Ας συνοψίσουμε και επαναλάβουμε τα κύρια αποτελέσματα και ιδέες
από την ενότητα 2 πάνω στις διαφορικές εξισώσεις.
Μια διαφορική εξίσωση είναι ένας τύπος δυναμικού συστήματος
και είδαμε διαφορικές εξισώσεις αυτού του τύπου,
και πάλι, η παράγωγος μιας μεταβλητής
είναι απλά συνάρτηση αυτής της μεταβλητής.
Θυμηθείτε, ένα δυναμικό σύστημα είναι ένα σύστημα που αλλάζει στον χρόνο
στη βάση ενός σαφώς καθορισμένου κανόνα
και μια διαφορική εξίσωση είναι ένα τέτοιο δυναμικό σύστημα.
Η διαφορική εξίσωση προσδιορίζει την παράγωγο του Χ
ως συνάρτηση του Χ - αυτός είναι ο κανόνας -
και η παράγωγος,
η οποία, αν δεν έχετε κάνει λογισμό, μπορεί να είναι ένας νέος όρος,
είναι απλά ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής του Χ:
είναι πόσο γρήγορα αλλάζει το Χ σε ένα συγκεκριμένο λεπτό ή στιγμή στον χρόνο.
Υπάρχουν τρεις βασικές κλάσεις ή τύποι μεθόδων λύσης για διαφορικές εξισώσεις:
πρώτον, οι ποιοτικές ή γεωμετρικές τεχνικές.
Εκεί, μπορούμε να σχεδιάσουμε τη δεξιά πλευρά της διαφορικής εξίσωσης
και απο εκεί μπορούμε να βρούμε τα σταθερά σημεία και την ευστάθεια τους,
μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραμμή φάσης όπως έχω κάνει εδώ
και να σχεδιάσουμε τη γενική μορφή των λύσεων,
την κατεύθυνση στην οποία πηγαίνουν οι λύσεις.
Δε μπορούμε παρ' όλα αυτά να πάρουμε μια ακριβής μορφή για το Χ(t),
δεν ξέρουμε ακριβώς πόσο γρήγορα πάνε οι λύσεις,
αλλά αυτη η μέθοδος είναι καλή στο να μας δώσει μια γενική αίσθηση
για την μακροπρόθεσμη συμπεριφορά των λύσεων:
Που πάνε οι τροχιές; Πόσα σταθερά σημεία υπάρχουν
και ποια είναι η ευστάθεια τους;
Μια άλλη προσέγγιση για τη λύση διαφορικών εξισώσεων είναι υπολογιστική.
Παρουσίασα τη Μέθοδο του Euler
και θα μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει τη Μέθοδο του Euler
ή μια πιο εντυπωσιακή έκδοση - μια από αυτές τις μεθόδους Runge-Kutta
για να υπολογίσει το Χ(t) και αυτό γίνεται βήμα-βήμα:
ξεκινάμε με μια τιμή του Χ,
χρησιμοποιούμε αυτή την τιμή του Χ για να βρούμε την παράγωγο.
Η παράγωγος μας δίνει την τιμή του Χ λίγο αργότερα
και μπορούμε να πάμε πίσω εδώ, να βάλουμε το Χ, το νέο Χ,
και να βρούμε την νέα παράγωγο,
παράγωγο την οποία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε την τιμή του Χ λίγο αργότερα
και ούτω καθ' εξής, πηγαίνοντας συνεχώς μπρος και πίσω
μεταξύ αυτών των δύο πλευρών της εξίσωσης.
Πιστεύω οτι η Μέθοδος του Euler φτάνει στον πυρήνα του τι είναι μια διαφορική εξίσωση:
ένας κανόνας που καθορίζει το πώς αλλάζει μια ποσότητα.
Υπολογιστικές μέθοδοι σαν αυτή είναι αξιόπιστες
και λειτουργούν για όλες τις καλώς τεθείσες εξισώσεις.
Απαιτεί όμως τη χρήση κάποιου λογισμικού Η/Υ ή υπολογιστικού φύλλου.
Αυτά τα αποτελέσματα συχνά καλούνται αριθμητικά αποτελέσματα
επειδή το τελικό αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας αριθμών, όχι ένας τύπος
αλλά είναι πολύ εύκολο να φτιάξουμε γράφημα αυτού του πίνακα αριθμών
και να πάρουμε μια αίσθηση για το τι κάνουν οι λύσεις.
