Колкото по-малко е делта t, толкова по точен е методът на Ойлер, и виждаме защо: Причината методът на Ойлер да е неточен е че се преструваме, че постоянно променяща се скорост е всъщност постоянна в даден интервал При интервал от 2 минути, скоростта може да се променя много, но скоростта ще се променя по-малко ако интервалът е по-малък При интервал 1, вместо 2, измислената част, за която се преструваме че е постоянна скорост, ще бъде по-близка до реалността и можем да илюстрираме със следния чертеж. Няма да минавам през всички детайли, но това е методът на Ойлер за 2 различни делта t. Първо, квадратите, които вече видяхме изчислихме ги това е методът на Ойлер с делта t = 2 където се преструваме, че постоянно изменящата се скорост е константа през целите 2 минути. Делта t от 1, това са триъгълниците с тире, а не линия с точки малко трудно се вижда, но важното е между тези две по-близо е до точното решение, което е непрекъснатата крива По-близо е, защото игнорирането на проблема е по-малко лошо представяме си, че постоянно променящата се скорост е константа само за 1 минута, вместо за 2, лъжата е по-малка и сигурно се досещате как можем да подобрим отново и отново - като оставим делта t да бъде все по-малка и ще видим, че методът на Ойлер ще бъде точно върху линията. След като видяхме част от този пример нека поговорим за метода на Ойлер по-общо Методът на Ойлер се прилага към диференциални уравнения от тази форма Диференциално уравнение е динамична система правило как нещо се променя във времето Това което е по-сложно е че правилото не е директно Казва ни как производната се променя и ни интересува как количеството X се променя. Методът на Ойлер е само начин да минем от тази недиректна информация от производната към директната информация за X Методът на Ойлер преобразува това недиректно правило диференциалното уравнение - недиректно правило относно производната скоростта на промяна и го преобразува в стойност на X Прави го като си представяме, че тази скорост на промяна е постоянна през интервала от време Методът на Ойлер прави трансформацията, претендирайки че производната която постоянно се променя, е всъщност константа през определен период делта t Тази част с измислянето се подобрява и доближава до истинската стойност, когато делта t се намаля Докато делта t, времето в което претендираме, че скоростта не се променя делта t се доближава до 0 методът на Ойлер ще става все по-малко грешен и по този начин стигаме до решение от метода на Ойлер, ще се доближава все повече до истината. докато делта t се доближава до 0 решението от метода на Ойлер ще бъде все по-близо до точното Методът на Ойлер е изчислителен начин за намиране на решение на диференциално уравнение нужно е изчисление и може да видим, че докато делта t се намалява изчислението ще стане по-дълго ще ни трябват все повече стъпки за да стигнем някъде и често се правят на компютър Това е алгоритмично решение на диференциално уравнение Това е процедура, добре описана за добре дефинирани диференциални уравнения, е гарантирана да генерира точно решение Методът на Ойлер е много общ почти винаги работи и стига до основната идея за диференциално уравнение диференциалното уравнение е динамична система правило за как нещо се променя Правилото е индиректно, защото се отнася за производна скоростта на промяна на това количество X и не самото X но методът на Ойлер прилича на номер който конвертира тази индиректна информация за производната в директна за стойността на X