Vamos a continuar con este ejemplo.
Hemos encontrado que T(2) es 11, o aproximadamente 11
porqué tuvimos que hacer cierta inventiva para obtener esto,
pero ahora veamos si podemos resolver T(4).
Podemos encontrar cómo de rápido la temperatura está cambiando
en el instante de tiempo 2, suponiendo que la temperatura es 11.
¿Cuál es la tasa de cambio? Bien simplemente preguntando a la ecuación
- eso es lo que la ecuación difirencial hace - es una regla que dice lo rápido
que la temperatura cambia, si conocemos la temperatura.
Así que hagámoslo.
Empleemos la ecuación - preguntamos a la ecuación:
cuando la temperatura es 11, ¿cuál es la tasa de cambio?, ¿cuál es la derivada?
Así, cuando el tiempo es 2, ponemos 11, así que T mayúscula es 11, 20-11 es 9,
9 veces 0.2 es 1.8
Ahora sabemos que cuando la temperatura es 11,
se está calentando a 1.8 grados por minuto.
Supongamos ahora que queremos conocer T(4), 4 minutos
Otra vez tenemos el mismo problema
- la tasa de cambio no es constante - está cambiando todo el tiempo,
tan pronto como la temperatura cambia tenemos una nueva tasa de cambio,
pero igual que antes, ingoraremos el problema
y supondremos que es constante.
Así pues, el problema es: la tasa de cambio no es constante
- nuestra solución es ignorar el problema
- esto no es siempre una buena manera de proceder
pero para el método de Euler, resulta que funciona correctamente
- ignoraremos el problema - supondremos que es constante
y podemos resolver que la temperatura en el instante de tiempo 4,4 minutos,
en estos 2 minutos, que estamos suponiendo:
cuanto incremento de temperatura tenemos,
bien a 1.8 grados por minuto para 2 minutos, esto es 3,6,
3,6+11, donde empezamos, nos das 14,6
Así que, ahora, sabemos que la temperatura en el instante de tiempo de 4 minutos
Podemos seguir haciendo esto,
continuar con este proceso, y obtendremos
una serie de valores de temperatura para una serie de tiempos.
Así que continuamos con este proceso,
y podemos poner nuestros resultados en una tabla.
Así que estas 3 primeras entradas que ya hemos resuleto
- la temperatura inicial es 5, entonces en el instante de tiempo 2 era 11,
en 4 era 14,6, y en 6,
siguiendo con el mismo procedimiento, obtendriamos 16.75,
y podriamos continuar.
Así que hagámos un gráfico - dibujemos estos números
veamos que se obtiene, y comparémoslo con la solución exacta.
Para esta ecuación, es posible emplear el cálculo para obtener
una solución exacta de esta ecuación diferencial,
y esto se muestra como esta línea solida.
Hacia el final de esta unidad, comentaré un poco sobre
como uno puede obtener esta línea sólida.
La solución de Euler - esto es lo que estamos haciendo aquí
- son estos cuadrados - así que empezamos en
la condición inicial, y entonces aquí en 11,
un poco menos de 15, casi 17, y así sucesivamente.
Podemos ver que la solución de Euler
- los cuadrados conectados mediante la línea punteada
no es muy próxima a la solución exacta.
No está mal, pero no es un ajuste perfecto
y no esperariamos un ajuste perfecto
porqué tenemos que hacer algunas suposiciones para obtener esto.
Así, como es habitual , ignorar el problema
- recuerda que el problea era que:
la derivada - la tasa de cambio de la temperatura no era constante.
Ignorar el problema no fué realmente una gran solución
pues tenemos estos errores aquí.
Para este ejemplo, elegí un tamaño de paso de 2, una delta de 2.
Yo dije: estimemos la temperatura, T mayúscula, cada 2 minutos,
pero es este tamaño de paso el que nos produjo el problema
porque tuvimos que fingir que una tasa de variación cambiante
era constante durante el intervalo de tiempo de 2 minutos,
y eso es claramente falso,
así, una manera de mejorar el método de Euler es emplear un delta t más pequeño.