Γειά σας και καλωσήλθατε στην 3η ενότητα του μαθήματος.

Η ενότητα αυτή είναι πάνω στο χάος και το φαινόμενο της πεταλούδας.

Όταν διδάσκω αυτά τα θέματα στο College of the Atlantic,

μου αρέσει να κρατάω αυτή την ενότητα για έκπληξη

ώστε οι φοιτητές να μη γνωρίζουν ότι το φαινόμενο της πεταλούδας έρχεται κατά πάνω τους

Δε μπορώ να το κάνω αυτό εδώ επειδή έπρεπε να δώσω από πρίν ένα όνομα σε αυτές τις ενότητες

και, τότε το όνομα είναι στην οθόνη και μπορείτε να το δείτε.

Δε θα είναι λοιπόν έκπληξη αλλά, και πάλι, θα είναι φοβερό!

Υπάρχουν όλων των ειδών ενδιαφέροντα πράγματα και μεγάλες ιδέες σε αυτή την ενότητα.

Ξεκίνησα το μάθημα παρουσιάζοντας δύο τύπους δυναμικών συστημάτων.

Θυμηθείτε, ένα δυναμικό σύστημα είναι απλά ένας κανόνας για το πώς κάτι αλλάζει με τον χρόνο.

Οι δύο τύποι δυναμικών συστημάτων ήταν

οι επαναληπτικές συναρτήσεις και οι διαφορικές εξισώσεις.

Το κεντρικό παράδειγμα που θα χρησιμοποιήσω

για να εξηγήσω το φαίνομενο της πεταλούδας σε αυτή την ενότητα

είναι μια επαναληπτική συνάρτηση που ονομάζεται λογιστική εξίσωση (logistic equation).

Οπότε, θα ξεκινήσω αυτή την ενότητα

με το να παρουσιάσω τη λογιστική εξίσωση

και θα την παρουσιάσω με κάποιους διαφορετικούς τροπους.

Έπειτα, θα συναντήσουμε το χάος και το φαινόμενο της πεταλούδας

και τότε θα βρίσκομαι στη θέση να ορίσω αυτούς τους όρους αρκετά προσεκτικά.

Μετά, θα υπάρξει ένα προαιρετικό μάθημα στους εκθέτες Lyapunov

και, έπειτα, θα ολοκληρώσουμε με το να σκεφτούμε τις συνέπειες του φαινομένου της πεταλούδας

και με το να μπούμε βαθύτερα στην ιδέα της τυχαιότητας καθ' αυτή.

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν παρουσιάζοντας τη λογιστική εξίσωση.

Η λογιστική εξίσωση είναι ένα απλό μοντέλο αύξησης του πληθυσμού.

Είναι μια επαναληπτική συνάρτηση

και μας λέει πώς ο πληθυσμός μπορεί να αλλάξει από χρόνο σε χρόνο.

Οπότε, η εικόνα εδώ είναι ότι ο πληθυσμός τον επόμενο χρόνο

είναι συνάρτηση του πληθυσμού αυτόν τον χρόνο.

Και μπορούμε να γράψουμε αυτή τη συνάρτηση ως f(P).

Έτσι το P θα είναι πληθυσμός

και το f(P) μας λέει πώς να βρούμε τον πληθυσμό τον επόμενο χρόνο

στη βάση του πληθυσμού αυτού του χρόνου.

Και πάλι, αυτή είναι μια επαναληπτική συνάρτηση, οπότε ο χρόνος είναι διακριτός:

δεν παρακολουθούμε τον πληθυσμό σε κάθε στιγμή καθώς αυξομειώνεται

αλλά, αντ' αυτού, τον μετράμε μια φορά τον χρόνο

ή μια φορά ανα γενιά ή οτιδήποτε.

Πρίν παρουσιάσω τη λογιστική εξίσωση, θέλω να παρουσιάσω ένα ακόμη πιο απλό μοντέλο

το οποίο οδηγεί σε εκθετική αύξηση του πληθυσμού.

