Βρισκόμαστε σχεδόν στο τέλος αυτής της ενότητας στις διαφορικές εξισώσεις.
Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ένα τεράστιο θέμα
- ολόκληρα βιβλία έχουν γραφτεί για το αντικείμενο, μεγαλα, χοντρά βιβλία -
οπότε αυτά που κάναμε σε αυτή την ενότητα είναι απλά η αρχή,
απλά αγγίξαμε την επιφάνεια.
Παρ' όλα αυτά, ελπίζω να καλύψαμε αρκετά σχετικά με τις διαφορικές εξισώσεις
και το πώς να σκεφτόμαστε για αυτές
ώστε να μπορείτε να τις αντιλαμβάνεστε ως δυναμικά συστήματα.
και, τότε, θα μπορέσουμε να μελετήσουμε τις ιδιότητες τους
στις αρκετές επόμενες ενότητες.
Θα ολοκληρώσω αυτή την ενότητα με το να μιλήσω πρώτα λίγο περισσότερο σχετικά
με κάποιους συμβολισμους και ορολογία τα οποία δεν έχω συζητήσει ακόμη
και, έπειτα, θα συνοψίσω τις κεντρικές ιδέες σχετικά με τις διαφορικές εξισώσεις
τις οποίες παρουσίασα σε αυτή την ενότητα
Μετά από αυτό, θα πω λίγα πράγματα για τον Νεύτωνα και τον Laplace
και τον ντετερμινισμό κι αυτό θα θέσει τα θεμέλια για την επόμενη ενότητα
όπου θα συναντήσουμε το χάος και το φαινόμενο της πεταλούδας.
Μέχρι στιγμής έχουμε δει εξισώσεις αυτού του τύπου:
dX/dT - κάποια συνάρτηση του Χ
αλλά υπάρχουν και άλλοι τύποι διαφορικών εξισώσεων
και κάποιο λεξιλόγιο και ορολογία
που σχετίζονται με αυτούς τους διαφορετικούς τύπους
τα οποία πιστεύω οτι πρέπει να αναφέρουμε.
Οπότε, αν η δεξιά πλευρά της εξίσωσης δεν εξαρτάται από τον χρόνο
- αυτή είναι η περίπτωση εδώ - η παράγωγος είναι συνάρτηση μόνο του Χ:
το πόσο γρήγορα η ζεστή μπύρα ψύχεται
είναι συνάρτηση μόνο της θερμοκρασίας της μπύρας.
Για μια τέτοια κατάσταση, λέμε οτι η εξίσωση είναι αυτόνομη.
Κατα κάποιο τρόπο κάνει το δικό της, δεν εξαρτάται από τον χρόνο
αλλά, αν υπήρχε χρονική εξάρτηση εδώ,
τότε θα έλεγε κανείς οτι η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι μη-αυτόνομη.
Αυτό θα προέκυπτε αν, ας πούμε, η θερμοκρασία του δωματίου
στο οποίο βρισκόταν η μπύρα ή ο ζεστός καφες, μεταβαλλόταν με τον χρόνο
- ζεσταινόταν την ημέρα και πάγωνε το βράδυ -
τότε, για να βρούμε πόσο γρήγορα κάτι ψύχεται,
θα έπρεπε να γνωρίζουμε οχι μόνο την τωρινή του θερμοκρασία
αλλά και την ώρα της ημέρας.
Σε κάθε περίπτωση, θα μελετήσουμε μόνο αυτόνομες εξισώσεις σ' αυτό το μάθημα.
Υπάρχουν πολλές διασκεδαστικές και ενδιαφέρουσες μη-αυτόνομες εξισώσεις
αλλά θα διανύσουμε μεγάλη απόσταση με τις αυτόνομες εξισώσεις.
Ένας άλλος όρος-κλειδί σχετικά με τις διαφορικές εξισώσεις
είναι η ιδέα της τάξης (order) μιας διαφορικής εξίσωσης.
Η τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης είναι απλά
η υψηλότερη παράγωγος που εμφανίζεται στην εξίσωση.
Εδώ, αυτή είναι απλά η πρώτη παράγωγος του Χ
και, άρα, θα λέγαμε οτι αυτή είναι πρώτης τάξης.
Αν υπήρχαν πρώτες και δεύτερες παράγωγοι τριγύρω
τότε θα λέγαμε οτι είναι δεύτερης τάξης.
Η δεύτερη παράγωγος - δεν είναι σημαντική για αυτό το μάθημα
αλλά μπορείτε να μαντέψετε - είναι η παράγωγος της παραγώγου:
ο ρυθμός μεταβολής του ρυθμού μεταβολής.
Σε αυτό το μάθημα θα μελετήσουμε μόνο εξισώσεις πρώτης τάξης.
Αρχικά, αυτό μπορεί να φανεί σαν περιορισμός
επειδή υπάρχουν κάποιες πολύ σημαντικές εξισώσεις δεύτερης τάξης:
ο νόμος κίνησης του Νεύτωνα, ίσως ο πιο σημαντικός για τη μηχανική και το χάος,
είναι μια εξίσωση δεύτερης τάξης.