Ο τελευταίος τύπος μεθόδου λύσης είναι
ένας τον οποίο δεν έχω περιγράψει έως τώρα
και αυτός είναι ο λεγόμενος αναλυτικός τύπος μεθόδων.
Εδώ, ο στόχος είναι να βρούμε έναν τύπο
για τη λύση του Χ(t) χρησιμοποιώντας λογισμό.
Ο λογισμός είναι ένας καλά ανεπτυγμένος μηχανισμός
για να βρίσκουμε παραγώγους,
να κάνουμε παραγώγους προς τα πίσω και ούτω καθεξής.
Έτσι, ανάλογα με την οπτική σας, αυτό μπορεί να είναι
αρκετά διασκεδαστικό ή και οχι τόσο διασκεδαστικό.
Προσωπικά, είχα ανάμεικτα συναισθήματα γι' αυτόν.
Το πρώτο μου μάθημα στις διαφορικές εξισώσεις στο πανεπιστήμιο έμοιαζε σαν
όλα τα χειρότερα κομμάτια του λογισμού 2 να επέστρεψαν για να με στοιχειώσουν!
Αργότερα, στις μετά το πτυχίο σπουδές μου, μαθαίνοντας κάποιες άλλες τεχνικές
για τη λύση διαφορικών εξισώσεων,
δυναμοσειρές (power series) και μετασχηματισμούς Laplace,
το απόλαυσα αρκετά, αλλά τέλος πάντων,
είναι μια αρκετά διαφορετική προσέγγιση από τις δυο πρώτες,
χρησιμοποιεί όλους τους μηχανισμούς του λογισμού.
Τα άσχημα νέα είναι οτι, οι περισσότερες μη-γραμμικές εξισώσεις
- και αυτές είναι που θα μελετήσουμε κυρίως σε αυτό το μάθημα -
δε μπορούν να λυθούν αναλυτικά.
Σε κάποιες περιπτώσεις μπορεί κανείς να αποδείξει
οτι δεν υπάρχει καν μια αναλυτική λύση
οπότε, γεωμετρικές ή αριθμητικές και υπολογιστικές λύσεις είναι απαραίτητες.
Επιπλέον, ακόμα και για εξισώσεις που μπορούν να λυθούν αναλυτικά,
αυτές οι λύσεις δεν οδηγούν πάντα σε καλύτερη αντίληψη ή κατανόηση.
Μπορεί να θέλετε να κάνετε κάμποσα "τρικ" λογισμού
και να πάρετε κάποιον περιέργο τύπο
κι αυτό είναι σίγουρα μεγάλης αξίας
αλλά μπορεί να μη σας δώσει μια αίσθηση ή διαίσθηση
για το τι κάνουν αυτές οι εξισώσεις.
Κατά τη γνώμη μου, πολλά, σίγουρα οχι όλα,
αλλά πολλά βιβλία στις διαφορικές εξισώσεις
δίνουν πολύ μεγάλη έμφαση σε αναλυτικές τεχνικές.
Αυτό το μάθημα θα επικεντρωθεί σε ποιοτικές και υπολογιστικές λύσεις.
Πιστεύω οτι είναι πολύ πιο κατάλληλες για τα δυναμικά συστήματα και το χάος,
ιδιαίτερα για ένα εισαγωγικό μάθημα σαν αυτό.
Οκ, επιτρέψτε μου να αναφέρω κάποια βασική ορολογία από αυτή την ενότητα
και είναι, βασικά, σχεδόν ίδια με την ορολογία της προηγούμενης.
Οι διαφορικές εξισώσεις, όπως και οι επαναληπτικές συναρτήσεις
έχουν σταθερά σημεία (fixed points)
και ένα σταθερό σημείο είναι ένα σημείο το οποίο δεν αλλάζει.
Στις διαφορικές εξισώσεις, κανείς συχνά αναφέρεται σε ένα σταθερό σημείο
ως σημείο ισορροπίας (equilibrium point), αλλά η σημασία είναι η ίδια.
Ένα σταθερό σημείο Χ είναι σταθερό αν η παράγωγος του είναι 0:
αν η παράγωγος σας είναι 0, δεν αλλάζετε
και, αν δεν αλλάζετε, είστε ένα σταθερό σημείο.