Υποθέστε λοιπόν ότι έχουμε μια κατάσταση όπου κάποιος πληθυσμός διπλασιάζεται κάθε χρόνο.

Οπότε, ο πληθυσμός διπλασιάζεται κάθε χρόνο και το f(P) ισούται με 2P:

ο πληθυσμός τον επόμενο χρόνο είναι 2 φορές ο πληθυσμός αυτού του χρόνου.

Μπορώ να το γράψω αυτό με άλλο συμβολισμό που πιθανόν το κάνει πιο ξεκάθαρο.

P_(n+1), αυτός είναι ο πληθυσμός τον επόμενο χρόνο,

είναι απλά 2 φορές ο πληθυσμός φέτος [2Ρ_ n]

Αυτή είναι λοιπόν απλά μια συνάρτηση διπλασιασμού,

ένα από τα πρώτα μας παραδείγματα μιας επαναληπτικής συνάρτησης από την 1η ενότητα.

Οπότε, απλά σαν μια υπενθύμιση του πώς γίνεται αυτό,

και για να το κάνουμε λίγο πιο συγκεκριμένο,

ας πούμε ότι μιλάμε για κάποιον πληθυσμό κουνελιών σε ένα νησί.

Έτσι, σε ένα νησί, ίσως αρχικά

κάποιος αφήνει κατα λάθος μερικά κουνέλια.

Κάποια κουνέλια δραπετεύουν, θα είχαμε 2 κουνέλια.

Έπειτα, θα επιστρέφαμε τον επόμενο χρόνο στο νησί και...

και θα είχαμε... 4 κουνέλια.

Τον επόμενο χρόνο, τα 4 αυτά κουνέλια διπλασιάζονται και πάλι...

κι έτσι θα 'χαμε 8 κουνέλια.

Και μπορείτε να δείτε οτι τα κουνέλια καταλαμβάνουν το νησί,

καταλαμβάνουν την σελίδα σ' αυτή την περίπτωση

Τα κουνέλια λοιπόν αυξάνονται, και αυξάνονται και αυξάνονται,

διπλασιάζονται κάθε φορά.

Ας το κάνουμε λοιπόν αυτό με νούμερα,

ας ξεφορτωθούμε τα κουνέλια.

Αν είχαμε, λοιπόν, διαλέγουμε, έναν αρχικό πληθυσμό, μια φύτρα [Ρ_0]

τότε αυτό θα ήταν..., επιλέξαμε αυτό να είναι 2

και, έτσι, η επόμενη μας τιμή [Ρ_1], διπλασιάζουμε το 2 και παίρνουμε 4

κι η επόμενη τιμή [Ρ_2], διπλασιάζουμε το 4, 4 επί 2 μας κάνει 8,

μπορώ να συνεχίσω

και τα κουνέλια ...

Οπότε, συνεχίζουμε να διπλασιάζουμε, τα κουνέλια θα αυξάνονται χωρίς όριο,

θα λέγαμε ότι το P_n τείνει προς το άπειρο.

Κάποια στιγμή ο κόσμος δε θα ήταν τίποτα άλλο παρά κουνέλια.

Μπορούμε να γενικεύσουμε αυτό το απλό μοντέλο αύξησης πληθυσμού ως εξής:

Στο προηγούμενο μοντέλο είχαμε τον πληθυσμό να διπλασιάζεται κάθε χρόνο,

θα μπορούσα να το πω πιο γενικά ως f(P) ισούται με rP

οπότε, αντί να πολλαπλασιάζω τον πληθυσμό επί 2 κάθε φορά,

θα μπορούσα να τον πολλαπλασιάσω επί κάποιον άλλο αριθμό r.

Οπότε η γενική εικόνα είναι ότι: ο πληθυσμός τον επόμενο χρόνο

είναι αυτή η συνάρτηση του πληθυσμού τώρα.

