Οκ, ας συνεχίσουμε με αυτό το παράδειγμα.
Μόλις βρήκαμε οτι το T(2) ήταν 11, ή σχεδόν 11
επειδή έπρεπε να προσποιηθούμε λίγο για να το βρούμε
αλλά, τώρα, ας δούμε αν μπορούμε να βρούμε το T(4).
Μπορώ να βρω πόσο γρήγορα αλλάζει η θερμοκρασία
στο χρόνο 2, υποθέτωντας οτι η θερμοκρασία είναι 11.
Ποιός είναι ο ρυθμός μεταβολής; Λοιπόν, απλά θα ρωτήσω την εξίσωση
- αυτό είναι που η διαφορική εξίσωση κάνει: είναι ένας κανόνας που μου λέει
πόσο γρήγορα αλλάζει η θερμοκρασία, αν γνωρίζουμε τη θερμοκρασία.
Ας το κάνουμε αυτό.
Θα χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση - θα ρωτήσουμε την εξίσωση:
Όταν η θερμοκρασία είναι 11,
ποιός είναι ο ρυθμός μεταβολής; Ποιά είναι η παράγωγος;
Οπότε, όταν ο χρόνος είναι 2, βάζουμε 11, έτσι, το κεφαλαίο Τ είναι 11,
20 μείον 21 είναι 9 επί 0.2 είναι 1.8
Έτσι, τώρα ξέρουμε οτι, όταν η θερμοκρασία είναι 11,
θερμαίνεται στους 1.8 βαθμούς ανα λεπτό.
Οπότε τώρα, ας υποθέσουμε οτι θέλουμε να μάθουμε το T(4), στο 4ο λεπτό
και πάλι, έχουμε το ίδιο πρόβλημα:
ο ρυθμός δεν είναι σταθερός, αλλάζει συνέχεια.
Με το που αλλάζει η θερμοκρασία, έχουμε έναν νέο ρυθμό
αλλά, όπως και πρίν, θα αγνοήσουμε το πρόβλημα
και θα προσποιηθούμε οτι είναι σταθερός.
Και πάλι, το πρόβλημα είναι: ο ρυθμός δεν είναι σταθερός.
Η λύση μας να αγνοήσουμε το πρόβλημα
- οχι πάντα ένας καλός τρόπος δράσης
αλλά για την μέθοδο του Euler δουλεύει μια χαρά τελικά -
θα αγνοήσουμε το πρόβλημα, θα προσποιηθούμε οτι είναι σταθερός
και τότε μπορούμε να βρούμε τη θερμοκρασία στο χρόνο 4, στο 4ο λεπτό
Σε αυτά τα 2 λεπτά που προσποιούμαστε
πόση αύξηση θερμοκρασίας έχουμε;
Λοιπόν, στους 1.8 βαθμούς ανα λεπτό για 2 λεπτά, αυτό είναι 3.6
3.6 + 11 - εκεί που ξεκινήσαμε - μας δίνει 14.6.
Οπότε τώρα, γνωρίζω τη θερμοκρασία στο Τ ισον 4 λεπτά.
Μπορούμε να συνεχίσουμε να το κάνουμε αυτό
να συνεχίσουμε με αυτή τη διαδικασία και θα πάρουμε
μια σειρά τιμών θερμοκρασίας για μια σειρά χρόνων.
Έτσι, συνεχίζουμε τη διαδικασία
και μπορούμε να βάλουμε τα αποτελέσματα μας σε έναν πίνακα.
Αυτές τις 3 πρώτες καταχωρήσεις τις έχουμε ήδη βρει:
η αρχική θερμοκρασία είναι 5, μετά, στον χρόνο 2 ήταν 11
στον 4 ήταν 14.6 και στο 6,
αν κανείς ακολουθήσει τη διαδικασία θα πάρει 16.76
και θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε έτσι.
Οπότε, ας φτιάξουμε ένα γράφημα,
ας φτιάξουμε ένα διάγραμμα αυτών των αριθμών
να δούμε πώς μοιάζει και να το συγκρίνουμε με την ακριβής λύση.
Για αυτή την εξίσωση, κανείς μπορεί τελικά να χρησιμοποιήσει λογισμό για να βρει
μια ακριβής λύση για αυτή τη διαφορική εξίσωση
και αυτη φαίνεται εδώ ως αυτή η γραμμή
Προς το τέλος αυτής της υποενότητας, θα μιλήσω λίγο για
το πώς θα μπορούσε κανείς να πάρει αυτή τη γραμμή.
Η λύση του Euler - αυτό που κάνουμε εδώ -
είναι αυτά τα τετράγωνα. Οπότε, ξεκινάμε στην
αρχική συνθήκη και, μετά, εδώ στο 11,
λίγο λιγότερο απο 15, σχεδόν 17 και ούτω καθεξής.
Οπότε, μπορούμε να δούμε οτι η λύση του Euler
- τα τετράγωνα συνδεδεμένα από τη διακεκομμένη γραμμή -
δεν είναι τόσο κοντά στην ακριβής λύση.
Δεν είναι πολύ άσχημα, αλλά δεν ταυτίζονται εντελώς
και δεν θα αναμέναμε απόλυτη ταύτιση
επειδή έπρεπε να προσποιηθούμε λίγο για να πάρουμε αυτό το αποτέλεσμα.
Έτσι, συχνά είναι αλήθεια οτι, αγνοώντας το πρόβλημα
- θυμηθείτε, το πρόβλημα ήταν ότι
η παράγωγος, ο ρυθμός μεταβολής, δεν ήταν σταθερός.
Το να αγνοήσουμε το πρόβλημα δεν ήταν, στην πραγματικότητα, μια τέλεια λύση
επειδή έχουμε αυτά τα σφάλματα εδώ.
Για αυτό το παράδειγμα, θα επέλεγα ένα βήμα μεγέθους 2, ένα dt 2.
Είπα: ας βρούμε τη θερμοκρασία, κεφαλαίο Τ, κάθε 2 λεπτά
αλλά ήταν το βήμα αυτού του μεγέθους που μας έμπλεξε
επειδή έπρεπε να προσποιηθώ οτι ένας διαρκώς μεταβαλόμενος ρυθμός
ήταν στην πραγματικότητα σταθερός σε αυτή τη χρονική περίοδο των 2 λεπτών.
Και αυτό είναι ξεκάθαρα μη αληθές.
Οπότε, ένας τρόπος που θα μπορούσαμε να τα πάμε καλύτερα με τη μέθοδο του Euler
είναι να διαλέξουμε ένα μικρότερο dt.