Τα σταθερά σημεία έχουν ακόμη ευστάθεια:
μπορεί να είναι ευσταθή (stable) ή ασταθή (unstable).
Ένα σταθερό σημείο είναι ευσταθές αν τα γειτονικά του σημεία
πλησιάζουν το σταθερό σημείο με κάθε επανάληψη
ή, ίσως θα έπρεπε να πώ, αν έχετε μια αρχική συνθήκη
κοντά στο σταθερό σημείο, και λύσετε τη διαφορική εξίσωση
πλησιάζει πιο κοντά σε αυτό, στο σταθερό σημείο.
Ένα ευσταθές σταθερό σημείο ονομάζεται επίσης ελκυστικό σταθερό σημείο
ή ελκυστής (attractor)
ή, στις διαφορικές εξισώσεις κάποιες φορές καλείται νιπτήρας ή λεκάνη έλξης (sink)
επειδή, όπως μπορείτε να φανταστείτε, πολλές λύσεις κατευθύνονται σε αυτό το ένα σημείο
οπότε μοιάζει σαν νερό που συσσωρεύεται στο σιφόνι.
Ένα σταθερό σημείο είναι ασταθές αν τα γειτονικά του σημεία
κινούνται μακριά απο αυτό
και ένα ασταθές σταθερό σημείο ονομάζεται απωθητικό σταθερό σημείο
ή απωθητής (repeller)
- λέγεται ακόμη πηγή: μπορείτε να φανταστείτε πολλές γραμμές λύσης
ή καμπύλες λύσης να πηγάζουν από αυτό το απωθητικό σταθερό σημείο.
Οπότε, πηγή και νιπτήρας, δεν θα χρησιμοποιήσω αυτούς τους όρους ιδιαίτερα
αλλά είναι αρκετά συχνοί οπότε μπορεί να τους συναντήσετε αλλού.
Όπως κάναμε και για τις επαναληπτικές συναρτήσεις,
μπορούμε να σχεδιάσουμε μια γραμμή φάσης και για τις διαφορικές εξισώσεις
και μας επιτρέπει να δούμε, ταυτόχρονα,
τη μακροπρόθεσμη συμπεριφορά για όλες τις αρχικές συνθήκες.
Σε μια γραμμή φάσης χάνουμε χρονικές πληροφορίες, όπως εδώ για παράδειγμα:
ξέρω οτι οι λύσεις κινούνται προς το 9 αλλά δεν ξέρω πόσο γρήγορα.
Η γραμμή φάσης εδώ είναι για μια διαφορική εξίσωση
που έχει έναν ελκυστή στο 9 - όλα πλησιάζουν στο 9 -
και έναν απωθητή στο 1 - όλα "σπρώχνονται" μακριά από το 1.
Έτσι, οι διαφορικές εξισώσεις είναι ενός τύπου δυναμικό σύστημα
και, στα δυναμικά συστήματα, ένας από τους στόχους μελέτης τους
είναι να κατηγοριοποιήσουμε και χαρακτηρίσουμε τα είδη συμπεριφοράς που βλέπουμε.
Έτσι, για τις διαφορικές εξισώσεις, τι έχουμε δει;
Λοιπόν, έχουμε δει: σταθερά σημεία - ευσταθή και ασταθή -,
οι τροχίες μπορεί να πλησιάζουν ένα σταθερό σημείο,
οι τροχίες μπορεί να τείνουν στο άπειρο
ή να τείνουν στο μείον άπειρο - μπορούν να πάνε πέρα από τα άκρα της γραμμής φάσης
και αυτό είναι πάνω κάτω όλο.
Και, επιπλέον, μια τροχιά δεν μπορεί να αυξηθεί και μετά να μειωθεί
ο ρυθμός μεταβολής της είναι μόνο συνάρτηση του Χ, της τιμής του,
οπότε αυτό σημαίνει οτι κύκλοι ή ταλαντεύσεις δεν είναι πιθανά.
Στις επόμενες αρκετές ενότητες θα δούμε οτι
οι διαφορικές εξισώσεις είναι δυνατόν να κάνουν κάποια ακόμη ενδιαφέροντα πράγματα
αλλά θα πρέπει να πάμε σε υψηλότερες διαστάσεις
για να δούμε αυτή την πιο ενδιαφέρουσα και συναρπαστική συμπεριφορά.