مرحبا وأهلا بكم في الوحدة الثالثة من هذه الدورة
هذه الوحدة عن الفوضى وتأثير الفراشة
عندما كنت أدرس هذه المواضيع في كلية Atlantic
أحب أن أترك هذه الوحدة كنوع من المفاجأة
لذلك لا يعرف الطلاب أن الموضوع الذي سيتم تناوله هو تأثير الفراشة
لا أستطيع فعل ذلك هنا لأنني مضطر لإعطاء هذه الوحدات اسم بشكل مسبق
ثم تتم طباعة الاسم على الشاشة لتراه
لذلك لن تكون مفاجأة، ولكنها ستبقى مدهشة
هناك الكثير من الأشياء المثيرة للاهتمام والأفكار الكبيرة في هذه الوحدة.
سأبدأ هذه الدورة بإدخال نوعين من النظم الديناميكية
تذكر أن النظام الديناميكي هو مجرد قاعدة كيف يتغير الشئ مع الوقت،
نوعين من النظم الديناميكية
دوال تكرارية ومعادلات تفاضلية،
المثال الريئسي الذي سأستخدمه لشرح تأثيرالفراشة في هذه الوحدة
هو الدالة التكرارية والتي تسمى المعادلة اللوجستية
لذلك سوف أبدأ هذه الوحدة
بعرض المعادلة اللوجستية
وتقديمها بعدد من الطرق المختلفة.
ثم سنتعرض للفوضى في تأثير الفراشة
ثم سأكون في وضع يمكنني من تعريف هذه المصطلحات بعناية إلى حد ما.
بعد ذلك يوجد محاضرة اختيارية عن أسس Lyapunov
ثم سنختتم عبر التفكير بالآثار المترتبة عن تأثير الفراشة
وبالتعمق أكثر في فكرة العشوائية ذاتها.
لذلك دعونا نبدأ هذه الوحدة من خلال تقديم المعادلة اللوجستية.
المعادلة اللوجستية هي نموذج بسيط للنمو السكاني
هي دالة تكرارية
وتخبرنا كيف أنّ عدد السكان قد يتغير من سنة إلى أخرى
لذلك، فإن التصور هو أن السكان في العام المقبل
هو دالة في عدد السكان هذه السنة
وربما نكتب الدالة كـ (f(P
لذلك P سيكون عدد السكان
و (f(P تخبرنا كيف سنحصل على عدد السكان العام المقبل
بالنسبة لسكان هذا العام
مرة أخرى هذه دالة تكرارية لذلك الوقت متقطع
نحن لا نراقب عدد السكان في كل لحظة كما يتدفق صعودا وهبوطا،
ولكن بدلا من ذلك نحن نقيس ذلك مرة كل سنة
أو مرة كل جيل أو شيئ ما
لذلك قبل أن أقدم المعادلة الللوجستية أريد أن أقدم نموذجا أبسط
هذا يؤدي إلى النمو السكاني الأسي.
لذلك لنفترض أن لدينا نموذج حيث يتضاعف عدد السكان كل عام.
لذلك عدد السكان يتضاعف كل عام و f(p) =2p
عدد السكان في العام القادم ضعف عدد السكان هذا العام
يمكننا كتابة ذلك برموز أخرى والتي ربما تجعلها واضحة
{P_{n+1، عدد السكان العام القادم، فقط ضعف عدد السكان هذا العام
لذلك هي فقط دالة مضاعفة
أول أمثلتنا عن الدالة التكرارية من الوحدة الأولى
لذلك فقط كتذكرة كيف تسير الأمور، ولجعلها أكثر بساطة
دعنا نتحدث عن عن تعداد الارانب على جزيرة
لذلك على جزيرة، ربما مبدئياً
ترك أحدهم بعض الارانب هناك بالصدفة
هربت بعض الارانب، أصبح لدينا ارنبين
بعد ذلك عدنا العام القادم إلى هذه الجزيرة
وأصبح لدينا 4 ارانب
العام التالي هذه الارانب الاربعة تضاعفت مرة ثانية
وبإمكانك مشاهدة الارانب تتكاثر على هذه الجزيرة
وهي تتكاثر في هذه الحالة
لذلك تنمو الارانب وتنمو وتنمو
وهي تتضاعف في كل مرة
دعنا نعيدها بالارقام
لنتخلص من الأرانب
لذلك إذا قمنا واخترنا تعداد ابتدائي (البذرة)
دعنا نختار عدد 2
وبعد ذلك القيمة التالية تتضاعف من2 لنحصل على 4
وقيمتنا التالية نضاعف 4 ، 4*2=8
ونتابع...
