Hola y bienvenidos a la unidad III del curso. Esta unidad es sobre el caos y sobre el efecto mariposa
Cuando enseño estos temas en el Colegio del Atlántico, me gusta sorprender a los alumnos,
ya que no saben que el efecto mariposa está por golpearlos. No puedo hacer esto aquí porque
el título ya está impreso en la pantalla, como se puede ver. Entonces no será una sorpresa pero espero que sea impresionante.
Hay un montón de cosas y grandes ideas en esta unidad.
Comenzamos el curso hablando de dos tipos de sistemas dinámicos. Recordemos que los
sistemas dinámicos son una especie de regla para algo que cambia con el tiempo. Los dos
tipos de sistemas dinámicos son las funciones iteradas y las ecuaciones diferenciales.
El principal ejemplo con que ilustraremos el efecto mariposa en esta unidad
es una función iterada que se denomina la "Ecuación Logística"
Entonces comenzamos esta unidad presentando la ecuación logística de diferentes modos.
Allí encontraremos caos y el efecto mariposa y entonces estaremos en una posición tal que
nos permita definir esos términos de manera precisa.
Habrá también una lectura opcional sobre el exponente de Lyapunov y luego terminaremos pensando
en las consecuencias del efecto mariposa y profundizaremos en la idea misma de azar.
Empecemos entonces esta unidad presentando a la ecuación logística
La ecuación logística es un modelo simple de crecimiento poblacional.
Es una función iterada que nos dice cuánto cambia una población de año en año.
Miremos la figura, la población del próximo año es una función de lo que sucede con la población en este año.
Y podemos escribirlo como f(P), donde P es la población y f(P) nos dice como podemos obtener la
población del año próximo dada la población de este año. Otra vez esta es una función iterada
por lo tanto el tiempo es discreto, no vamos a estar monitoreando a la población a cada instante
sino que a vamos a medirla una vez por año o una vez cada x cantidad de tiempo.
Antes de presentar a la ecuación logística quiero mostrar un modelo más simple
que nos muestra el crecimiento exponencial de una población.
Supongamos que tenemos una población que se duplica cada año
La población se duplica cada año y entonces f(P) es igual a 2 P.
La población del año que viene es el doble de la de este año.
Puedo escribir esto mismo con otra notación que tal vez clarifique un poco
P de n más uno (la población del próximo año)
es justo el doble de la población de este año.
Esta es simplemente una función que duplica
Uno de los primeros ejemplos de funciones iteradas que vimos en la unidad I
Sólo les recuerdo como funciona. Supongamos que hablamos
de una población de conejos en una isla
En esa isla, tal vez, inicialmente alguien dejó esos conejos por error
o bien esos conejos se escaparon, supongamos que tenemos dos conejos
Volvemos al cabo de un año a esa misma isla
y encontramos que hay 4 conejos
El año siguiente esos conejos se vuelven a duplicar y encontramos 8 conejos
y ustedes pueden ver que los conejos están llenando toda la isla
llenando toda la página, en este caso
Los conejos crecen y crecen y crecen
se duplican en cada vuelta. Volvamos a los números
Si elegimos una población inicial, una semilla
por ejemplo Po igual a 2 y nuestro próximo valor se duplica
y obtenemos 4 y nuestro próximo valor
es el doble de 4 y eso da 8 y seguimos
y los conejos
Entonces mantenemos la duplicación y los conejos
crecen sin límite y podemos decir que P tiende al infinito.
eventualmente el mundo no será otra cosa más que conejos
Podemos generalizar el modelo simple del crecimiento poblacional como sigue:
En el modelo anterior teníamos que la población se duplicaba cada año
Puedo generalizar un poco y decir que f(p) es igual a rP
Esto es la población de conejos se multiplica por dos cada vez
También podría multiplicar por cualquier otro número r
Por lo tanto la población del año próximo es esta función de la de este año
o P de n más 1 (la población del año próximo)
es simplemente r multiplicado por Pn (la población de este año)
Otra vez, r es la tasa de crecimiento
Hay tres casos en los que estamos interesados
Tres conductas diferentes que dependen del valor de r.
Si r es mayor que 1, como era el caso anterior
la población crece y tiende al infinito.
r mayor que 1 significa que cada año la población se incrementa
Este año la población es más grande que la del año pasado
el próximo año será aún mayor
Por lo tanto en este caso la población tiende al infinito, crece sin límites
Por el otro lado, si r es igual a 1, la población se mantiene siempre igual
Si r es igual a 1, multiplicamos la población por 1
y eso hace que la población no cambie
Por lo tanto para este valor de r, cualquier población permanecerá fija
no cambiará
Ahora si r es menor que 1, pero mayor que 0,
entonces la población tiende a 0
Por lo tanto si r es la mitad, es decir la población de conejos
del año que viene será la mitad de la de éste, el próximo año habrá la mitad
la población se hace cada vez más pequeña y se aproxima a 0
Malas noticias para los conejos, los conejos se van a morir en esa isla...
En este modelo como estamos pensando en poblaciones mantendremos r y P
siempre como valores positivos. No nos preocuparemos
por valores negativos de P o de r
Este es un modelo de crecimiento poblacional muy simple
no es muy realista, pero es un punto de partida
donde encontramos tres conductas diferentes
dependiendo de tres valores diferentes de r
En este contexto debo decir que r es denominada a veces como parámetro
Lo escribiré por aquí
Por lo tanto un parámetro en un modelo es
algo que se puede cambiar, que se puede modificar
para explorar diferentes conductas en el modelo
como hicimos aquí, vimos como muestran diferentes cosas
para diferentes valores de r
O si se prueba el modelos con situaciones verdaderas, se debe ajustar
el parámetro r en función de lo que dicen nuestros datos empíricos
En cualquier caso r es un parámetro de este modelo simple