لنبدأ بالمعادلة اللوجيستية التي هي النموذج البسيط الذي ناقشته في الفيديو الأخير، f لـ P تساوي rP .

وهذه صورة غير واقعية إلى حدٍ ما حيث أن عدد السكان ينمو بدون قيد.

العالم سيكون مستحوذ عليه بشكلٍ كامل من قِبل الأرانب في المثال السابق.

نعرف أنّ هذه ليست المسألة، لأننا يمكن أن نتجول في العالم بدون الاصطدام بالأرانب، لذلك نعرف عموماً أنّ الكثافة السكانية لا تنمو للأبد.

إذاً نود أن نعدّل هذا بطريقة بسيطة، للأخذ بعين الاعتبار حقيقة أنّه سيوجد حد لعدد الأرانب،

أو أيّاً كان ما ندرسه.

سنقوم بهذا من خلال إضافة حد لهذه المعادلة.

عدّلت هذه المعادلة من خلال إضافة الحد 1-P تقسيم A.

المقدار A معروف بإبادة السكان: إذا وصلت الأرانب في أي وقت لهذه الكثافة السكانية A، فلن يكون هناك في السنة القادمة أي أرانب.

إذاً هذا يعني أن الأرانب سيصلون لمستوى معين وقد أكلوا كل طعامهم، أو أنهم سيقاتلون بعضهم على نحوٍ خطيرٍ بحيث لا يكون هناك أرانب في السنة القادمة.

A هي إبادة السكان. يمكنك أيضأ أن تفكر بها ككثافة "نهاية العالم".

متى ما وصلنا إلى هذه الكثافة السكانية، فإن السنة التالية لن تحوي أي أرانب.

إذاً دعوني أريكم هذا التعبير جبرياً.

إذا كانت الكثافة السكانية تساوي A، فإن كل الأرانب ستموت. 
دعونا نرى كيف يكون ذلك

السؤال هو، "ماهي F لـ A؟"

تذكر أنّ هذه الدالة تخبرك الكثافة السكانية السنة القادمة، إذا عرفت أنّ الكثافة السكانية في السنة الحالية هي P

إذاً إن كانت الكثافة السكانية A،
f لـ A ستعطيكم الكثافة السكانية السنة القادمة.

دعونا نعوض ونرى ماذا يحدث.

إذاً لدي r، سأعوض A بدلاً من P

A تقسيم A هو 1،

1 ناقص 1 هو صفر،

و rA ضرب 0 يساوي 0.

إذن بالفعل، اذا وصلت الكثافة السكانية لـ A، لن يكون هناك أرانب في السنة القادمة.

إذاً A هي الإبادة السكانية، أو كثافة نهاية العالم.

هناك خاصية أخرى لهذه المعادلة التي أريد أن أذكرها، والتي أظنها منطقية:

وهي أنّه إذا كانت الكثافة السكانية صغيرة، إنّها قريبة جداً من النموذج الذي درسناه.

دعوني أكتب هذا.

للكثافات السكانية الصغيرة، اللواتي بعيدين جداً عن نهاية العالم أو الإبادة، يجب أن نرى النمو السريع الذي رأيناه سابقاً.

إنّه فقط عندما P تصبح كبيرة بحيث الأرانب تبدأ تنفذ من الغذاء، أو أنّهم يتنافسون مع بعضهم للمكان أو شيئاً آخر،

عندها ربما يبدأ نمو الكثافة السكانية بالبطئ.

أولاً يجب أن أقول ماذا أعني بصغيرة. أعني بصغيرة أنّ P أقل بكثير من A...

وإن كانت هذه المسألة، P تقسيم A إنّه تقريباً صفر.

لذلك ربما A هي عشرة آلاف، عشرة آلاف أرنب هو عدد نهاية العالم، و P ربما تكون عشرة أو عشرون.

عشرة أو عشرون تقسيم عشرة آلاف يساوي عدد صغير جداً. إنّه قريب للصفر.

عندما تكون هذه هي المسألة، P تقسيم A قريبة للصفر. واحد ناقص شيئاً ما قريب للصفر إنّه قريب للواحد، هذا فقط سيكون أقل بقليل من واحد.

إذاً هذا الحد بين القوسين هنا إنّه قريب من الواحد. 
هذه المعادلة لقد أصبحت للتو rP.

للكثافات السكانية الصغيرة، المعادلة اللوجيستية--هذه معادلة لوجيستية

الكثافة السكانية ستنمو بسرعة كمثال الأرنب من الفيديو السابق.

