Α...
το Ρ είναι πολύ μικρότερο από το Α...
και, αν αυτό ισχύει, το Ρ προς Α είναι σχεδόν 0.
Οπότε, ίσως το Α είναι δέκα χιλιάδες, δέκα χιλιάδες κουνέλια είναι ο αριθμός της συντέλειας,
και το Ρ μπορεί να είναι δέκα ή είκοσι.
10 ή 20 προς 10000 μας δίνει έναν πολύ μικρό αριθμό. Είναι κοντά στο 0.
Όταν αυτό ισχύει...,
το Ρ προς Α είναι κοντά στο 0,
οπότε 1 μείον κάτι κοντά στο 0 μας κάνει κάτι κοντά στο 1,
αυτό θα είναι λίγο μικρότερο του 1.
Αυτός λοιπόν ο όρος στις παρενθέσεις είναι περίπου 1
και άρα αυτή η εξίσωση γίνεται αμέσως rP.
Οπότε, για μικρούς πληθυσμούς, αυτή η λογιστική εξίσωση
- αυτή είναι μια λογιστική εξίσωση -
ο πληθυσμός θα αυξάνεται ραγδαία όπως στο παράδειγμα του προηγούμενου βίντεο.
Αλλά, μόλις ο πληθυσμός μεγαλώσει, αυτός ο όρος αρχίζει να έχει σημασία
και η αύξηση του πληθυσμού θα επιβραδυνθεί.
Και υπάρχει κάποιο απόλυτο ανώτατο όριο και αριθμός αφανισμού ή συντέλειας,
στον οποίον ο πληθυσμός θα καταρρεύσει.
Αυτές λοιπόν οι δύο ιδιότητες, ελπίζω, μοιάζουν λογικές
για ένα απλό μοντέλο του οποίου ο μόνος στόχος είναι
να έχει κάποιον περιορισμό στην αύξηση των κουνελιών.
Αμέσως μετά, θα σχεδιάσω αυτή την εξίσωση,
θα σχεδιάσω αυτή τη συνάρτηση του Ρ και θα την ερμηνεύσουμε γραφικά.
Η λογιστική εξίσωση είναι, σε αυτή τη μορφή, f(P) ίσον rP επί 1 μείον P προς A.
Και αυτή η εξίσωση, επαναλαμβανόμενη, θα μπορούσε να περιγράψει την αύξηση ενός πληθυσμού.
Η γενική ιδέα είναι... εδώ κάτω, θα σχεδιάσω τη συνάρτηση.
Στον οριζόντιο άξονα θα έχω το P_n, τον πληθυσμό αυτόν τον χρόνο.
Και στον κάθετο άξονα, αυτή η συνάρτηση μου λέει ποιός θα είναι ο πληθυσμός τον επόμενο χρόνο.
Οπότε αυτό, ο πληθυσμός τον επόμενο χρόνο, μπορείτε να το πείτε F του P ή P_n+1.
Για να σχεδιάσουμε γρήγορα αυτή τη συνάρτηση.
Και, τελικά, φαίνεται να μοιάζει σαν αυτό: είναι μια ανάποδη παραβολή (parabola).
Είναι, προφανώς, ένα χοντρικό σχέδιο, αλλά για να δούμε τι μας λέει.
Άν ο πληθυσμός είναι μικρός, εδώ κάτω ο πληθυσμός είναι μικρός,
τότε έχουμε αύξηση του πληθυσμού. Αυτές οι μονάδες είναι αυθαίρετες...
Αν είμαι στη 1 μονάδα, εδώ, τότε ο πληθυσμός τον επόμενο χρόνο θα είναι 2.
Σχεδόν λοιπόν διπλασιάζουμε...
Αν είμαι στο 2, τότε ο πληθυσμός τον επόμενο χρόνο μπορεί να είναι, χοντρικά, 4.
Οπότε, εδώ, για μικρό πληθυσμό, έχουμε αρκετά ραγδαία αύξηση.
Εδώ, αν είμαστε στον πληθυσμό αφανισμού ή συντέλειας,
έχουμε έναν πολύ υψηλό πληθυσμό αυτόν τον χρόνο,
η μωβ καμπύλη - η συνάρτηση - περνάει από το 0,
οπότε, αυτό σημαίνει οτι θα υπάρχουν 0 κουνέλια του χρόνου.
