إذاً، دعونا نكمل مع هذا المثال.
لقد وجدنا للتوّ أنّ (2)T كانت 11، أو تقريباً 11
لأنّنا اضطررنا القبول بتجاهل التغير خلال فترة محددة لنحصل على هذا،
لكن الآن دعونا نرى إن كنّا نستطيع أن نكتشف (4)T.
أستطيع أن أكتشف مدى سرعة تغير درجة الحرارة
عند الزمن 2، على افتراض أنّ درجة الحرارة 11.
ما هو مقدار التغيير؟ حسناّ فقط أسأل المعادلة
- هذا ما تفعله المعادلة التفاضلية - إنّها قاعدة تخبرني مدى سرعة
تغير درجة الحرارة، إن كنّا نعرف درجة الحرارة.
إذاً دعونا نفعل هذا.
إذاً نستخدم المعادلة - نسأل المعادلة:
عندما تكون درجة الحرارة 11، ما هو مقدار التغيير؟ ما هو المشتق
إذاً، عندما يكون الزمن 2، نُدخل 11، إذاً T الكبيرة هي 11، 20-11 يساوي 9،
9 ضرب 0.2 يساوي 1.8
إذاً الآن نعرف أنّه عندما تكون درجة الحرارة 11،
إنّها تسخن عند 1.8 درجة بالدقيقة.
إذاً الآن افترض أننا نريد أن نعرف (4)T، أي بعد 4 دقائق
مجدداً، لدينا نفس المشكلة
- هذا المعدل ليس ثابتاً - إنّه يتغير طوال الوقت،
في أقرب وقت تتغير به درجة الحرارة نحصل على معدل جديد،
لكن كما قبل، سنتجاهل المشكلة
ونتظاهر أنّه ثابت.
إذاً، مجدداً المشكلة هي : المعدل ليس ثابتاً
حلّنا أن نتجاهل المشكلة
ليست طريقة جيدة دائماً لنحاولها مع الأشياء
لكن لطريقة أويلر، تبيّن أنّها تعمل بشكلٍ حَسن
-سنتجاهل المشكلة - نتظاهر أنّه ثابت
ومن ثمّ نستطيع أن نكتشف درجة الحرارة عند الزمن 4، أي بعد 4 دقائق،
في هاتين الدقيقتين، التي تظاهرنا فيها:
كم تتزايد درجة الحرارة لدينا،
حسناً عند 1.8 درجة بالدقيقة لدقيقتين، هذا 3.6
3.6 + 11، حيث بدأنا، تعطينا 14.6
إذاً الآن أعرف أنّ درجة الحرارة عند T تساوي 4 دقائق.
نستطيع مواصلة فعل هذا،
نواصل بهذه العملية، وسنحصل على
سلسلة من قيم درجات الحرارة لسلسلة من الأزمنة.
إذاً، نستمر بهذه العملية،
ونستطيع أن نضع نتائجنا في جدول.
إذاً هذه المداخل الثلاثة التي اكتشفاها للتو
درجة الحرارة الأولية هي 5، ثم عند الزمن 2 كانت 11،
عند 4، كانت 14.6، وعند 6،
إن تابع أحدٌ ما هذه العملية، سيحصل على 16.76،
ونستطيع أن نستمر بهذا.
إذاً، دعونا نصنع رسم بياني - دعونا نصنع رسم بياني لهذه الأرقام
ونرى كيف تبدو، ونقارنها مع الحل الدقيق.
إذاً، لهذه المعادلة، تبيّن أنّه يمكن أن نستخدم حسابات التفاضل والتكامل لنكتشف
حل دقيق لهذه المعادلة التفاضلية،
وهذا موضح بهذا الخط السميك هنا.
في نهاية هذه الوحدة الفرعية، سأتحدث قليلاً عن
كيف يمكن لأحدٍ ما أن يحصل على الخط السميك هذا.
حل أويلر - هذا ما نفعله هنا
- هذه المربعات- إذاً نبدأ عند
الشرط الإبتدائي، وثم هنا عند 11،
أقل بقليل من 15، 17 تقريباً، وهكذا.
إذاً نستطيع أن نرى أنّ حل أويلر
المربعات متصلة من خلال الخط المنقط
إنّه ليس بهذا القرب للحل الدقيق.
إنّها ليست بهذا السوء، لكنّها ليس متطابقة بشكل مثالي
لم نتوقع تطابق بشكل مثالي
لأنّنا اضطررنا التظاهر ببعض الشيء لكي نحصل على هذا.
إذاً كما هو الحال أحياناً المسألة، تجاهل المشكلة ...
- تذكر المشكلة كانت أنّ:
المشتق - مقدار التغيير غير ثابت.
تجاهل المشكلة في الواقع لم يكن حلاً عظيماً
لأنّنا لدينا هذه الأخطاء هنا.
لهذا المثال، سأختار مقدار الخطوة 2، دلتا t تساوي 2.
أقول: دعونا نكتشف درجة الحرارة، T الكبيرة، كل دقيقتين،
لكن هذا المقدار هو ما أدخلنا بمشكلة
لأنني اضطررت لأتظاهر أنّ المعدل المتغير باستمرار
كان ثابتاً طوال هذا الزمن المحدد بدقيقتين،
ومن الواضح أنّ هذا ليس صحيحاً
إذاً، استخدام دلتا t أصغر هو طريقة أفضل لنقوم بطريقة أويلر هذه.