لكن عندئذٍ، حالما تصبح الكثافة السكانية كبيرة، هذا المصطلح يبدأ يأخذ أهمية ونمو الكثافة السكانية سيبطئ

وهناك حد علوي ثابت إلى حدٍّ ما وعدد الإبادة أو نهاية العالم والذي ستتحطم عنده الكثافة السكانية بشكلٍ كامل.

إذاً هاتين الخاصيتين، آمل، أنّ هذا يبدو معقول لنموذج بسيط هدفه الوحيد أن يكون هناك حدٌ ما لتطور الأرانب.

بعد ذلك، سأرسم هذه المعادلة بيانياً، سأرسم هذه الدالة لـ P وسنفسّرها بيانياً.

المعادلة اللوجيستية بهذا الشكل:
f لـ P هي rP ضرب 1 ناقص P تقسيم A.

وهذه المعادلة عندما تكرر، ستصف تطور الكثافة السكانية.

الفكرة هنا بالأسفل، سأرسم هذه الدالة بيانياً. على المحور الأفقي، سيكون لدي Pn، الكثافة السكانية هذه السنة.

وعلى المحور العمودي، هذه الدالة تخبرني ماذا ستكون الكثافة السكانية السنة القادمة.

إذاً هذه-- الكثافة السكانية للسنة القادمة--تستطيع أن تدعوها F لـ P، أو P_n+1

إذاً دعونا نصنع رسم سريع لهذه الدالة، وتبيّن أنّه يبدو كهذا:
قطع مكافئ مقلوب.

بالتأكيد، إنّه فقط رسم تقريبي، لكن دعونا نرى ماذا يخبرنا.

إن كانت الكثافة السكانية صغيرة، إذاً لدينا زيادة في الكثافة السكانية. 
هذه الوحدات عشوائية...

أن كنت عند وحدة واحدة هنا، عندئذٍ الكثافة السكانية السنة القادمة ستكون اثنتان.

نحن على وشك المضاعفة... إن كنت عند اثنان، عندئذٍ الكثافة السكانية السنة القادمة ربما تكون أربعة تقريباً.

إذاً هنا، للكثافة السكانية الصغيرة، لدينا زيادة نمو سريع جداً.

هنا، إن كنا عند كثافة اللإبادة أو نهاية العالم، لدينا كثافة سكانية كبيرة جداً هذا العام،

المنحني البنفسجي (الدالة) يمر من الصفر، إذاً هذا يعني أنّه سيكون هناك صفر أرنب العام القادم،

إذن، إبادة أو نهاية العالم.

وأن كنا قريبين لهذه القيمة، ستكون قريبة للصفر المرة القادمة.

إن كنت هنا، أنا قريب جداً للقيمة القصوى--قيمة نهاية العالم--عندئذً ماهي كثافتي السكانية العام القادم؟

سأذهب هنا للأعلى: ارتفاع هذا الرسم البياني يخبرني أنّه سيكون صغير جداّ.

إذاً، عندما نقترب من قيمة نهاية العالم، الكثافة السكانية ستصغر.

على أي حال، المعادلة اللوجيستية: ها هي هنا، تبدو كهذه: سنرى رسوم بيانية من هذه مجدداً.

إنّه نموذج بسيط مُصَمَّم ليلتقط تطور الكثافة السكانية حيث يوجد عوامل مقيدة نوعاً ما للكثافة السكانية.

لا تستطيع أن تنمو للأبد، يوجد هناك قيمة قصوى إلى حدٍّ ما بحيث إن وصلت في أي وقت--

ستخسر فجأةً كل الكثافة السكانية.

سأكمل مشتق المعادلة اللوجيستية من خلال تبسيط هذه المعادلة قليلاً،

وسأضعها في شكل مختلف قليلاً وأكثر قياسية وأعتقد أنّه أكثر عمومية

ها هي المعادلة اللوجيستية rP ضرب 1 ناقص P تقسيم A،
A هو كثافة نهاية العالم، و r هي وسيط النمو،

وهذا يخبرني الكثافة السكانية العام القادم، إن كنت أعرف الكثافة السكانية هذا العام.

دعوني أكتب هذا بطريقة مختلفة قليلاً:
P_n+1، الكثافة السكانية العام القادم،

هي r ضرب Pn ضرب 1 ناقص Pn تقسيم A.

لتبسيط الأمور قليلاً، سأقسم جهتي المعادلة على A.

سأقسم هذه على A،

وسأقسم هذا على A.

