Con un delta t más pequeño el método de Euler
es más preciso, y podemos ver porque:
La razón por la cual el método de Euler no es preciso
es porque suponemos que una tasa de cambio cambiante
es constante sobre un intervalo de tiempo.
Durante un intervalo de tiempo de 2 minutos, esa tasa puede cambiar bastante,
pero la tasa cambiará menos si el intervalo temporal es más pequeño.
Así, si el intervalo temporal es de 1 minuto en vez de dos,
la suposición que hacemos de que
la tasa de cambio es constante, será más cercano a la realidad,
y podemos ilustrar esto en el siguiente dibujo.
No voy a ir a través de todos los cálculos numéricos,
pero aquí está el método de Euler
para 2 delta de t diferentes.
Así, primero los cuadrados, que ya hemos visto,
que calculamos antes,
esto es, el método de Euler con delta t de 2,
donde suponemos que una tasa de cambio variable
es realmente constante durante 2 minutos.
Delta t de 1, esto es los triangulos con línea discontinua.
Es un poco difícil de ver, pero el punto clave es que entre estas dos
- es más próxima a la solución exacta proporcionada por la línea sólida.
Es más cercana porque ignorar el problema es un poco menos malo,
- suponemos ahora que una tasa de cambio variable
es constante pero solo durante 1 minuto, en vez de 2 minutos,
y ahora probablemente puedas adivinar
como podemos mejorar esto cada vez más
- haciendo delta t cada vez más pequeño,
y entonces veríamos que el método de Euler
estaria exactamente encima de esta linea.
Ahora que hemos visto parcialmente un ejemplo concreto
hablemos del método de Euler un poco más en general.
El método de Euler se aplica a ecuaciones diferenciales de esta forma.
Una ecuación diferencial es un sistema dinámico,
una regla que describe como algo cambia en el tiempo.
Lo que hace que las ecuaciones diferenciales sean un poco complicadas
es que la regla es indirecta.
Esto nos dice como cambia la derivada
y nosotros estamos interesados en como cambia la cantidad X.
El método de Euler es simplemente una forma de ir
de la información indirecta de la derivada, hacia la información directa de X.
Así el método de Euler convierte esta regla indirecta,
la ecuación diferenical - la regla indirecta que considera la derivada
- la tasa de cambio, y lo convierte en valores de X.
Esto lo hace suponiendo que la tasa de cambio
es constante durante un intervalo de tiempo.
Así, el método de Euler hace esta conversión suponiedo que la derivada,
que es varaible, es realmente constante
sobre un intervalo de tiempo delta t.
Esta suposición se aproxima
más al valor real, conforme delta t se hace más pequeño.
Así, conforme delta t, el intervalo de tiempo sobre el cual suponemos que la tasa de cambio es constante,
conforme delta t se aproxima a 0,
la suposición en el método de Euler será menos incorrecta,
y de esta manera, el método de Euler, la solución obtenida
del método de Euler, se aproximará cada vez más a la solución exacta.
Así, conforme delta t se aproxime a 0,
la solución obtenida del método de Euler
se aproximará más a la solución exacta.
Así pues, el método de Euler es una forma computacional
de encontrar una solución de una ecuación diferencial.
Requiere realizar calculos,
y puedes ver que conforme delta t se hace más pequeña
el cálculo se volverá cada vez más largo.
- necesitaremos realizar más pasos para llegar a un punto,
así que estos son casi siempre realizados mediante un computador.
Así esto es una solución algorítmica de una ecuación diferencial.
Es un procedimiento, está bien definido,
para ecuaciones diferenciales bien definidas, está garantizada
la convergencia a la solución exacta.
Así, el método de Euler es muy general,
casi siempre funciona, y creo que captura
la idea principal de una ecuación diferenical:
una ecuación diferencial es un sistema dinámico,
una regla para describir como cambia algo.
La regla es indirecta, porque está en terminos de la derivada,
la tasa de cambio de la cantidad X, y no de X misma
pero el método de Euler es como un truco
que convierte la información indirecta sobre la derivada
en información directa sobre X.