نحن تقريباً في نهاية هذه الوحدة، والمعادلات التفاضلية.
المعادلات التفاضلية موضوع شاسع،
كُتبت كتب كاملة عن هذا الموضوع،
كتب كبيرة، ضخمة وسميكة إذاً الذي فعلناه في هذه الوحدة
إنّه فقط البداية إنّه فقط مدخل لتلك الكتب.
ومع ذلك، آمل أنّنا شملنا بما يكفي عن المعادلات التفاضلية
وكيف نفكر بهم
لكي تتمكنوا من رؤيتهم كأنظمة ديناميكية
ومن ثمّ سنكون قادرين أن ندرس خصائصهم
في الوحدات العديدة التالية.
سأنهي هذه الوحدة من خلال أولاً التحدث عن
بعض المفاهيم والمصطلحات التي لم أذهب إليها بعد،
ومن ثمّ سألخص الأفكار الرئيسية
عن المعادلات التفاضلية المقدّمة في هذه الوحدة.
بعد هذا، سأتحدث قليلاً عن نيوتن ولابلاس،
والحتمية، وهذا سيمهد للوحدة التالية
حيث سنواجه الشواش وتأثير الفراشة.
لحد الآن نظرنا لمعادلات من هذا الشكل:
dX/dT تساوي دالة ما لـ X،
لكن هناك أنواع أخرى للمعادلات التفاضلية،
وبعض المفردات والمصطلحات
ترافق هذه الأنواع المختلفة،
التي أظن أنه يجب أن ندرسها.
إذاً، إن كانت الجهة اليمنى للمعادلة لا تعتمد على الزمن
هذه المسألة هنا، المشتق دالة فقط لـ X،
كم هي سرعة تسخين شراب الشعير البارد.
إنّها دالة فقط لدرجة حرارة شراب الشعير.
لحالة مماثلة، نقول أنّ المعادلة مستقلة.
بمعنى إنّها تفعل شيئها الخاص بها، إنّها لا تعتمد على الزمن،
لكن إن كان هناك اعتماد على الزمن هنا،
عندئذٍ أحدٌ ما سيقول
الجهة اليمنى للمعادلة ليست مستقلة.
هذا ربما ينشأ إذا قلنا درجة حرارة الغرفة حيث شراب الشعير
أو القهوة الساخنة موجودة، قد نتغيّر حسب الوقت
تسخن باليوم، وتبرد بالليل،
ومن ثمّ لكي تكتشف مدى سرعة برودة شيئاً ما،
سنحتاج أن نعرف ليس فقط درجة حراراته الحالية،
لكن أيضاً الوقت من اليوم.
على أي حال، سوف ندرس فقط المعادلات المستقلة في هذه الدورة.
هناك الكثير من المعادلات غير المستقلة الممتعة والمثيرة للاهتمام،
لكن سندرس الكثير فيما يتعلق بالمعادلات المستقلة.
مصطلح رئيسي آخر عن المعادلات التفاضلية وهو
فكرة مرتبة المعادلة التفاضلية.
مرتبة المعادلة تفاضلية هو
المشتق الأعلى الذي يظهر في المعادلة.
هنا، هذا فقط المشتق الأول لـ X،
ولذلك سنقول أنّ هذه المعادلة من المرتبة الأولى
إن كان هناك في المعادلة مشتقات أولى وثانية
عندئذٍ نقول إنّها من المرتبة الثانية.
المشتق الثاني ليس مهماً لهذه الدورة،
لكن كما تخمنون على الأرجح إنّه مشتق المشتق،
معدل تغيير معدل التغيير.
في هذه الدورة سندرس فقط معادلات المرتبة الأولى.
في البداية ربما يبدو هذا كتقييد،
لأنّه يوجد بعض معادلات الهامة من المرتبة الثانية
قانون نيوتن للحركة - ربما الأكثر أهمية في علم الميكانيك والشواش،
هو معادلة من المرتبة الثانية،
ومع ذلك، إنّه من الممكن أن تحوّل معادلة من المرتبة الثانية
إلى جملة معادلات من المرتبة الأولى.
