Hola y bienvenidos a la unidad III del curso. Esta unidad es sobre el caos y sobre el efecto mariposa Cuando enseño estos temas en el Colegio del Atlántico, me gusta sorprender a los alumnos, ya que no saben que el efecto mariposa está por golpearlos. No puedo hacer esto aquí porque el título ya está impreso en la pantalla, como se puede ver. Entonces no será una sorpresa pero espero que sea impresionante. Hay un montón de cosas y grandes ideas en esta unidad. Comenzamos el curso hablando de dos tipos de sistemas dinámicos. Recordemos que los sistemas dinámicos son una especie de regla para algo que cambia con el tiempo. Los dos tipos de sistemas dinámicos son las funciones iteradas y las ecuaciones diferenciales. El principal ejemplo con que ilustraremos el efecto mariposa en esta unidad es una función iterada que se denomina la "Ecuación Logística" Entonces comenzamos esta unidad presentando la ecuación logística de diferentes modos. Allí encontraremos caos y el efecto mariposa y entonces estaremos en una posición tal que nos permita definir esos términos de manera precisa. Habrá también una lectura opcional sobre el exponente de Lyapunov y luego terminaremos pensando en las consecuencias del efecto mariposa y profundizaremos en la idea misma de azar. Empecemos entonces esta unidad presentando a la ecuación logística La ecuación logística es un modelo simple de crecimiento poblacional. Es una función iterada que nos dice cuánto cambia una población de año en año. Miremos la figura, la población del próximo año es una función de lo que sucede con la población en este año. Y podemos escribirlo como f(P), donde P es la población y f(P) nos dice como podemos obtener la población del año próximo dada la población de este año. Otra vez esta es una función iterada por lo tanto el tiempo es discreto, no vamos a estar monitoreando a la población a cada instante sino que a vamos a medirla una vez por año o una vez cada x cantidad de tiempo. Antes de presentar a la ecuación logística quiero mostrar un modelo más simple que nos muestra el crecimiento exponencial de una población. Supongamos que tenemos una población que se duplica cada año La población se duplica cada año y entonces f(P) es igual a 2 P. La población del año que viene es el doble de la de este año. Puedo escribir esto mismo con otra notación que tal vez clarifique un poco P de n más uno (la población del próximo año) es justo el doble de la población de este año. Esta es simplemente una función que duplica Uno de los primeros ejemplos de funciones iteradas que vimos en la unidad I Sólo les recuerdo como funciona. Supongamos que hablamos de una población de conejos en una isla En esa isla, tal vez, inicialmente alguien dejó esos conejos por error o bien esos conejos se escaparon, supongamos que tenemos dos conejos Volvemos al cabo de un año a esa misma isla y encontramos que hay 4 conejos El año siguiente esos conejos se vuelven a duplicar y encontramos 8 conejos y ustedes pueden ver que los conejos están llenando toda la isla llenando toda la página, en este caso Los conejos crecen y crecen y crecen se duplican en cada vuelta. Volvamos a los números Si elegimos una población inicial, una semilla por ejemplo Po igual a 2 y nuestro próximo valor se duplica y obtenemos 4 y nuestro próximo valor es el doble de 4 y eso da 8 y seguimos y los conejos Entonces mantenemos la duplicación y los conejos crecen sin límite y podemos decir que P tiende al infinito. eventualmente el mundo no será otra cosa más que conejos Podemos generalizar el modelo simple del crecimiento poblacional como sigue: En el modelo anterior teníamos que la población se duplicaba cada año Puedo generalizar un poco y decir que f(p) es igual a rP Esto es la población de conejos se multiplica por dos cada vez También podría multiplicar por cualquier otro número r Por lo tanto la población del año próximo es esta función de la de este año o P de n más 1 (la población del año próximo) es simplemente r multiplicado por Pn (la población de este año) Otra vez, r es la tasa de crecimiento Hay tres casos en los que estamos interesados Tres conductas diferentes que dependen del valor de r. Si r es mayor que 1, como era el caso anterior la población crece y tiende al infinito. r mayor que 1 significa que cada año la población se incrementa Este año la población es más grande que la del año pasado el próximo año será aún mayor Por lo tanto en este caso la población tiende al infinito, crece sin límites Por el otro lado, si r es igual a 1, la población se mantiene siempre igual Si r es igual a 1, multiplicamos la población por 1 y eso hace que la población no cambie Por lo tanto para este valor de r, cualquier población permanecerá fija no cambiará Ahora si r es menor que 1, pero mayor que 0, entonces la población tiende a 0 Por lo tanto si r es la mitad, es decir la población de conejos del año que viene será la mitad de la de éste, el próximo año habrá la mitad la población se hace cada vez más pequeña y se aproxima a 0 Malas noticias para los conejos, los conejos se van a morir en esa isla... En este modelo como estamos pensando en poblaciones mantendremos r y P siempre como valores positivos. No nos preocuparemos por valores negativos de P o de r Este es un modelo de crecimiento poblacional muy simple no es muy realista, pero es un punto de partida donde encontramos tres conductas diferentes dependiendo de tres valores diferentes de r En este contexto debo decir que r es denominada a veces como parámetro Lo escribiré por aquí Por lo tanto un parámetro en un modelo es algo que se puede cambiar, que se puede modificar para explorar diferentes conductas en el modelo como hicimos aquí, vimos como muestran diferentes cosas para diferentes valores de r O si se prueba el modelos con situaciones verdaderas, se debe ajustar el parámetro r en función de lo que dicen nuestros datos empíricos En cualquier caso r es un parámetro de este modelo simple