Имаше малко объркване относно различните типове графики когато се решават тези диференциални уравнения, затова реших че е добре да минем през решенията на викторина 1 в повече детайли. Решаваме диференциални уравнения от този тип: dX/dt = f(X) и ни е дадена графиката на f(X) и можем да нарисуваме фазовата линия, можем и да скицираме решение за X като функция от t и за да дискутираме по-конкретно ще помогне да видим отново тази задача за ръст на населението... Просто заменям променливата X с променливата P и ще разглеждаме P като размер на населението и след като измерваме население с тези странни мерни единици, може би това е население в метрични тонове биомаса, така че не като да имаме 1 (ще говорим за зайци) нямаме 1 заек, 2 заека, 3 заека няма да мислим твърде много за мерните единици идеята е, че популацията се променя с времето и това ни дава скоростта на промяна - нараства или се смалява, колко бързо, е функция от текущия размер на популацията така че графиката, осите са тук, е популация P а това е скоростта на промяна - как се променя популацията Виждаме, че популацията е между 1 и 9, тогава тя ще нараства защото скоростта на растеж е положителна - популацията расте. Ако популацията е над 9, тогава тя ще намалява защото скоростта на растеж е отрицателна и ако популацията е по-малка от 1, скоростта на растеж ще намалява защото популацията е отрицателна. От тази информация, можем да скицираме криви на решения за това диференциално уравнение, нека го направим ОК, това са осите - по хоризонталата имаме време а популацията е по вертикалната ос Скицирах фиксираните точки, двете стабилни точки, 1 и 9, прекъснати линии, това са фиксирани точки, защото скоростта на растеж е 0 - когато тя е 0 популацията P не се променя Ако започна в 2, ще нараствам, докато стигна 9 - скицирам го тук... Нараствам и наближавам 9 Ако започна в 5, ще нараствам и доближавам 9, ще изглежда така Ако започна в 12, ще намалявам докато стигна 9, доближавам 9 и ако започна под 1, ще намалявам до 0 ОК, тези лилави криви са решения на това диференциално уравнение за четири различни начални състояния, тези криви са P като функция от t Още малко за тези два типа графики защото лесно се объркват. Това е dP/dT като функция на P - Расте ли популацията или се смалява за дадена популация? така че няма време върху осите. Чертежът е P, като функция от времето - как варира популацията в течение на времето Виждаме, че решенията наближават тази стабилна фиксирана точка в 9 и се отблъскват от нестабилната фиксирана точка в 1 И накрая, още един тип графика, която можем да начертаем е фазовата линия на това Отново виждаме, че има стабилна фиксирана точка в 9, и нестабилна фиксирана точка в 1 можем да нарисуваме фазовата линия тук, на оста, ако искаме Ще го направя в друг цвят, ярко червено, в този регион, между 1 и 9, популацията расте, движи се надясно Защо? - защото тази графика е положителна, и когато е положителна, значи скоростта на растеж е положителна Тези стрелки тук трябва да са така... Тук популацията ще се смалява, защото скоростта на растеж е отрицателна стойността на тази функция dP/dT е отрицателна, също и тук. и имаме фиксирани точки на пресечката, където скоростта на растеж е 0, популацията е фиксирана. Та, лесно се объркват тези две графики - няколко души задаваха въпроси за тях във форума, затова реших, че е добре да го подчертаем още веднъж.