Sigamos con este ejemplo.
Acabamos de encontrar que T(2) era 11, o aproximadamente 11
porque tuvimos que hacer una suposición para obtenerlo,
pero ahora veamos si podemos encontrar T(4).
Puedo saber qué tan rápido está cambiando la temperatura
al tiempo 2, asumiendo que la temperatura es 11.
¿Cuál es la tasa de cambio? Se lo pregunto a la ecuación.
Eso es lo que hace la ecuación diferencial, es una regla que dice qué tan rápido
cambia la temperatura, si conocemos la temperatura.
Hagámoslo.
Usamos la ecuación, preguntamos a la ecuación:
Cuando la temperatura es 11, ¿cuál es la tasa de cambio? ¿Cuál es la derivada?
Cuando el tiempo es 2, evaluamos en 11, así que T es 11, 20 - 11 es 9,
multiplicado por .2 es 1.8.
Ahora sabemos que cuando la temperatura es 11,
se está calentando 1.8 grados por minuto.
Ahora supongamos que queremos saber T(4), 4 minutos ahí dentro,
de nuevo, tenemos el mismo problema,
esta tasa no es constante, está cambiando todo el tiempo,
en cuanto cambia la temperatura tenemos una nueva tasa,
pero así como antes, vamos a ignorar el problema
y pretendemos que es constante.
De nuevo, el problema es: la tasa de cambio no es constante.
Nuestra solución es ignorar el problema,
no siempre es una buena forma de hacer las cosas,
pero para el método de Euler, resulta que funciona bien.
Bueno, ignoramos el problema, pretendemos que es constante
y luego podemos saber la temperatura al tiempo 4, 4 ahí dentro,
en esos 2 minutos, que estamos pretendiendo:
¿cuánto incremento de temperatura tenemos?,
bueno, 1.8 grados por minuto por 2 minutos, eso es 3.6,
3.6 + 11, donde empezamos, nos da 14.6.
Ahora, conozco la temperatura a T igual a 4 minutos.
Podemos seguir haciendo esto,
continuamos este proceso, y tenemos
una serie de valores de temperatura para una serie de tiempo.
Seguimos este proceso,
y podemos tabular los resultados.
Estas 3 primeras entradas ya las encontramos,
la temperatura inicial es 5, luego al tiempo 2 fue 11,
a 4, fue 14.6 y a 6,
si seguimos este proceso, uno tendría 16.76
y podríamos continuar.
Hagamos una gráfica, vamos a graficar estos números,
ver como lucen y compararlos con la solución exacta.
Para esta ecuación, resulta que uno puede usar cálculo para encontrar
una solución exacta para esta ecuación diferencial,
y esa es esta línea continua aquí.
Hacia el final de esta subunidad, hablaré un poco al respecto,
cómo se puede obtener esta linea continua.
La solución de Euler, eso es lo que estamos haciendo,
son estos cuadros; empezamos en
la condición inicial, y luego en 11,
un poco menos que 15, casi 17, y así sucesivamente.
Podemos ver que las solución de Euler,
estos cuadros unidos por esta linea punteada,
no está tan cerca de la solución exacta.
No está mal, pero no se ajusta perfectamente
y no podríamos esperarlo
porque tuvimos que hacer algunas suposiciones para obtener esto.
Como sucede a menudo, ignorar el problema,
recuerda que el problema fue:
la derivada, la tasa de cambio no era constante.
Ignorar el problema no fue de hecho una buena solución
porque tenemos esos errores.
Para este ejemplo use un tamaño de paso de 2, un delta t de 2.
Dije: vamos a encontrar la temperatura T, cada 2 minutos,
pero es este tamaño de paso lo que nos mete en problemas
porque tuve que pretender que la tasa de cambio
era constante durante ese periodo de 2 minutos,
y eso es claramente falso,
una forma de hacerlo mejor con este método de Euler es usar un delta t más pequeño.