Άρα, αφανισμός ή συντέλεια.
Και αν είμαστε κοντά σε αυτή την τιμή, θα υπάρχουν σχεδόν 0 τον επόμενο χρόνο
Αν βρίσκομαι εδώ, είμαι πολύ κοντά στη μέγιστη τιμή - την τιμή της συντέλειας -
τότε, ποιός είναι ο πληθυσμός μου του χρόνου;
Θα πάω εδώ πάνω. Το ύψος του γραφήματος μου λέει οτι θα είναι αρκετά χαμηλό.
Έτσι, καθώς πλησιάζω την τιμή αφανισμού, ο πληθυσμός μου θα γίνεται μικρότερος.
Σε κάθε περίπτωση, η λογιστική εξίσωση,
αυτή είναι, μοιάζει κάπως έτσι - θα δούμε ξανά γραφήματα της -
είναι ένα απλό μοντέλο σχεδιασμένο να καταγράφει την αύξηση του πληθυσμού
όπου υπάρχει κάποιος περιοριστικός παράγοντας στον πληθυσμό:
δεν μπορεί να αυξάνεται για πάντα, υπάρχει μια μέγιστη τιμή την οποία,
αν ποτέ τη φτάσει, τότε χάνεις ξαφνικά όλον τον πληθυσμό.
Θα ολοκληρώσω την παραγώγηση της λογιστικής εξίσωσης με το να απλοποιήσω την εξίσωση αυτή λιγάκι
και να τη θέσω σε μια λίγο διαφορετική και περισσότερο τυπική - και νομίζω πιο γενική - μορφή.
Να η λογιστική εξίσωση: rP επί 1 μείον P προς A.
A είναι ο πληθυσμός αφανισμού και r είναι μια παράμετρος αύξησης.
Και αυτό μου δίνει τον πληθυσμό τον επόμενου χρόνο αν γνωρίζω τον πληθυσμό αυτόν τον χρόνο.
Για να το γράψω αυτό με λίγο διαφορετικό τρόπο:
P_n+1, ο πληθυσμός τον επόμενο χρόνο,
είναι r επί P_n επί 1 μείον P_n προς A.
Για να απλοποιήσω λίγο τα πράγματα,
- για να φτιάξω αυτό το Ρ καλύτερα -
- συγνώμη που είναι λίγο χάλια -
Για να απλοποιήσω λοιπόν λίγο τα πράγματα,
θα διαιρέσω και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το Α.
Θα διαιρέσω αυτό με Α
και θα διαιρέσω αυτό με Α.
Μαθηματικά μιλώντας, αυτή είναι μια νόμιμη κίνηση:
μου επιτρέπεται να διαιρέσω και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με Α
αρκεί το Α να μην είναι 0, που δεν θα είναι.
Αυτό θα διατηρήσει την ισορροπία
Και έπειτα, παρατηρήστε οτι έχω ένα Ρ προς Α,
ένα Ρ προς Α
κι ένα Ρ προς Α
κι αυτό θα μου επιτρέψει να απλοποιήσω λίγο τα πράγματα.
Οπότε, θα καθορίσω μια νέα μεταβλητή x ως εξής:
Θα καθορίσω λοιπόν αυτή τη νέα μεταβλητή x ως Ρ πρός Α.
Είναι ο πληθυσμός, αλλά εκφραζόμενος ως κλάσμα του πληθυσμού αφανισμού.
Έτσι, αν το x ισούται με 0.5, αυτό σημαίνει ότι είμαστε στη μισή απόσταση της τιμής αφανισμού ή συντέλειας,
έχουμε κάνει τη μισή απόσταση προς τον μέγιστο πιθανό αριθμό.
Αν το x είναι 0.8, τότε έχουμε διανύσει το 80% της απόστασης,
αν το x είναι 0.1 είμαστε απλά στο 10% του Α.
Το x έτσι, είναι ένα νούμερο που βρίσκεται πάντα ανάμεσα στο 0 και το 1.
