دعونا نلخص ونراجع الأفكار والنتائج الرئيسية
من الوحدة 2، في المعادلات التفاضلية.
المعادلة التفاضلية نوع من نظام ميكانيكي،
ولقد نظرنا لمعادلة تفاضلية بهذا الشكل،
مجدداّ، المشتق لمتغيّر ما،
هو فقط دالة لهذا المتغيّر.
تذكروا، النظام الديناميكي نظام يتغير بالزمن،
وفقاً لقاعدة معرّفة جيداً،
والمعادلة التفاضلية مثل النظام الديناميكي.
المعادلة التفاضلية تحدد المشتق لـ X.
كدالة لـ X - ها هي القاعدة،
والمشتق، والذي إن لم تدرسوا التفاضل والتكامل من قبل،
ربما تكون مصطلح جديد،
إنّه فقط معدل التغيير الآني لـ X.
إنّه مدى سرعة تغير X، عند لحظة من الزمن.
يوجد ثلاث أنواع رئيسية لطرق الحل للمعادلات التفاضلية:
أولاً، إنّها تقنيات نوعية أو هندسية.
- هناك، نستطيع أن نرسم الجهة اليمنى للمعادلة التفاضلية،
ومن هذا يمكننا أن نكتشف النقاط الثابتة، واستقرارهم:
يمكننا أن نرسم خط مرحلي، كما فعلت هنا،
نستطيع أن نرسم الشكل العام للحل،
الاتجاهات التي تذهب بها الحلول.
ومع ذلك لا نستطيع أن نحصل على شكل دقيق لـ X لـ t،
لا نعرف بالضرورة سرعة ذهاب الحلول،
لكن هذه الطريقة جيدة لإعطاء فكرة عامة
للسلوك طويل المدى للحلول،
- أين تذهب المدارات؟ كم نقطة ثابتة يوجد؟
وماهو استقرارهم؟
طريقة أخرى لحل معادلة تفاضلية، هي: حسابياً.
إذاً، قدّمت طريقة أويلر،
ويمكن استخدام طريقة أويلر، أو نسخة أفضل منها- واحدة من طرق Runge-Kutta،
لاكتشاف X لـ t، ويمكن أن نفعل ذلك، خطوة بخطوة.
نبدأ بقيمة X - نستخدم قيمة X لنكتشف المشتق،
المشتق يخبرنا قيمة X بعد فترة لاحقة،
ونستطيع أن نعود هنا، نُدخل X، X الجديدة،
ونكتشف المشتق الجديد،
مشتق يمكن أن نستخدمه لنكتشف قيمة X مؤخراً قليلاً،
وهكذا، ولذلك سنتبادل باستمرار ذهاباً وإياباً
بين هاتين الجهتين من المعادلة.
أعتقد أنّ طريقة أويلر تصل لقلب ما تعنيه المعادلة التفاضلية :
قاعدة تحدد كيف يتغير المقدار.
التقنيات الحسابية تكون موثوقة
وتعمل لكل المعادلات المعرفة جيداً.
تتطلب استخدام بعض برمجيات الحاسوب، أو برنامج الجداول الالكترونية Excel.
هذه النتائج عادة ما تدعى نتائج عددية
لأنّ النتيجة النهائية هي جدول من الأعداد، وليس معادلة،
لكن إنّه من السهل جداً رسم جدول الأعداد هذا بيانياً،
وتستشعر ما تفعله الحلول.
آخر طريقة حل هي
واحدة لمحت لها فقط في الواقع لحد الآن،
وهذا النوع من الطرق يدعى تحليلي.
إذاً، هنا، المهمة هنا إيجاد المعادلة
للحل X لـ t، باستخدام حساب التفاضل والتكامل.
إذاً حساب التفاضل والتكامل - يوجد آلية مطوّرة جيداً
لإيجاد المشتقات، لفعل المشتقات عكسيّاً، وهكذا.
إذاً، اعتماداً على وجهة نظرك هذا يمكن أن يكون
ممتعاً كثيراً، أو ليس ممتع على الإطلاق.
عن نفسي لدي مشاعر مختلطة اتجاهه.
درسي الأول عن المعادلات التفاضلية في الجامعة
شعرت أنّ أسوء الأجزاء من التفاضل والتكامل 2 كلها عادت لتطاردني.
لاحقاً، في دراساتي العليا، مع تعلّم بعض التقنيات الأخرى
لحل المعادلات التفاضلية: متسلسلات القوى، تحويلات لابلاس،
- استمتعت كثيراً، لكن على أيّة حال، إنّها طريقة مختلفة جداً عن هاتين الإثنتين.
إنّها تستخدم كل آلية التفاضل والتكامل.
الخبر السيء هو، أنّ معظم المعادلات الغير خطية،
وهذا ما سندرسه بهذه الدورة بشكلٍ عام،
لا يمكن حلّها تحليلياً.
في بعض الحالات، يمكن أن نثبت حتى أنّه لا يوجد حل تحليلي،
إذاً، الحلول العددية و الحسابية أو الهندسية ضرورية.