والارانب...
لذلك نتابع المضاعفة، سينموعدد الارانب دون حدود
دعنا نقول أن P_n تسعى للانهاية
في النهاية العالم لن يبقى فيه شيء سوى الأرانب
يمكننا تعميم النموذج للنمو السكاني كما يلي:
في النموذج السابق، لدينا نمو بالعدد يتضاعف كل عام
وسنعمم قليلا وسنضع f(P)= rP.
لذلك بدلا من الضرب ب2 كل عام
سأضرب بعدد مختلف r
لذلك التصور بأن النمو العام التالي
هو دالة في قيمة التعداد الحالي
أو {P_{n+1، النمو العام التالي هو فقط r مرة عن التعداد هذا العام
لذلك مرة ثانية r هو معدل النمو
لذلك يوجد ثلاث حالات ربما نكون مهتمين بهم
ثلاثة سلوك مختلفة تعتمد على قيمة r
لذلك اذا كانت r أكبر من الواحد كالحالة السابقة
سيزداد التعداد باستمرار ويسعى إلى اللانهاية
لذلك r أكبر من الواحد
ذلك يعني أن كل عام يزداد التعداد
التعداد هذا العام أكبر من التعداد العام الماضي
العام المقبل سيكون أكبر
في تلك الحالة التعداد سيسعى للانهاية
سينمو دون حدود
من جهة اخرى إذا كان r=1 التعداد سيبقى ثابتا
لذلك إذا كان r=1 سنضرب العدد فقط ب 1
ولن يغير النمو مطلقاً
لذلك لأجل هذه لقيمة ل r أي تعداد سكاني سيكون ثابتا
لن يتغير
وإذا كان r اصغر من الواحد وأكبر من الصفر
عندئذ التعداد سيقترب من الصفر
لذلك إذا كان r=0.5
هذا يعني العام المقبل سيكون تعداد الأرانت نصف تعداد الارانب هذا العام
العام التالي سيكون العدد النصف مرة ثانية ونتابع...
لذلك العدد سيصغر ويصغر ويقترب من 0
وهذا خبر سيئ للارانب
والارانب سوف تختفي عن الجزيرة
وفي هذه النموذج بما اننا نتكلم عن النمو
سنبقي على r و p موجبتين
لذلك لن نكترث لأجل القيم السالبة
لذلك هذا نموذج بسيط عن النمو السكاني
هو ليس حقيقي تماماً، لكنه نقطة بداية
لاحظ أنه يوجد ثلاث سلوكيات مختلفة
تعتمد على قيم r الثلاثة المختلفة
وفي هذا السياق ينبغي أن أذكر
أن القيمة r تسمى غالبا وسيط
ساكتبها هنا
لذلك الوسيط في النموذج هو شيء يمكن أن يتغير
يمكن تغييره لاكتشاف السلوكيات المختلفة في النموذج كما فعلت هنا
راينا كيف تختلف الاشياء باختلاف قيم r
او اذا كنت تحاول أن تضع نموذج حالة حقيقية
ربما تحاول أن تغير قيمة الوسيط r لتصل إلى النموذج الذي يلائم البيانات بشكل أفضل
عموما إن r هو وسيط لهذا النموذج البسيط