Μπορώ να χρησιμοποιήσω αυτό το x για να γράψω την εξίσωση με έναν πιο απλό τρόπο:
Ρ προς Α είναι το x,
Ρ προς Α είναι x,
Ρ προς Α είναι x.
Αυτό λοιπόν μου λέει οτι ο πληθυσμός τον επόμενο χρόνο ισούται με rx επί 1 μείον x,
όπου x είναι ο πληθυσμός εκφρασμένος ώς κλάσμα αυτής της μέγιστης πιθανής τιμής.
Για να το γράψω αυτό και σαν συνάρτηση:
συνάρτηση με την οποία θα δουλέψουμε,
την εποία θα επαναλαμβάνουμε αρκετά στις επόμενες υποενότητες,
είναι απλά αυτη:
το F του x είναι rx επι 1 μείον x.
Αυτή είναι η λογιστική εξίσωση στην καθιερωμένη μορφή με την οποία θα δουλεύουμε.
Είναι τόσο σημαντική που θα την βάλω σε ένα κόκκινο περίγραμμα.
Απλά για λόγους πληρότητας, το r είναι η παράμετρος του ρυθμού αύξησης,
οπότε το r είναι κάτι το οποίο θα μεταβάλλεται, θα αλλάζει
και θα δούμε πώς η συμπεριφορά της εξίσωσης αυτής αλλάζει.
Και, τέλος, μπορώ να επεκτείνω ή να κάνω τους πολλαπλασιασμούς
της δεξιάς πλευράς της εξίσωσης...
και θα έπαιρνα το εξής:
rx μείον rx στο τετράγωνο.
Η λογιστική εξίσωση είναι λοιπόν ένα δευτέρου βαθμού πολυώνυμο,
μια παραβολή: είναι μια πολύ απλή συνάρτηση.
Μελετήσατε σίγουρα παραβολές στο γυμνάσιο, δεν είναι κάποια εξωτική ή περίπλοκη συνάρτηση.
Στις αρκετές επόμενες υποενότητες, θα αρχίσουμε να επαναλαμβάνουμε αυτή τη συνάρτηση
και θα δούμε ποιές είναι οι ιδιότητες της.
Θα ολοκληρώσω αυτή τη διάλεξη με ένα γρήγορο παράδειγμα, πρίν δοκιμάσετε ένα μόνοι σας.
Για να κάνω ένα απλό παράδειγμα, απλά για να φρεσκάρουμε την ιδέα της επανάληψης μιας συνάρτησης
Θα επαναλάβω τη λογιστική εξίσωση και έστω ότι το r ίσον 1.5.
Η συνάρτηση με την οποία θα δουλέψω είναι: f(x) είναι 1.5x επι 1 μείον x.
Πρέπει να διαλέξω μια φύτρα, οπότε, ας δώ τι συμβαίνει αν το x_0 ισούται με 0.2.
Παίρνουμε λοιπόν την πρώτη επανάληψη
με το να εφαρμόσουμε τη συνάρτηση στη φύτρα.
Έτσι αυτό είναι 1.5 επι 0.2 επι 1 μείον 0.2.
Θα το κάνω σε έναν υπολογιστή τσέπης, για να δούμε...
Παίρνω 0.24.
Οκ, οπότε μετά, η επόμενη επανάληψη είναι το F εφαρμοσμένο στο 0.24,
το οποίο είναι 1.5 επι 0.24 επι 1 μείον 0.24.
Για να το υπολογίσουμε...
Παίρνω 0.2736.
Μπορούμε να συνεχίσουμε να το κάνουμε αυτό,
θα παίρνουμε την επόμενη επανάληψη, την επόμενη τιμή στην τροχία,
εφαρμόζοντας αυτή τη συνάρτηση.
Οπότε μπορούμε να εφαρμόζουμε τη συνάρτηση ξανά και ξανά σε μια φύτρα
και, μετά, μπορούμε να ρωτήσουμε ποία είναι η μακροπρόθεσμη συμπεριφορά του.
Θα το κάνουμε αυτό στην επόμενη υποενότητα.
Πρίν από αυτό, σας προτείνω να κάνετε το quiz που ακολουθεί αυτό το βίντεο
ώστε να βεβαιωθείτε ότι καταλαβαίνετε πώς γίνεται.