رياضياً، هذه حركة مسموح بها: مسموحٌ لي أن أقسم كِلا جهتي المعادلة على A،

طالما A ليست صفر، والتي لن تكون.

هذا سيحافظ على المساواة.

ومن ثمّ، لاحظ أنّي لقد حصلت على P تقسيم A، 
P تقسيم A، و P تقسيم A وهذا سيدعني أبسط الأمور قليلاً.

إذاً سأقوم بتعريف متغير جديد x، كالتالي

سأعرّف هذا المتغير الجديد x كـ P مقسمة على A. إنّها الكثافة السكانية، لكن مُعبَّر عنها كنسبة من كثافة نهاية العالم.

إذاً، إن كانت x تساوي 0.5، هذا يعني أننا في منتصف الطريق لقيمة الإبادة أو نهاية العالم

نحن في منصف الطريق للعدد الأقصى المحتمل.

إن كانت x هي 0.8، عندئذٍ نحن على مسافة 80% من الطريق:
إن كانت x هي 0.1، عندئذٍ نحن على مسافة 10% من A.

x، عندئذٍ، هي عدد يوجد دائماً بين صفر وواحد.

أستطيع أن أستخدم هذه الـ x لكتابة هذه المعادلة بشكل أبسط.

P تقسيم A هي x،

P تقسيم A هي x،
P تقسيم A هي x،

إذاً هذا يخبرني أنّ الكثافة السكانية للعام القادم مساوية لـ rx ضرب واحد ناقص x،

حيث x هي الكثافة السكانية معبَّر عنها كنسبة لهذه القيمة القصوى المحتملة.

دعوني أكتب هذه كدالة أيضاً.

الدالة التي سنعمل معها والتي سنكررها كثيراً في الوحدات الفرعية القادمة،

إنّها فقط هذه: F لـ x هي rx ضرب واحد ناقص x.

هذه هي المعادلة اللوجيستية في الشكل القياسي الذي سنعمل به. إنّه هام بما فيه الكفاية لأضع حوله صندوق أحمر.

فقط للتكملة، r هي وسيط مقدار التطور ، إذاً r هي شيء ما سيتغير،

وسنرى كيف سيتغير السلوك لهذه المعادلة.

أخيراً، أستطيع أن أنشر الجهة اليمنى لهذا، وسأحصل على هذا:

rx ناقص rx مربع. إذاً المعادلة اللوجيستية هي فقط حدودية من الدرجة الثانية، إنّها قطع مكافئ: إنّها دالة بسيطة جداً.

لقد درستم القطوع المكافئة في الثانوية بالتأكيد، إنّها ليست دالة غريبة أو معقدة إطلاقاً.

في الوحدات الفرعية التالية، سنبدأ بتكرار هذه الدالة، وسنرى ماهي خصائص هذه الدالة.

سأنهي هذه المحاضرة بمثال سريع، قبل أن تجربوا واحداً بأنفسكم.

دعوني أعرض مثالاً سريعاً، فقط أقوم بمراجعة لفكرة تكرار الدالة.

سأكرر المعادلة اللوجيستية، وسأدع r تساوي 1.5. 
الدالة التي سأعمل بها هي f لـ x هي 1.5 ضرب واحد ناقص x.

أحتاج أن أختار قيمة بدائية، إذاً سأرى ماذا يحدث إن كانت x تساوي 0.2.

إذاً التكرار الأول نحصل عليه بواسطة تطبيق الدالة على القيمة الابتدائية، إذاً هذا 1.5 ضرب 0.2 ضرب 1 ناقص 0.2.

إذاً سأقوم بهذا على الآلة الحاسبة، دعونا نرى هنا...

أحصل على 0.24. حسناً، إذاً ثم، التكرار التالي هو f مطبقة على 0.24، والتي هي 1.5، ضرب 0.24 ضرب 1 ناقص 0.24.

دعونا نفعل هذا على الآلة الحاسبة..

أحصل على 0.2736. نستطيع مواصلة فعل هذا، ونحصل على التكرار التالي من خلال تطبيق الدالة مراراً وتكراراً على القيمة الابتدائية

ومن ثمّ نستطيع أن نسأل ماهو سلوكه طويل المدى.

سنفعل هذا بالوحدة الفرعية التالية.

قبل أن نفعل هذا، أقترح أن تقوموا بالاختبار القصير الذي يتبع المحاضرة فقط لتتأكدوا أنكم ترون كيف يحدث هذا.