Hoi en welkom bij unit 3 van deze cursus
Deze unit gaat over chaos en het vlindereffect.
Wanneer ik lesgeef in deze onderwerpen op de universiteit van Atlantic,
houd ik deze unit graag een beetje als een verrassing
zodat studenten niet weten dat we het vlindereffect gaan behandelen
Hier kan dat niet, want ik moest de units van te voren een naam geven
en de naam is zichtbaar voor jullie
Dus dit is geen verrassing, maar het is nog steeds gaaf.
Er zitten allemaal interessante dingen en grote ideeën in deze unit.
Ik begin de cursus met het introduceren van twee typen dynamische systemen
Onthoud dat een dynamisch systeem niet meer is dan een regel over hoe iets verandert in de tijd,
de twee typen dynamische systemen,
iteratieve functies en differentiaal vergelijkingen.
Het voornaamste voorbeeld wat ik zal gebruiken om het vlindereffect the illustreren in deze unit
is een iteratieve functie genaamd de logistieke vergelijking.
Ik begin deze unit
met het geven van de logistieke vergelijking
en het introduceren op een paar verschillende manieren.
Vervolgens krijgen we te maken met chaos en het vlindereffect,
waarop ik in de positie ben om deze termen voorzichtig te definiëren
Daarna is er een optioneel college over Lyapunov exponenten
waarna we eindigen met het nadenken over de implicaties van het vlindereffect
en wat dieper ingaan op het idee van willekeurigheid.
Laten we beginnen met het geven van de logistieke vergelijking
De logistieke vergelijking is een simpel model van populatiegroei
Het is een iteratieve functie,
en het vertelt ons hoe de populatie kan veranderen van jaar op jaar
Dus het beeld is dat de populatie volgend jaar
een functie is van de populatie dit jaar.
We kunnen deze functie opschrijven als f(P)
Dus P is dan de populatie
en f(P) vertelt ons wat de populatie volgend jaar zal zijn
met een bepaalde huidige populatie.
Dit is een iteratieve functie, dus tijd is discreet:
we monitoren de populatie niet op ieder punt, of wanneer het groeit of krimpt,
maar in plaats daarvan meten we het maar één keer per jaar
of één keer per generatie.
Voordat ik de logistieke vergelijking geef, wil ik eerst nog een makkelijker model laten zien
dat model leidt tot exponentiële populatiegroei
Laten we een situatie nemen waarin de populatie ieder jaar verdubbelt.
De populatie verdubbelt elk jaar en f(P) is 2P.
De populatie volgend jaar is twee keer de populatie van dit jaar.
Ik kan dat op een andere manier schrijven om het misschien nog duidelijker te maken
P{n+1}, dat is de populatie van volgend jaar, dus twee keer de huidige populatie.
Dit is dus een verdubbelingsfunctie,
een van de eerste voorbeelden van een iteratieve functie uit unit 1.
Een korte herhaling hoe dit gaat en om het iets concreter te maken
laten we zeggen dat we het hebben over een populatie konijnen op een eiland.
Dus op een eiland, misschien
laat iemand per ongeluk konijnen achter
of sommige konijnen ontsnappen, hebben we twee konijnen.
Als we een jaar later terugkomen op het eiland,
zouden we vier konijnen hebben.
Het jaar daarop verdubbeld het aantal konijnen weer, en hebben we acht konijnen.
Zoals je kunt zien nemen de konijnen het eiland over,
of in dit geval de pagina.
De konijnen groeien en groeien en groeien dus
ze verdubbelen op ieder moment.
Dus laten we dat eens met cijfers doen.
Vergeet de konijnen.
Als we een beginpopulatie hebben, een kiem,
dan zou dat zijn.. wij kozen voor 2
en dan is onze volgende waarde een verdubbeling van 2 en dat is 4
en de volgende waarde een verdubbeling van 4, dus 8
Ik kan zo doorgaan..
en ook de konijnen...
Dus als we blijven verdubbelen dan groeien de konijnen zonder grenzen
we zeggen dat P(n) groeit tot oneindigheid
Uiteindelijk zal de wereld alleen nog maar uit konijnen bestaan
We kunnen dit simpele model als volgt generaliseren:
in het vorige model hadden we een populatie die ieder jaar verdubbelde,
het kan wat generieker door te zeggen dat f(P) gelijk staat aan r*P
Dus in de plaats van de populatie iedere keer te verdubbelen
vermenigvuldig je het met een nummer r
Dus het beeld is dat de populatie volgend jaar
een functie is van de huidige populatie.
of P(n+1), de populatie volgend jaar, is alleen r keer de huidige populatie
Dus r is de groeisnelheid
Er zijn drie gevallen waar we geïnteresseerd in zijn,
drie verschillende gedragingen, afhankelijk van de waarde van r.
Als 1 groter is dan 1, zoals in het vorige geval
dan groeit de populatie continue en zal richting oneindigheid gaan.
Dus een r groter dan 1,
betekent ieder jaar een toename van de populatie,
populatie van dit jaar is groter dan die van vorig jaar
en volgend jaar zal nog groter zijn.
In dit geval zal de populatie richting oneindigheid gaan
en zal groeien zonder grenzen.
Op het moment dat r gelijk is aan 1, dan blijft de populatie hetzelfde.
Dus als r 1 is, dan vermenigvuldigen we de populatie met 1,
en dat verandert de populatie niet.
Dus voor deze waarde van r, blijft de populatie gelijk.
Het verandert niet.
En als r kleiner is dan 1 maar groter dan 0,
dan nadert de populatie 0.
Dus als r 0.5 is,
dan betekent dit dat er volgend jaar de helft minder konijnen zijn dan dit jaar.
Het jaar daarna weer de helft, enzovoort.
de populatie wordt dus kleiner en kleiner en nadert nul.
Dat is slecht nieuws voor de konijnen:
de konijnen zullen uitsterven op het eiland.
En in dit model, aangezien we het toch hebben over populaties,
blijven r en P altijd positief.
Dus we maken ons niet druk over een negatieve P of r.
Dit is dus een heel simpel model voor populatiegroei,
wat niet erg realistisch is, maar het is een beginpunt
en onthoud dat het drie verschillende manieren van verandering heeft,
afhankelijk van de drie verschillende r waardes
En in deze context moet ik nog even noemen
dat de hoeveelheid r soms een parameter wordt genoemd.
Ik schrijf dat hier even op.
Een parameter in een model is dus iets wat je kunt veranderen.
Je kunt het veranderen om verschillende manier van verandering een model te onderzoeken, zoals wij net deden.
We zien dat het verschillende dingen doet voor verschillende waardes van r.
Of als je een echte situatie wilt modelleren,
dan kun je de parameter r aanpassen totdat je de beste overeenkomst met je data krijgt.
Hoe dan ook, r is een parameter voor dit simpele model.