一个更小的步长 让欧拉方法

更精确 我们可以这样看

欧拉方法不精确的原因

是速率改变

在一个区间内部

在2分钟的区间里 速率改变比较大

但是在小区间里 改变就小

如果是1分钟

我们可以假设

速率不变 这更接近事实

我在图上可以画下

我不会都画出来

但是这个是欧拉方法

对两个不同的步长

首先 方块是我们已经看到的

我们之前已经算过了

这是步长2的情况

我们假设速率不变

在2分钟的区间内

三角形是步长为1的情况

不容易看清

但是可以看到 它更接近真实曲线

因为我们的假设更合理

我们假设速率是连续的

是一个常数 对于1分钟的区间而言

我们可以猜

解会变得越来越好

如果用更小的时间区间

我们可以看到 欧拉方法

会逼近这条线

这里我们看到的是一个具体例子

让我们稍作推广

把欧拉方法运用到一般的微分方程

微分方程就是一个动力系统

确定改变的规则

微分方程稍微变下

这个规则不是直接的规则

它告诉我们导数改变

我们关心的是值得改变

欧拉方法就是一个从

这不直接的导数的改变得到信息的方法

所以欧拉方法改变了这个不直接的规则

微分方程是不直接的规则

把改变率的改变转化为值的改变

只是需要假设改变率是常数

在一个时间区间上

所以 欧拉方法做了这样一个假设

假设改变率不变

在一个时间区间上

这是一个假设

当步长小的时候 这很接近事实

所以我们假设的区间

是接近0的

欧拉假设越来越接近事实

这样 欧拉方法

给出的解就越来越接近事实

补偿越来越接近0

欧拉方法获得的解将

接近真实解

所以 欧拉方法是一个计算的方法

找到微分方程的一个解

需要做一个计算

当步长变小的时候

计算会越来越长

需要做越来越多的计算

所以我们总是用计算机做的

这是微分方程的一个算法解

这是一个很好定义的算法

对好的微分方程，这个方法保证

收敛到真实解

所以 欧拉方法很一般

可以广泛使用

它是微分方程的核心想法

微分方程就是一个动力系统

规定如何改变

规则是不直接的，是用导数的形式

是改变率 不是值

但是欧拉方法有点意思

它把不直接的关于导数的信息

转化到了值的直接信息