Ή, P_(n+1), ο πληθυσμός τον επόμενο χρόνο, είναι απλά r επι τον πληθυσμό αυτού του χρόνου.

Οπότε, και πάλι, το r είναι ο ρυθμός αύξησης (ή ρυθμός ανάπτυξης).

Υπάρχουν λοιπόν τρεις περιπτώσεις που μπορεί να μας ενδιαφέρουν,

τρεις διαφορετικές συμπεριφορές που εξαρτώνται από την τιμή του r.

Αν το r είναι μεγαλύτερο του 1, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα,

ο πληθυσμός θα αυξάνεται διαρκώς και θα τείνει προς το άπειρο.

Έτσι, r μεγαλύτερο του 1,

αυτό σημαίνει ότι κάθε χρόνο ο πληθυσμός αυξάνεται,

ο πληθυσμός αυτού του χρόνου είναι μεγαλύτερος από αυτόν του προηγούμενου.

Τον επόμενο χρόνο θα είναι ακόμη μεγαλύτερος.

Σε αυτή την περίπτωση, ο πληθυσμός τείνει στο άπειρο,

αυξάνεται χωρίς όριο.

Από την άλλη πλευρά, αν το r ισούται με 1, ο πληθυσμός παραμένει ο ίδιος.

Οπότε, αν r ίσον 1, απλά πολλαπλασιάζουμε τον πληθυσμό με 1.

Αυτό δεν αλλάζει τον πληθυσμό καθόλου.

Έτσι, για αυτή την τιμή του r, κάθε πληθυσμός θα ήταν σταθερός,

δεν θα άλλαζε.

Και αν το r είναι μικρότερο από 1 αλλά μεγαλύτερο από το 0,

τότε ο πληθυσμός πλησιάζει το 0.

Αν λοιπόν το r είναι, ας πούμε 0.5,

αυτό σημαίνει ότι τον επόμενο χρόνο θα υπάρχουν τα μισά κουνέλια απ' όσα υπάρχουν φέτος.

Τον αμέσως μετά χρόνο θα υπάρχουν, και πάλι, τα μισά αυτών και ούτω καθεξής.

Οπότε ο πληθυσμός μικραίνει και μικραίνει και πλησιάζει το 0.

Άσχημα νέα για τα κουνέλια:

τα κουνέλια θα αφανιστούν στο νησί.

Και, σε αυτό το μοντέλο, αφού σκεφτόμαστε για πληθυσμούς,

θα κρατήσουμε τα r και P πάντοτε θετικά.

Μην ανησυχείτε λοιπόν για αρνητικά P ή αρνητικά r.

Αυτό λοιπόν είναι ένα πολύ απλό μοντέλο αύξησης πληθυσμού,

- δεν είναι πολύ ρεαλιστίκο αλλά είναι ένα σημείο εκκίνησης -

και σημειώστε οτι έχει τρεις πολύ διαφορετικές συμπεριφορές

ανάλογα με τις τρεις διαφορετικές τιμές του r.

Και, σε αυτό το πλαίσιο, πρέπει να αναφέρω

ότι η ποσότητα r ονομάζεται κάποιες φορές "παράμετρος" (parameter).

Μάλλον θα το γράψω αυτό εδώ.

Οπότε, μια παράμετρος σε ένα μοντέλο είναι κάτι το οποίο κανείς μπορεί να αλλάξει.

Μπορεί να την αλλάξεις για να διερευνήσεις

διαφορετικές συμπεριφορές στο μοντέλο, όπως έκανα εδώ:

βλέπουμε ότι κάνει διαφορετικά πράγματα για διαφορετικές τιμές του r.

Ή, αν προσπαθείτε να φτιάξετε ένα μοντέλο μιας πραγματικής κατάστασης,

μπορεί να προσαρμόσετε την παράμετρο r μέχρι να ανταποκρίνεται καλύτερα στα δεδομένα.

Σε κάθε περίπτωση, το r είναι παράμετρος για αυτό το απλό μοντέλο.