علاوةً على ذلك، حتى بالنسبة للمعادلات التي يمكن حلّها تحليلياً،
فعل هذا لا يقود دوماً إلى حدس، أو فهم.
ربما تقوم بمجموعة من حيل التفاضل والتكامل، وتحصل على معادلة غريبة الشكل،
وهذا بالتأكيد شيءٌ قيّم،
لكن ربما لن يعطيك الإحساس أو الحدس،
لما تفعله هذه المعادلة.
برأيي، العديد بالتأكيد، ليس الكل، لكن العديد من كتب المعادلات التفاضلية
تضع الكثير من التأكيد على التقنيات التحليلية.
هذه الدورة ستركز على الحلول النوعية والحسابية،
أعتقد أنّهم ملائمين بشكلٍ أفضل للأنظمة الديناميكية والشواش،
خصوصاً لدورة تمهيدية كهذه.
حسناً، دعوني أراجع بعض المصطلحات الرئيسية من هذه الوحدة،
في الواقع إنها تقريباً نفس المصطلحات من الوحدة السابقة.
إذاً، المعادلات التفاضلية، مثل التوابع التكرارية،
لديها نقاط ثابتة، والنقطة الثابتة هي نقطة لا تتغير.
في المعادلات التفاضلية ندعو النقطة الثابتة عادة بنقطة توازن،
لكنها تعني نفس الشيء.
النقطة الثابتة X ثابتة، إن كان المشتق 0.
إن كان مشتقك 0، ولا تتغير،
وإن لم تكن تتغير، فأنت نقطة ثابتة.
النقاط الثابتة لديها استقرار أيضاً - ممكن أن تكون مستقرة أو غير مستقرة.
النقطة الثابتة مستقرة إن كانت النقاط القريبة
تقترب للنقطة الثابتة عندما تتكرر،
أو ربما يجب أن أقول، إن كان لديك شرط إبتدائي
بقرب النقطة الثابتة، وحللت المعادلة التفاضلية
تقترب أكثر لهذه - للنقطة الثابتة.
النقطة الثابتة المستقرة تدعى أيضاً نقطة ثابتة جاذبة،
أو جاذبة، أو بالمعادلات التفاضلية، تدعى في بعض الأحيان بؤرة،
لأنّه يمكن أن تتخيل الكثير من الحلول كلها تتجه نحو هذه النقطة الواحدة،
إذاً تبدو كمياه تنزل بمصرف المياه.
النقطة الثابتة غير مستقرة إن كانت النقاط القريبة تبتعد عنها،
والنقطة الثابتة غير المستقرة تدعى نقطة ثابتة نافرة، أو منفرة،
تدعى أيضاً المصدر: يمكن أن تتخيل الكثير من خطوط الحل
أو منحنيات الحل منبعثة من النقطة الثابتة المنفرة هذه.
إذاً، المصدر والبؤرة - لا إعتقد أنّي سأستخدم هذه المصطلحات كثيراً،
لكنهم قياسيين جداً، لذلك ربما تصادفهم بمكانٍ آخر.
كما فعلنا للتوابع التكرارية،
يمكننا أن نرسم خط مرحلي للمعادلات التفاضلية،
وتدعنا نرى، بنفس الوقت السلوك طويل المدى للشروط الإبتدائية.
بالخط المرحلي نخسر معلومات الزمن، إذاً كمثال هنا،
أعرف أنّ احل يتجه نحو 9، لكن لا أعرف بأيّ سرعة.
الخط المرحلي هنا إنّه لمعادلة تفاضلية لديها جاذبة عند 9.
الأشياء تقترب لـ 9، و منفرة عند 1،
الأشياء تُدفع بعيداًعن 1.
إذاً، المعادلات التفاضلية نوع من النظام الديناميكي،
و أحد أهداف الدراسة، في الأنظمة الديناميكية،
هي أن نصنف ونصف أنواع السلوكيات التي نراها
إذاً، بالنسبة للمعادلات التفاضلية، ماذا رأينا؟
- حسناً رأينا: النقاط الثابتة (مستقرة وغير مستقرة).
- مدارات يمكن أن تقترب من نقطة ثابتة
- مدارات ممكن أن تتجه نحو اللانهاية،
أو تتجه نحو اللانهاية السالبة - يمكن أن تنتقل لنهاية الخط المرحلي،
وهذا تقريباً كل شيء،
وبالإضافة، المدار لا يمكن أن يزداد وثم يتناقص،
- معدل التغيير إنّه فقط دالة لـ X - إنّه قيمة،
إذاً هذا يعني أنّ الدورات أو الذبذبات ليست ممكنة.
في الوحدات العديدة التالية سنرى أنّ
المعادلات التفاضلية قادرة على القيام بأشياء مثيرة للاهتمام أكثر
لكن يجب أن نذهب لأبعاد أعلى
لكي نرى سلوك مشوق ومثير للاهتمام أكثر.