هذا ليس واضحاً مباشرةً،
ولن نقوم بهذا في الواقع في هذه الدورة،
يمكننا أن نتحدث عنه بالمنتديات إن كان الناس مهتمين بها،
لكن النقطة الرئيسية هي أنّنا سندرس فقط معادلات المرتبة الأولى
لكن هذا لن يقيدنا بأيّة طريقة.
حسناً، القليل من المصطلحات الاضافية:
تدعى المعادلة التفاضلية معادلة عادية
إن كانت تتضمن مشتقات عادية أي كاملة أو كلية.
إذاً، المعادلات التفاضلية العادية - هذا ما سنتحدث عنه هنا
إنّها تُكتب عادةً ODE م ت ع، وبالمقابل،
المعادلة التفاضلية غير العادية ليست معادلة تفاضلية غريبة
لكنها تدعى معادلة تفاضلية جزئية،
وتضم مشتقات جزئية - أشياء كهذه:
هذه نسخة من معادلة موجية.
لن ندرس المعادلات التفاضلية الجزئية في هذه الدورة،
سندرس فقط المعادلات التفاضلية العادية.
بعد ذلك، أريد أن أقول القليل عن
الأفكار الهامة عن نظرية الوجود والوحدانية.
إذاً، دعوني أذكر هذه النتيجة،
ومن ثم سأتحدث عن معانيها المتضمنة.
إذاً، لتكن لدينا معادلة تفاضلية من هذا النوع،
هذا ما كنا ندرسه في هذه الوحدة،
والشرط الإبتدائي معطى،
إذاً، نعرف القاعدة، نعرف نقطة البداية.
إذا كانت هذه الدالة لـ X دالة لطيفة،
بهذا أعني: أنّها مستمرة، ليس لديها أي قفزات،
وإنّها ملساء، وليس لديها أيّة أنواع مفاجئة من الانحناءات فيها،
عندئذٍ، الحل لهذه المعادلة يوجد وهو وحيد.
إذاً، دعونا نفكر بما يعنيه هذا، ولماذا يهم.
أولاً، هذه الشروط:
أنّ هذه الدالة ملساء ومستمرة،
محقق بأكثر التطبيقات الفيزيائية وأكثر تطبيقات النمذجة
إنّه من النادر جداً ألا تتحقق هذه الشروط.
إذاً، ماذا يعني ذلك، أنه إذا سألتكم سؤال كهذا:
ها هنا معادلة تفاضلية، أنا أخبرك بنقطة البداية،
يوجد حل واحد فقط لا غير،
إذاً، بحيث إن أنا وجدت حل، وأنت وجدت حل.
إنّهم نفس الحل - يوجد هناك حل واحد فقط لا غير،
وآمل أنّ هذه النتيجة ليست مفاجئة.
لقد تحدثت طوال هذه الوحدة
عن كيف أنّ المعادلة التفاضلية هي قاعدة،
إنّها قاعدة تخبرنا كيف معدل التغيير لـ X،
مرتبط بـ X، وبالتالي الذي تقوله هذه النتيجة أنّ
القاعدة تُحدّد بالمعادلة،
ونقطة البداية، غير مبهمة - يوجد حل واحد فقط لها،
هناك طريقة واحدة لتتبع القاعدة - إنّها قاعدة غير مبهمة.
إذاً، بالمختصر، هذه النتيجة
المُثبتة بمعظم كتب المعادلات التفاضلية
تقول أنّ: المعادلات التفاضلية من هذا النوع هي حسنة التصرف.
إن كان لدينا جهة يمنى معقولة، نضمن أن نملك
حل واحد فقط لا غير - هذه القاعدة غير مبهمة.