我们几乎结束这一节了
微分方程是非常广泛的主题
可以写一整本书
非常厚的书 我们这里学习的知识
这只是开始 只是表面
我希望我们已经讲了足够多了
如何去思考它们
你可以把它们看成动力系统
然后学习它们的性质
在下面的单元里面
我讲一点
记号和术语
我先总结下
微分方程的主要思想
之后 我介绍牛顿和拉普拉斯
以及确定性 这些是下面一节的基础
我们会遇到混沌 蝴蝶效应
我们看过这样的方程
比率的比值是值的函数dx/dt
但是还有其他形式的方程
一些术语等等
和这些形式相关
我来大致讲一些
如果方程的右端不依赖时间
也就是这里 只是值的函数
温度的改变
是啤酒温度的函数
这时候 我们说方程是自治的
也就是说它只做自己的事情 与时间无关
但是如果依赖于时间
我们可以说
右端是非自治的
这可能引起房间温度
啤酒或者热咖啡 随时间的变化
白天变热 晚上变凉
那么为了得到它冷却的速度
我们不仅需要知道当前的温度
还需要知道时间
我们这个课程里只研究自治系统
非自治系统很有趣
但是我们可以从自治系统得到很多好处
另一个术语是
微分方程的阶
微分方程的阶就是
最高的导数的阶
这里 就是一阶
这是个一阶的方程
如果有第一和第二阶导数
就说是二阶的
这门课程里二阶并不重要
但是 导数的导数
是改变率的改变率
这里我们只研究一阶方程
看上去似乎是个限制
因为我们有很多重要的二阶方程
牛顿运动律 很重要
就是个二阶方程
然而 我们可以把二阶方程
转化为2个一阶方程
这并不显然
我们这里去这样做
我们可以在论坛里讨论下
要点是 我们仅仅研究一阶方程
这并不是我们受限制
还有一些术语
常微分方程
如果只有常导数
这就是我们这里说的
记为ODE 相反
非常微分方程不是奇怪的微分方程
称之为偏微分方程
它含有偏导数
这是个波动方程
我们在这个课里不讲偏微分方程
我们只讲常微分方程
下面我说一下
存在性和唯一性
我这样说
然后再解释
考虑一个微分方程
我们这个单元学习过的
给定初始条件
我们知道规则 知道初值
函数是个好函数
也就是说 是连续函数
没有突变 跳跃
则解存在 而且唯一
这说的是什么意思呢
首先 这些条件
函数光滑 连续
在物理的应用中 这些都满足
它们很少不满足
如果我问一个问题
一个微分方程 给了初值
有一个唯一的解
如果我找到了解 你也找到一个解
它们是一样的
这并不让人吃惊
这个单元里我一直这样说
微分方程是一个规则
关于改变量的规则
与值相关 这个结果在说
规则由方程确定
给了初始值 解唯一
只有一个解 规则没有歧义
就是这个结果
大多数微分方程的书都证明了这个结果
这样的微分方程是有好的行为的
如果有个合理的右端 我们一定有
唯一的解