Ωστόσο, είναι δυνατόν να μετατρέψουμε μια εξίσωση δεύτερης τάξης
σε ένα σύστημα δύο εξισώσεων πρώτης τάξης.
Αυτό δεν είναι άμεσα εμφανές
και δεν θα το κάνουμε αυτό στην πραγματικότητα σε αυτό το μάθημα
- θα μπορούσαμε να μιλήσουμε για αυτό στο forum αν κάποιοι ενδιαφέρονται -
αλλά το βασικό σημείο είναι οτι θα μελετήσουμε μόνο εξισώσεις πρώτης τάξης
αλλά αυτό δεν μας περιορίζει κατά κανέναν τρόπο.
Οκ, λίγη ορολογία ακόμη:
μια διαφορική εξίσωση ονομάζεται συνήθης (ordinary)
αν περιέχει μόνο συνήθης, δηλαδή πλήρης ή ολικές παραγώγους.
Έτσι, οι σύνηθεις διαφορικές εξισώσεις - για αυτές θα μιλήσουμε εδώ -
γράφονται συνήθως ΣΔΕ (ODE) και, αντιθέτως,
μια μη σύνηθης διαφορική εξίσωση δεν είναι κάποια περίεργη διαφορική εξίσωση
αλλά ονομάζεται μερική διαφορική εξίσωση (partial differential equation)
και περιλαμβάνει μερικές παραγώγους, για παράδειγμα:
- αυτός είναι ένας τύπος της εξίσωσης κύματος.
Δεν θα ασχοληθούμε με μερικές διαφορικές εξισώσεις στο μάθημα αυτό,
θα μελετήσουμε μόνο σύνηθεις διαφορικές εξισώσεις.
Έπειτα, θα ήθελα να πώ κάποια πράγματα
για τις σημαντικές ιδέες της ύπαρξης και μοναδικότητας.
Οκ, ας αναφέρω πρώτα αυτό το αποτέλεσμα
και μετά θα μιλήσουμε για τις συνέπειες του.
Οπότε, σκεφτείτε μια διαφορική εξίσωση αυτού του είδους
- αυτό είναι που μελετούσαμε σε αυτή την ενότητα -
και η αρχική συνθήκη είναι δωσμένη
οπότε, ξέρουμε τον κανόνα, ξέρουμε το σημείο εκκίνησης.
Αν αυτή η συνάρτηση του Χ είναι καλή συνάρτηση
- με αυτό εννοώ: είναι συνεχής, δεν έχει καθόλου άλματα
και είναι ομαλή, δεν έχει κάποια ξαφνικά διπλώματα ή στριψήματα,
τότε η λύση σε αυτή την εξίσωση υπάρχει και είναι μονάδικη.
Οπότε, ας σκεφτούμε τι σημαίνει αυτό και γιατί είναι σημαντικό.
Πρώτον, αυτές οι συνθήκες,
το οτι αυτή η συνάρτηση είναι ομαλή και συνεχής
απαντώνται στις περισσότερες φυσικές εφαρμογές και στις περισσότερες εφαρμογές μοντελοποίησης,
πολύ σπάνια δεν πληρούνται αυτά τα κριτήρια.
Έτσι, αυτό σημαίνει οτι, αν σας έκανα μια ερώτηση σαν αυτήν:
να μια διαφορική εξίσωση, σας δίνω το σημείο εκκίνησης
το οτι υπάρχει μία, και μόνο μία, λύση
άρα, αν βρω μια λύση και βρείτε κι εσείς μια λύση,
οι λύσεις είναι η ίδιες: υπάρχει μία και μόνο μία εκεί έξω.
Και ελπίζω οτι αυτό το αποτέλεσμα δεν σας εκπλήσσει.
Έχω μιλήσει καθ' όλη τη διάρκεια αυτής της ενότητας
σχετικά με το πώς αυτή η διαφορική εξίσωση είναι ένας κανόνας
- είναι ένας κανόνας που μου λέει πώς ο ρυθμός μεταβολής του Χ
σχετίζεται με το Χ και, έτσι, αυτό που μας λέει αυτό το αποτέλεσμα είναι
ο κανόνας που καθορίζεται από αυτή την εξίσωση και το σημείο εκκίνησης
είναι μη διφορούμενος: υπάρχει μόνο μια λύση σε αυτόν, υπάρχει μόνο ένας τρόπος
να ακολουθήσουμε τον κανόνα: είναι ένας μη διφορούμενος κανόνας.
Έτσι, περιληπτικά, αυτό το αποτέλεσμα,
το οποίο αποδεικνύεται στα περισσότερα βιβλία διαφορικών εξισώσεων,
λέει οτι: διαφορικές εξισώσεις αυτού του είδους είναι καλώς συμπεριφερόμενες.
Αν είχαμε μια λογική δεξιά πλευρά,
ειναι δεδομένο οτι θα είχαμε μία και μόνο μία λύση:
ο κανόνας είναι μη-διφορούμενος.